内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试卷（含解析）.doc

1、 内蒙古呼和浩特市内蒙古呼和浩特市 2019 届高三届高三 3 月第一次质量普查调研考试月第一次质量普查调研考试 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题）小题） 1.设全集为 R，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得求得集合 B，再根据补集、交集的定义即可求出 【详解】解：，或， ， 故选：B 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目 2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 a 为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数代数形式

2、的乘除运算化简，再由实部为 求得 值 【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上， ，即 故选：D 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3.已知正方形 ABCD 的边长为 2，以 AB 中点 O 为圆心，1 为半径画圆，从正方形 ABCD 中任取一点 P，则点 P 落在该圆中的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出圆落在正方形中的面积为 ，正方形的面积为 4，再由几何概型的概率公式可得点 落在该圆中的概率 为 。 【详解】解：如图所示， 因为，圆的半径为 1 所以，圆落在正方形中（阴影部分）的面积为 ， 而正方形的面

3、积为 4， 由几何概型的概率公式可得点 落在该圆中的概率为 。 【点睛】本题考查几何概型的概念与概率公式，几何概型有两大特征：1.无限性，2.等可能性， 几何概型的 概率公式为（构成事件的区域长度 （面积、 体积） ） （试验的全部结果所构成的区域长度 （面积、 体积） ） 。 4.函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可 【详解】函数， 则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D， ，排除 B， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是

4、解决本题的关键 5.在等比数列中，且为和的等差中项，则 为 A. 9 B. 27 C. 54 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，设等比数列的公比为 q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列 的通项公式代入化简为，解得 q，又，即，分析可得、q 的值， 可得数列的通项公式，将代入计算可得答案 【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为 q， 若为和的等差中项，则有，变形可得，即， 解得或 3； 又，即，则， 则，则有； 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题 6.政府为了调查市民对 A、B 两服务部门的服务满意度情况，

5、随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对两部 门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图： 则下列说法正确的是 A. 这 50 位市民对 A、B 两部门评分的方差，A 部门的评分方差大 B. 估计市民对 A、B 两部门的评分高于 90 的概率相同 C. 这 50 位市民对 A 部门的评分其众数大于中位数 D. 该市的市民对 B 部门评分中位数的估计值是 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可 【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数， 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要

6、小于乙部门的标准差， 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大， 由茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90的比率分别为， 故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率得估计值分别为， 故 A，B，C错误； 由茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第 25，26位的是 75，75，故样本的中位数是 75， 所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是 75 50 位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第 25，26位的是 66，68， 故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是 67， 故 D 正确；

7、 故选：D 【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题 7.函数 （其中，）的图象如图所示，为了得到的图 象，只需将的图象上所有点 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得得解析式，再利用函数 的图象变换规律，得出结论 【详解】解：根据函数 （其中，）的图象， 可得， 再利用五点法作图可得，求得， 为了得到的图象， 只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可， 故选：A 【点睛

8、】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周 期求出 ，由五点法作图求出 的值，函数的图象变换规律，属于基础题 8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹 节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出 m 的值为 67，则输入 a 的值为 A. 7 B. 4 C. 5 D. 11 【答案】C 【解析】 模拟程序框图的运行过程，如下： 输入 ， ； ，； ，； ，； 输出，结束； 令，解得. 故选 C. 9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为 1 的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图

9、和俯视图如图 所示若该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果 【详解】 该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形， 其表面积 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力 10.设有如下三个命题： 甲：相交直线 l、m 都在平面 内，并且都不在平面 内； 乙：直线 l、m 中至少有一条与平面 相交； 丙：平面 与平面 相交 当甲成立时 A. 乙是丙的充分而不必要条件 B. 乙是丙的必要而不充分条件 C.

10、 乙是丙的充分且必要条件 D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 判断乙是丙的什么条件，即看乙丙、丙乙是否成立当乙成立时，直线 l、m 中至少有一条与平面 相交， 则平面 与平面 至少有一个公共点，故相交相交反之丙成立时，若 l、m 中至少有一条与平面 相交，则， 由已知矛盾，故乙成立 【详解】解：当甲成立，即“相交直线 l、m 都在平面 内，并且都不在平面 内”时，若“l、m 中至少有一 条与平面 相交”，则“平面 与平面 相交”成立；若“平面 与平面 相交”，则“l、m 中至少有一条与平 面 相交”也成立 故选：C 【点睛】本题考查空间两条直线、两个平

11、面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力 11.已知函数与 的零点分别为， ，且，则， ， 的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数与方程的关系， 分别转化为与的图象，和的图象，和 的图象，利用数形结合研究，的范围即可得到结论 【详解】解：由得，即， 作出函数与的图象如图，黑色图象，由图象知两个图象交点的横坐标满足， 由得，作出和的图象如图红色图象由图象知两个图象交点的横坐 标满足，作出和，的图象如图蓝色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足 ，综上，的大小关系为，故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，

12、利用数形结合求出对应 究，的范围是解决本题的关键 12.已知双曲线的上、下焦点分别为 ，过且倾斜角为锐角的直线 1 与圆 相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先设与圆相切于点 E，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从 而可求双曲线的渐近线方程 【详解】解：设与圆相切于点 E，因为，所以为等腰三角形，N 为的中点， 所以，又因为在直角中， 所以 又 ， 由可得，即为，即，则双曲线 的渐近线方程为，即为故选：B 【点睛】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平

13、面几何的性质， 考查运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题）小题） 13.已知，是单位向量，且与夹角为 ，则等于_ 【答案】3 【解析】 14.在的展开式中， 的系数为_ 【答案】80 【解析】 【分析】 利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论 【详解】解：的展开式中，通项公式， 令，解得的系数故答案为：80 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15.设抛物线的焦点为 F，准线为 L，P 为抛物线上一点， ，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为， 那么以 PF 为直径的圆的标准方程为_ 【答案】 【

14、解析】 【分析】 利用抛物线的定义，设 F 在 l 上的射影为 ，依题意，可求得，从而可求得点 P 的纵 坐标，代入抛物线方程可求得点 P 的横坐标，从而可求得进而求得圆的方程 【详解】解：抛物线的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， ，准线 l 的方程为：；设 F 在 l 上的射影为 ，又，依题意， ，轴，点 P 的纵坐标为，设点 P 的横坐标为， 故以 PF 为直径的圆的圆心为，半径为 2以 PF 为直径的圆 的标准方程为.故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题 16.已知等差数列的公差为 2，前 n 项和为，且， ， 成等比数列

15、令 ，则数列 的前 100 的项和为_ 【答案】 【解析】 【分析】 首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【详解】解：设等差数列的首项为，公差为 2，前 n 项和为，且，成等比数列 则：，解得：，所以：， 所以：， 所以：， 故答案为： 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查 学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题）小题） 17.如图，D 是直角斜边 BC 上一点， 若，求的大小； 若，且，求 AD 的长 【答案】，或 【解析】 【分析】 由已知可求

16、，在中，由正弦定理可得，即可解得由已知 在中，由勾股定理可得，令，由余弦定理， 即可解得 AD的值 【详解】， ， 在中，由正弦定理可得：， ， ，或， 又， ， ， 在中，由勾股定理可得：，可得：， ， 令，由余弦定理： 在中， 在中， 可得：， 解得：，可得： 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 18.如图，平面四边形 ABCD，将沿 BD 翻折到与面 BCD 垂直的 位置 证明：面 ABC； 若 E 为 AD 中点，求二面角的大小 【答案】 （1）见证明； （2） 【解析】 【分析】 推导出面 BCD，从而，再求出

17、，由此能证明平面 ABC 以 B 为原点，在平面 BCD 中，过 B 作 BD 的垂线为 x 轴，以 BD 为 y 轴，以 BA 为 z 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能求出二面角的大小 【详解】证明：平面四边形 ABCD， 面面 BCD，面平面， 面 BCD， 又， ， ，平面 ABC 解：面 BCD，如图以 B 为原点，在平面 BCD 中，过 B 作 BD 的垂线为 x 轴， 以 BD 为 y 轴，以 BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则0，0， 是 AD 的中点， ， 令平面 BCE 的一个法向量为y， 则，取，得， 面 ABC，平面 ABC 的一个法向量为， ， 二面角的大

18、小为 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶 3 元，售价每瓶 5 元，每天未售出的饮料 最后打 4 折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低 于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 100 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最

19、高气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望 EX； 设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断 Y 的数学期望是否在时取得最大值？ 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 由题意知 X 的可能取值为 100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和六月 份这种饮料的进货量 n，当时，求出，故当时，Y 的数学期望达到最大 值，最大值为 520 元；当时，故当时，Y 的数学期望达到最大值，最 大值为 4

20、80 元由此能求出时，y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元 【详解】解：由题意知 X 的可能取值为 100，300，500， ， ， ， 的分布列为： X 100 300 500 P 由题意知六月份这种饮料的进货量 n 满足， 当时， 若最高气温不低于 25，则， 若最高气温位于，则， 若最高气温低于 20，则， ， 此时，时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元， 当时， 若最高气温不低于 25，则， 若最高气温位于，则， 若最高气温低于 20，则， ， 此时，时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 480 元， 时，Y 的数学期望值为：不是最大值， 时，y 的数学期望达

21、到最大值，最大值为 520 元 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 20.已知椭圆 C：过点，其左右焦点分别为 ，三角形的面积为 求椭圆 C 的方程； 已知 A，B 是椭圆 C 上的两个动点且不与坐标原点 O 共线，若的角平分线总垂直于 x 轴，求证：直线 AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形 【答案】见解析 【解析】 【分析】 由题意可得，解得，则椭圆方程可求；设直线 PA 的方程为， 联立直线方程和椭圆方程，求得 A的横坐标，同理求得 B的横坐标，进一步求得 A、B的纵坐标的差，代入 斜率公式得答

22、案 【详解】由题意可得，解得， 故椭圆 C 的方程为， 证明：设直线 AP 的斜率为 k，则直线 BP 的斜率为， 设，直线 PA 的方程为，即 联立，得 ，即 设直线 PB的方程为，同理求得 ， 直线 AB的斜率， 易知 l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为 0， 直线 AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题 21.已知函数， 当时，讨论函数的单调性； 若函数有两个极值点，且，求证 【答案】 （1）函数在上单调递减；在和上单调递增 （2） 见证明 【解析】 【分析】 首先求得导函数，然后分类讨

23、论确定函数的单调性即可； 首先确定，的范围，化简的表达式为构造函数， 利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立. 【详解】解：， ， 令， 令则， 当，即时， 令则；令则 此时函数在上单调递减；在上单调递增 当，即时， 令，则； 令则， 此时函数在上单调递减；在和上单调递增 由知，若有两个极值点， 则且， 又，是的两个根，则， ， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减；在上单调递增 ， ，得证 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知 识，属于中等题 22.在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为

24、极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线 1 的极坐标方程为，设 1 与曲线，异于极点的交点分别为 A，B 当时，求； 求 AB 中点轨迹的直角坐标方程 【答案】，去掉， 【解析】 【分析】 用直线 l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；先求出 AB的中点的 轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程 【详解】当时，联立得； 同理得，由极径的几何意义有 由已知令， ，P 为 AB的中点， ， 即， 所以 P 点的轨迹的直角坐标方程为， 因为直线 l不与坐标轴重合，所以需去掉， 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力. 23.已知函数 在给出的直角坐标系中画出函数的图象； 若关于 x 的不等式的解集包含，求 m 的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 ，画图即可；关于 x 的不等式的解集包含，可得 在上恒成立，解得即可. 【详解】，其图象为 关于 x 的不等式的解集包含， 即在上恒成立， ， 即， ，上恒成立， ， 故 【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形 结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.