材料力学：应力状态课件.ppt

1、概述概述平面应力状态的分析平面应力状态的分析 主应力主应力空间应力状态的概念空间应力状态的概念应力与应变间的关系应力与应变间的关系空间应力状态下的比能空间应力状态下的比能强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力各种各种强度理论的应用强度理论的应用232.受力构件内应力特征受力构件内应力特征 一、一点处的应力状态一、一点处的应力状态:1.受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,称为称为 一点处的应力状态。一点处的应力状态。（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不

2、同的；）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。7-1 概述概述4FA Aa ab bc cd dA A二、原始单元体法二、原始单元体法 1.1.从受力构件内一点处切出的单元体，如果各侧面（从受力构件内一点处切出的单元体，如果各侧面（一般一般为横截面为横截面）的上的应力均为已知，则这样的单元体称为）的上的应力均为已知，则这样的单元体称为原始原始单元体法单元体法。5FA Aa ab bc cd dA A A62.单元体特征单元体特征（1）单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；

3、）单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；（2）任意一对平行平面上的应力相等。）任意一对平行平面上的应力相等。三、主应力和应力状态的分类三、主应力和应力状态的分类从一点处以不同方位截取的诸从一点处以不同方位截取的诸单元体单元体中，有一个特殊的中，有一个特殊的单元体，单元体，在这个在这个单元体单元体侧面上只有正应力而无切应力。这样的侧面上只有正应力而无切应力。这样的单元体单元体称为称为该点处的该点处的 主主单元体单元体。7主主单元体的侧面称为单元体的侧面称为 主主平面平面（通过该点处所取的诸截面中通过该点处所取的诸截面中没有切应力的那个截面即是该点处的没有切应力的那个截面即是该点处的 主主平面

4、平面）主主平面上的正应力称为平面上的正应力称为 主主应力应力主主平面的法线方向叫平面的法线方向叫 主主方向方向，即，即主主应力的方向应力的方向8321 说明说明:一点处必定存在这样的一个单元体，三个相互垂直一点处必定存在这样的一个单元体，三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为 1，2，3 且规定按代数且规定按代数值大小的顺序来排列，值大小的顺序来排列，即即1239（1）单轴应力状态：只有一个主应力不为零）单轴应力状态：只有一个主应力不为零（2）平面应力状态）平面应力状态：有个二主应力不等于零。：有个二主应力不等于零。10（3）空间应

5、力状态）空间应力状态：主单元体上的三个应力均不等于零：主单元体上的三个应力均不等于零平面和空间应力状态称为复杂应力状态平面和空间应力状态称为复杂应力状态11 梁上取单元体梁上取单元体p（a）Dyzt（b）图（图（a）为汽包的剖面图。内壁受压强）为汽包的剖面图。内壁受压强 p 的作用的作用。图。图（b）给出尺寸。）给出尺寸。解：解：包围内壁任一点，沿直径方向包围内壁任一点，沿直径方向取一单元体，单元体的侧面为取一单元体，单元体的侧面为横截面，上，下面为含直径的横截面，上，下面为含直径的纵向截面，前面为内表面。纵向截面，前面为内表面。包含直径的纵向截面包含直径的纵向截面横截面横截面内表面内表面（1

6、）横截面上的应力）横截面上的应力假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研究对象。究对象。n n面为横截面面为横截面。pn nn nn(d)nnp(C)nn研究对象研究对象图（图（d）研究对象的剖面图，其上的外力为压强）研究对象的剖面图，其上的外力为压强 p。n(d)nnpF(C)nn研究对象研究对象压强压强 p的合力为的合力为 F。则横截面上只有正应力。则横截面上只有正应力。假设假设。n(d)nnptpD4pDF.42nnFD D(因为因为 t D ,所以所以 A Dt)4)2(44222DtDpDAF18（2）包含直径的

7、纵向截面上的应力）包含直径的纵向截面上的应力pmmnn1用两个横截面用两个横截面 mm ,nn 从圆筒部分从圆筒部分 取出取出单位长的圆筒研究。单位长的圆筒研究。直径平面直径平面由截面法，假想地用由截面法，假想地用直径平面将取出的单直径平面将取出的单位长度的圆筒分成两位长度的圆筒分成两部分部分。取下半部分为取下半部分为研究对象。研究对象。研究对象研究对象包含直径的纵向平面包含直径的纵向平面 FNFNltp yOR该截面上的应力为正应力该截面上的应力为正应力 ”，且，且 假设为均匀分布假设为均匀分布。包含直径的纵截面上的内力为轴力包含直径的纵截面上的内力为轴力 FN。R 是外力在是外力在 y 轴

8、上的投影，轴上的投影，d2dDs 2NRFyORFNFN取圆心角为取圆心角为 d 的微元面积，其的微元面积，其弧上为弧上为 ds微元面积上，压强的合力为微元面积上，压强的合力为d d dsp.1.dsp.1.ds微元面积为微元面积为dS.1dS.1p.1.ds 在在 y 方向的投影为方向的投影为sin)1d(SpyORFNFNd d p.1.dsds sin)1d(Sp外力在外力在 y 方向的投影为方向的投影为)(sin1dspRPDDpdsin21220yORFNFNd d p.1.ds sin)1d(Spd2dDS yORFNFN22NpDRFtpDtF21.N tp1 1（3）内表面的应

9、力）内表面的应力p 内表面只有压强内表面只有压强 p,且为压应力且为压应力包含直径的纵向截面包含直径的纵向截面横截面横截面内表面内表面 包含直径的纵向截面包含直径的纵向截面横截面横截面内表面内表面tpD2 p tpD4=1 1=2 2=3 3=1 1=2=3tpD2 p tpD4单元体为单元体为 空间应力状态空间应力状态 ，三个正应力为，三个正应力为 主应力主应力。=1 1=2 2=3 3由于内壁的压强由于内壁的压强 =p p 远小于远小于 和和 ，所以可忽略不计。，所以可忽略不计。=1 1=2 2=3 3单元体看作单元体看作 平面平面应力状态应力状态 1 1 2 2从构件的扭转和弯曲问题看最

10、大应力往往发生在的外表面。从构件的扭转和弯曲问题看最大应力往往发生在的外表面。因为构件的外表面一般为自由表面，即有一主应力为零。因为构件的外表面一般为自由表面，即有一主应力为零。因而从因而从 构件表层取出的微分单元体构件表层取出的微分单元体 就接近二向应力状态。就接近二向应力状态。这是最有实际意义的。这是最有实际意义的。注注 意意F例例：分析滚珠轴承中滚珠与外圈接触点的应力状态。：分析滚珠轴承中滚珠与外圈接触点的应力状态。A包围点包围点 A,以垂直和平行于压力以垂直和平行于压力 F 的平面截取单元体。的平面截取单元体。A AF单元体三个互相垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不为零，单元体三个互

11、相垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不为零，于是得到三向应力状态。于是得到三向应力状态。A 3 3 1 1 2 233xyzbacdxxyy平面应力状态的普遍形式如图平面应力状态的普遍形式如图 所示所示。7-2 平面应力状态的分析平面应力状态的分析 主应力主应力单元体上有单元体上有 x，xy 和和 y，y 。xyxyyxyx34xyxyxyb b1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 nef（1）假想地沿斜截面假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二将单元体截分为二,留下左边部留下左边部分的单体元分的单体元 ebf 作为研究对象。作为研究对象。efb b一、解析法一、解析法yyxyxxxyxxyy

12、yx35 ：从：从x 轴到外法线轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。逆时针转向为正，反之为负。正应力正应力 ：拉应力为正，压应力为负。：拉应力为正，压应力为负。切应力切应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。xyxyxyb b nefefb byyxyxxxyxxyyyx36ebf 设斜截面的面积为设斜截面的面积为 ,eb 的的面积为面积为 ，bf 的的面积为面积为 cosdAcosdAsindyAxsindyAAdAdefb bxxyyyx37对研究对象列对研究对象列 和和 t 方向的方向的平衡方程并解之得：平衡方程并解之得：（2）

13、平面应力状态下）平面应力状态下,任一斜截面任一斜截面(截面截面)上的应力上的应力 的计算公式的计算公式ebf AdAdcosdAcosdAsindyAxsindyA t38 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx3902cos2sin22ddxyyx2.2.主应力和主平面主应力和主平面求正应力的极值求正应力的极值令：令：2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx40yxxy22tan0190012 1 1 和和 2 2 确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。所在的平面，另

14、一个是最小正应力所在的平面。02cos2sin22ddxyyx4102cos2sin2 2dd0 xyyx正应力达到极值的面上，切应力必等于零。正应力达到极值的面上，切应力必等于零。此平面为此平面为主平面主平面,正应力的极值为主应力正应力的极值为主应力。2cos2sin2 2sin2cos22xyyxxyyxyx42yxxy22tan0由公式由公式求出求出 0 0 就可确定主平面的位置。就可确定主平面的位置。43 2sin2cos22xyyxyx将将 0 0 代入公式代入公式得到得到 max 和和 min (主应力）主应力）（1 1）主应力）主应力minmax22)2(2xyyxyx 44（2

15、 2）主平面的位置）主平面的位置以以 1 1 代表代表 max作用面的方位角，作用面的方位角，2 2 代表代表 min 作用面的方位角。作用面的方位角。yxxy22tan0190012 minmax22)2(2xyyxyx 45（1 1）若若 x y ，（1 1 在在 900 范围内取值范围内取值 ）则则 ，1 1 45 450 0(2)(2)若若 x y ，则则 ，1 1 45 450 0(3)(3)若若 x=y ，则，则，x 0 0，1 1=-45=-450 0 x 0 0，1 1=45=450 046 应力圆画法应力圆画法47例题例题：简支梁如图所示。已知简支梁如图所示。已知 m-n 截

16、面上截面上 A 点的弯曲点的弯曲 正应正应力和切应力分别为力和切应力分别为 =-70MPa，=50MPa 。确定确定A点的主应力及主平面的方位。点的主应力及主平面的方位。mna aA A A A l48解：解：50,0,70 xyyxA A 因为因为 x y ，所以，所以 1=-62.50 与与 max（1）对应对应4291070502.)(yxxy22tan0 056252700.x62.562.50 049 x62.562.50 0MPa960MPa26321A A13minmax 2222xyyxyx)(26-96MPa50例题例题：图示单元体，已知：图示单元体，已知 x=-40MPa，

17、y=60MPa，xy=-50MPa。试求试求 ef ef 截面上的应力情况及主应力和主单截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。元体的方位。x y y xy yx30300 0n ne ef f51 x=-40MPa，y=60MPa，x=-50MPa。=-300(1)(1)求求 ef ef 截面上的应力截面上的应力2sin2cos22300 xyyxyx)60sin()50()60cos(2604026040MPa3.582cos2sin230 xyyxMPa3.18 x y y xy yx30300 0n ne ef f52 x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa。=-300

18、(2)(2)求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位16040)50(2220yxxytg204501350 因为因为 x 0，所以，所以4504500 45057 450（2）求主应力）求主应力minmax22)2(2xyyxyx 1=，2=0，3=-1 3582222)2()2(xyyxyx三、平面应力分析的图解法三、平面应力分析的图解法1.1.应力圆的概念应力圆的概念 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx59作作 直角坐标系直角坐标系0 0 2222)2()2(xyyxyx602yx当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时,其上的应力其上的应力 ，在

19、在 -直角坐标系内的轨迹是一个直角坐标系内的轨迹是一个圆圆。圆心位于横坐标轴圆心位于横坐标轴(轴轴)上，离原点的距离为上，离原点的距离为2222)2()2(xyyxyx6122)2(xyyx半径为半径为此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆 ,或称为莫尔圆或称为莫尔圆2222)2()2(xyyxyx62 o2yx 22)2(xyyxC2222)2()2(xyyxyx632.2.应力圆作法应力圆作法xxyyyxxyxyxy64（1）在）在 -坐标系内坐标系内,选定比例尺选定比例尺o o xxyyyxxyxyxy65o o D1 xyB1 x（2）量取）量取OB1=xB1D1=xy得得 D1

20、点。点。xxyyyxxyxyxy66o o D2 yxD1 xB1 x（3）量取）量取OB2=yB2D2=yx得得 D2 点点 yB2xxyyyxxyxyxy67o o D2 yxD1 xB1 x yB2xxyyyxxyxyxy（4）连接）连接 D1D2 两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于 C 点点,68o o D2 yxD1 xB1 x yB2xxyyyxxyxyxy以以 C 为圆心为圆心,CD1 或或 CD2为半径作圆为半径作圆 692yx该圆的圆心该圆的圆心 C 点到点到 坐标原点坐标原点的的 距离为距离为)(2121OBOBOCo o D2 yxD1 xy x yB2CB170

21、o o D2 yxD1 xy x yB2CB122)2(xyx半径为半径为该圆就是相应于该单元体该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆。应力状态的应力圆。)()(112121DBBCCD71因而因而 D1 点代表单元体点代表单元体 x 平面（即平面（即横截面横截面）上）上的应力的应力。D1 点的坐标为点的坐标为(x ,x)o o D2 yx x yB2CB1 xyD D1 1(x ,x)72xxyyyxxyxyxy3 3.利用应力圆求单元体上任一利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力从应力圆的半径从应力圆的半径 CD 1 按方位角按方位角 的转向的转向 转动转动 ,得到半径得到半径

22、 CE。e ef f o o D2 yxB2CB1 xyD D1 1(x ,x)73xxyyyxxyxyxye ef f o o D2 yxB2CB1 xyD D1 1(x ,x)圆周上圆周上 E 点的点的 坐标坐标 就依次为斜截面上的正应力就依次为斜截面上的正应力 ，切应力切应力 。74（1）点面之间的对应关系点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。应于应力圆上某一点的坐标。（2）夹角关系夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。元体上对应两截面夹

23、角的两倍。两者的转向一致。75A1B12 AB oc764.4.利用应力圆求利用应力圆求 主应力主应力数值和数值和 主平面位置主平面位置（1 1）主应力数值）主应力数值A1 和和 A2 两点为与主平面两点为与主平面对应的点，其横坐标对应的点，其横坐标 为主应力为主应力 1，2。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 7711CAOCOA CAOCOA12 2yxOC 221)2(xyyxCAo o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 78CAOCOA11122)2(2xyyxyxo o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2yxO

24、C221)2(xyyxCA79CAOCOA122o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2yxOC22)2(2xyyxyx221)2(xyyxCA80（2）主平面方位）主平面方位由由 CD1 顺时针转顺时针转 2 0 到到CA1。所以单元体上从所以单元体上从 x 轴顺时轴顺时针转针转 0（负值）即负值）即到到 1对应的对应的主平面的外法线。主平面的外法线。0 确定后，确定后，1 对应的对应的主平面方位即确定。主平面方位即确定。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0(x ,x)812)2tan(1110yxxyCBDB)(2tan210yx

25、xyo o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0(x ,x)82o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0由此可定出主应力由此可定出主应力1 所在所在平面的位置。平面的位置。由于由于 A1，A2 为应力圆的为应力圆的直径，则直径，则 2 所在的另一所在的另一主平面与主平面与 1 所在的主平面所在的主平面垂直。垂直。(x ,x)(2tan210yxxy83012o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0(x ,x)84例题例题：从水坝体内某点处取出的单元体如图所示：从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x=-1MP

26、a,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,（1）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆（2）确定此单元体在）确定此单元体在 =30和和 =-40两斜面上的应力。两斜面上的应力。xyxyyxyxyxxyx1 x2.0 xy40.y2.0yx解：解：85 oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)C解解:(1)画应力圆画应力圆OB2=y=-0.4MPa 和和 B2D2=yx=0.2MPa,定出定出 D2 点点.OB1=x=-1MPa,B1 D1=xy=-0.2MPa,定出定出 D1点点;以以 D1 D2 为直径绘出的圆即为应力圆。为直径绘出的圆即为应力圆。1 x2

27、.0 xy40.y2.0yx86 o将将 半径半径 CD1 到半径到半径 CE,E 点的坐标就点的坐标就代表代表 =30斜截面上的应力。斜截面上的应力。(2)确定确定 =30斜截面上的应力斜截面上的应力300300MPa680300.MPa360300.B1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)C60087 oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)C(3)确定确定 =-40斜截面上的应力斜截面上的应力将将 半径半径 到半径到半径 CF,F 点的坐标就代表点的坐标就代表 =-40斜截面上的应力。斜截面上的应力。400 400 MPa95.0400MPa26.04008

28、00 F88xy300 400 MPa95.040MPa68.030MPa36.030MPa26.04089例题例题：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出横截面尺寸示于图中。试绘出 C 左左 截面截面 上上 a,b 两点处的两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab250kN1.6m2mABC90+200kN50kN+80kN.m解解:首先计算支反力首先计算支反力,并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图Mmax=MC=80 kN.m

29、Fs，max=Fs，C左左 =200 kN250kN1.6m2mABC91IyMZdIFzZS*s4633mm10881227011112300120zImmya1353*mm256000)5.7150(15120zaS1201515270a9z92横截面横截面 C左左 上上a 点的应力为点的应力为MPa5.122azCayIMMPa6.64*sdIFzzaaSIyMZ12015152709zadIFzZS*s93a0 yMPa6.64yxMPa5.122xMPa6.64xyxxxyxyyxyx94由由 x，xy 定出定出 D1 点点由由 y，yx 定出定出 D2 点点以以 D1D2 为直径作

30、应力圆。为直径作应力圆。o CB1D1(122.5,64.6)(0,-64.6)0 yMPa6.64yxMPa5.122xMPa6.64xyB22D95o A1，A2 两点的横坐标分别代表两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力点的两个主应力MPaoA15011MPaoA2723CB1D1B2D2(122.5,64.6)(0,-64.6)1A13A20296o CB1D1B2D2(122.5,64.6)(0,-64.6)1A13A2A1 点对应于单圆体上点对应于单圆体上 1 所在的主平面。所在的主平面。45200 2052200.97xxxyyx013MPa1501MPa27352200.98

31、bmmyb150MPayIMbzCb5.1360bb 点的单元体如图所示。点的单元体如图所示。12015152709zbMPax5.13699 MPax5136.0 x0 y0 y),.(051361D1),(002DMPax5.136bB 点的三个主应力为点的三个主应力为MPax5.1361032100 MPax5136.0 x0 y0 y),.(051361D1),(002D 1 所在的主平面就是所在的主平面就是 x 平面平面,即梁的横截面即梁的横截面 C。MPax5.136b101xxa a5.122 ax6.64 ax解析法求解析法求 a 点的主平面和主应力点的主平面和主应力 )2(2

32、10yxxtg450 1350 0 0=5.220 5.670因为因为 x x y y ，所以所以 1 1=-22.5=-22.50 05.220 102xxa a5.122 ax6.64 axminmax22)2(2xyxyx3270150321 150150-27-27=5.220 1103例题例题：单元体应力状态如图。用解析法求：单元体应力状态如图。用解析法求：主应力，并在单元体中画出主应力方向。主应力，并在单元体中画出主应力方向。50202050 xx200 yy 解：解：maxmin22)2(2xyxyx =57-77057321 104 )2(210yxxtq4.1416.3800

33、 07.703.1900 因为因为 x x y y，所以，所以3.1901 50202050 xx200 yy3.1900 13105xyzo前面前面右侧面右侧面上面上面一、空间应力状态的概念一、空间应力状态的概念xyxzyxyzxyzzxzy：法线与法线与 X 轴轴平行的平面。平行的平面。7-3 7-3 空间应力状态的概念空间应力状态的概念106xyzoxyxzyxyzxyzzxzy第一下标第一下标第二下标第二下标 xy 表示表示 x 平面上，沿平面上，沿 y 方向方向的切应力。的切应力。第一下标表示切应力所在第一下标表示切应力所在的平面。的平面。第二下标表示切应力的方向。第二下标表示切应力

34、的方向。107xzzxzyyzyxxy因而独立的应力分量是因而独立的应力分量是 6个个xyzxyyzzx根据切应力互等定理，根据切应力互等定理，在数值上有在数值上有xyzoxyxzyxyzxyzzxzy108利用利用 确定该点的最大正应力和最大切应力确定该点的最大正应力和最大切应力 。131223已知：已知：受力物体内某一点处三个主应力受力物体内某一点处三个主应力 1 1、2 2、3 3 。二、空间应力状态分析二、空间应力状态分析109131223首先研究与其中一个首先研究与其中一个主平面主平面垂直的斜截面垂直的斜截面上的应力。上的应力。例如：与主应力例如：与主应力 3所在的平面垂直的所在的平

35、面垂直的斜截面斜截面1101333121223用截面法，沿求应力的截用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。取左下部分为研究对象。111主应力主应力 3 所在的两平面上是一对所在的两平面上是一对自相平衡的力，自相平衡的力，因而该斜面上的因而该斜面上的应力应力 ,与与 3 无关无关,只由主应力只由主应力 1,2 决定。决定。3312与与 3 垂直的斜截面上的应力可由垂直的斜截面上的应力可由 1 ,2 作出的作出的应力圆上的点来表示。应力圆上的点来表示。112331212 113与与 3 垂直的斜截面上的应力可由垂直的斜截面上的应力可由 1 ,2 作

36、出的应力圆上的点作出的应力圆上的点来表示。来表示。1 1 1 1 2 2 2 212 114OA12 1 1 1 1 2 2 2 2115OA123312116该应力圆周上的点对该应力圆周上的点对应于与应于与 3 垂直的所有垂直的所有斜截面上的应力。斜截面上的应力。OA12117O与主应力与主应力 2 所在主平面所在主平面垂直的斜截面上的应力垂直的斜截面上的应力,可用由可用由 1,3 作出作出的应力圆上的点来表示的应力圆上的点来表示。A123118O与主应力与主应力 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的面垂直的斜截面上的应力应力 ,可用由可用由 2,3作出的应力圆上的点作出的应力圆上的点来表示。

37、来表示。A123119该截面上应力该截面上应力 和和 对对应的应的 D点必位于上述三点必位于上述三个应力圆所围成个应力圆所围成 的阴影的阴影内。内。abc 截面表示与三个主截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面平面斜交的任意斜截面112233abc120OA123三个应力圆周上的点三个应力圆周上的点及由它们围成的及由它们围成的阴影阴影部分上的点的坐标部分上的点的坐标代代表了空间应力状态下表了空间应力状态下所有截面上的应力。所有截面上的应力。121O123123122该点处的最大正应力该点处的最大正应力(指代数值指代数值)应等于最大应等于最大应力圆上应力圆上A点的横坐标点的横坐标 1O123A A

38、1max123O123A A最大切应力则等于最最大切应力则等于最大的应力圆上大的应力圆上 B 点的点的纵坐标。纵坐标。B Bmax)(2131max124O123A AB Bmax)(2131max最大切应力所在的截最大切应力所在的截面与面与 2 所在的主平所在的主平面垂直，并与面垂直，并与 1和和 3所在的主平面成所在的主平面成 450角。角。125)(max3121 1 max上述两上述两 公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态，公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态，只需将具体问题的主应力求出，并按代数值只需将具体问题的主应力求出，并按代数值 1 2 3 的顺序排列。的顺序排列。12

39、6例题例题：单元体的应力如图所示：单元体的应力如图所示,作应力圆作应力圆,并求出主应力并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。和最大切应力值及其作用面方位。zx20M Pa20M Pa20M Pa127因此与该主平面正交的各截面因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力上的应力与主应力 z 无关无关,依依据据 x 截面和截面和 y 截面上的应力画截面上的应力画出应力圆出应力圆.求求另外两个另外两个主应力主应力。MPa20zMPa40 xMPa20 xyMPa20yMPa20yx解解:该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力zx20M Pa20M Pa20M Pa128 o A11A2

40、346MP-26MP量得另外两个主应力为量得另外两个主应力为D1D2cMPa40 xMPa20 xyMPa20yMPa20yx129该单元体的三个主应该单元体的三个主应力按其代数值的大小力按其代数值的大小顺序排列为顺序排列为MPa26MPa,20MPa,46321 o A11A23D1D2c130 ocD2D1A11A232MPa36maxBmaxMPa26MPa,20MPa,46321根据上述主应力，作根据上述主应力，作出三个应力圆。出三个应力圆。131例题例题:已知某结构物中一点处为平面应力状态已知某结构物中一点处为平面应力状态,x=-180MPa,y=-90MPa,x=y=0,试求此点处

41、的最大切试求此点处的最大切应力应力。MPa90)180(021)(2131max 3 3=x =-180=-180MPa解解:主应力主应力 2 2=y y=-=-90MPa 1 1=z z=0=0132例题例题：用图解法求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。：用图解法求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。133 o o 1 1 3 390900 0D D1 1D D2 2A A1 1A A2 2314501450 1 3max2)(231maxmax1347-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系一、一、各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律:拉应力为正拉应力为正 压应

42、力为负压应力为负1.符号规定符号规定xyzoxxyxzyyxyzzzxzy135 若若正面正面 (外法线与坐标轴正向外法线与坐标轴正向一致的平面一致的平面),),切应力矢的指向与坐切应力矢的指向与坐标轴正向一致标轴正向一致 ,或或负面负面 (外法线与坐标轴负向一致外法线与坐标轴负向一致的平面的平面)上上切应力矢的指向与坐标轴切应力矢的指向与坐标轴负向一致负向一致,则该则该切应力为正切应力为正,反之反之为负。为负。xyzoxxyxzyyxyzzzxzy136 线应变线应变:以伸长为以伸长为正正,缩短为缩短为负负；切应变切应变:使直角减者为使直角减者为正正,增大者为增大者为负；负；用叠加原理，分别

43、计算出用叠加原理，分别计算出 x ,y ,z 分别单独存在时分别单独存在时,x（y y，z z）方向的线应变方向的线应变 x（y，z），然后代数相加。），然后代数相加。2.各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律137ExxEyyxEzzx x 单独存在时单独存在时 y 单独存在时单独存在时 Z 单独存在时单独存在时一、一、x x 方向的线应变方向的线应变yZ ZyZ ZyZ Zxxyyzz138在在 x y z同时存在时同时存在时,x 方向的线应变方向的线应变 x为为)(1zyxxE)(1)(1yxzzxzyyEE在在 x y z同时存在时同时存在时,y,z 方向的线应变为方向的

44、线应变为139)(1zyxxE)(1)(1yxzzxzyyEEGyzyzGxyxy Gzxzx二、广义胡克定律二、广义胡克定律140 )(1yxxE)(1xyyEGxyxy)(yxzE平面应力状态下平面应力状态下(假设假设 Z Z=0,=0,xz z=0 ,=0 ,yzyz=0)=0)xy yz z xy y x y y x y y xy141)(13211E)(11322E)(12133E广义虎克定律（已知广义虎克定律（已知 1，2，3）1 1 ，2 2 ，3 3 为主应变为主应变 。在线弹性范围内，任一点处的在线弹性范围内，任一点处的主主应力指向与应力指向与主应变主应变方向方向是一致的。是

45、一致的。142平面应力状态下平面应力状态下,设设 3=0)(1211E)(1122E)(213E143例题例题：已知一受力构件：已知一受力构件自由表面自由表面上的两个主应变数值为上的两个主应变数值为10160,102406361 。构件材料为。构件材料为Q235钢，其弹钢，其弹性模量性模量 E=210GPa，泊松比，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值，。求该点处的主应力值，并求该点处另一并求该点处另一主应变主应变 2 的的数值和方向。数值和方向。解；解；32321,1 1一、一对应。一、一对应。由于构件自由表面，所以主应力由于构件自由表面，所以主应力 2=0。该点为平面应力状态。该点为平面应

46、力状态。144)(1311E)(1133EMPaE3.44)(31211MPaE3.20)(13231该点处另一该点处另一主应变主应变 2 的的数值为数值为103.346312)(E145三、各向同性材料的体应变三、各向同性材料的体应变 1 2 3a1a2a3构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化,称为体应变用称为体应变用 表示。表示。各向同性材料在三向应力状态各向同性材料在三向应力状态下的体应变下的体应变146)1()1()1(332211aaaV 1 2 3a1a2a3单元体的三对平面为主平面单元体的三对平面为主平面三个边长为三个边长为 a1,a2,a3变形后的边长分别为变形后的

47、边长分别为 a1(1+,a2(1+2 ,a3(1+3 变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为147321321321321321321321332211 )1()1()1()1(aaaaaaaaaaaaaaaaaaVVV148)(21321E)(13211E)(11322E)(12133E321149：xy3102材料的体积应变等于零。即在小变形下，切应力不引起材料的体积应变等于零。即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。各向同性材料的体积改变。)(21321E150假设一单元体承受三向等值应力，它的三个主应力为假设一单元体承受三向等值应力，它的三个主应力为3321m m m m)

48、(21321E单元体的体应变是单元体的体应变是321)(21mmmmEE1513321m m m m321mE 1 2 3a1a2a3)(21321E152 m m m 1 2 3a1a2a3这两个单元体的体积应变相同这两个单元体的体积应变相同153 m m m图式单元体的三个主应变为图式单元体的三个主应变为mmmmEE)21()(1321154 m m m如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例。155 m m m 在在 三向等值应力三向

49、等值应力 m 的作用下，的作用下，单元体变形后的单元体变形后的形状形状和和变形前变形前的的相相似。称这样的似。称这样的单元体单元体是是 形状不变的形状不变的。156)(21zyxE在任意形式的应力状态下，各向同性材料内一点处的体积应变在任意形式的应力状态下，各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比，而与切应力无关。比，而与切应力无关。在最一般的空间应力状态下，材料的体应变只与三个线应变在最一般的空间应力状态下，材料的体应变只与三个线应变 x，y，z 有关。仿照上述推导有有关。仿照上述推导有157例题

50、例题:边长边长 a=0.1m 的铜立方块的铜立方块,无间隙地放入体积较大无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中变形可略去不计的钢凹槽中,如图如图 a 所示。所示。已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量 E=100GPa,泊松比泊松比 =0.34,当受到当受到 F=300kN 的均布压力作用时的均布压力作用时,求该铜块的主应力。求该铜块的主应力。体积应变以及最大切应力。体积应变以及最大切应力。158MPa301.01030023AFy解：铜块横截面上的压应力为解：铜块横截面上的压应力为(a)aaaF159Zyx z x y0)(1zyxxE0)(1zyzzE160解得解得-15.5MPa )3