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1、非平稳信号分析 教学内容：n信号的时频表示方法n短时傅立叶变换n分数傅立叶变换nWigner分布与广义双线性时频分布n小波分析和应用对学习者的要求n三个基本要求：n掌握时频分析的基本思想n熟悉处理非平稳信号的基本方法n能将非平稳信号分析方法应用在实际工作中。非平稳信号分析介绍：n信号是什么？n信号分析的任务是什么？n什么是非平稳信号？n用什么方法来分析和处理非平稳信号？信号：n信号是随时间或空间变化的物理量。n信号的数学表示方式：多变量函数。信号分析：n对信号基本性质的研究和表征。n多变量函数的不同表示。平稳信号与非平稳信号：n平稳随机信号11(),.,()(),.,(),.,(),nnnx

2、tx tx tx ttTx t tT1若的联合分布函数与的联合分布函数对所有的t都相同，则由随机过程表征的随机信号称为（严格）平稳随机信号。平稳信号与非平稳信号：n广义平稳随机信号21212(),()|()|,()xxx t tTE x tmEx tR t tR tt若随机信号满足：（1）常数（2）（3）称为广义（二阶）平稳随机信号。平稳信号与非平稳信号：n广义(n阶）平稳随机信号n阶统计量不随时间变化的随机信号平稳信号与非平稳信号：n非平稳随机信号 不是广义平稳的信号为非平稳信号。n某阶统计量随时间变化的信号。（时变信号）非平稳信号分析的主要研究领域：n短时傅立叶变换n时频分析n分数阶傅立叶

3、变换n小波变换n其他新的信号分析和处理工具Fourier的贡献：n用数学方式提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余弦函数之和。n他解释了这一数学论断的实际物理意义。Fourier变换的意义：波的合成输入：自然光红色光橙色光紫色光输入：f(x)频率1频率2.Fourier变换的一种解释一个反例：n1873年，Bois-Reymond构造了一个反例：一个连续的周期函数，但它的Fourier级数在给定点发散。对Fourier变换理论的修正：n修正对函数的要求，并找出适合于Fourier级数理论的活动类。n修正Fourier级数收敛的定义。n找出另外的正交函数族，使其对三角函数族的发散现象不在

4、产生。三个研究方向的结果：第一个方向：由Lebegue解决。平方可积函数。即：2,02L第二个方向：产生了调和分析这一研究 领域。nSSSroaCesxSnnn)()(110和）代替。用部分和的平均（部分和第三个方向：产生了最原始的小波：Harr小波问题：n是否存在0,1上的正交函数族hn(x)，对任意0,1上的连续函数，有).(1,0)(,0 xfxhhfnnn上一致收敛于在n1909年，Haar找到了一个现在被称为Haar函数（小波）的函数，满足上面的要求。1/21 1,0)(2)2(2)(0)1,211)21,01)(02xhknkxhxhxxxhjjjn其中：其他不是连续函数。缺点：)

5、(xhn基础知识：n群 一个集合X,在这个集合上有一个被称作乘法的内部运算。且满足：exxxxxxXxXxxexxeXeXzyxyzxzxy111,)3()2(,)()()1(，使的逆元存在对任意的，使存在恒等元结合律nAbel群（可交换群）Xyxyxxy,n环 一个集合X,在这个集合上有两个分别被称作乘法与加法的内部运算。且满足：zxyxxzyxzxyzyxyzxzxyXzyxX)()()()(,)2()1(加法可交换律。即乘法是可结合的，且对群。在加法下是一个可交换n环的恒等元xxeexXxXe，有对,nAbel环 在乘法运算下，还是一个Abel群的环。n域 一个具有恒等元的环，且满足除零

6、（加法的恒等元）以外的所有元素都有逆元。n模 在一个Abel群上再加上一个被称为数乘的外部运算。XyxRxxxxxyxyx,)()()()(n代数 一个在具有恒等元的环R上的模A，再加上一个内部可结合运算（乘法）。)()()(2)1(yxyxxyA）（是一个环。nLebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分f(x)xRiemann积分xLebesgue积分f(x)几乎处处收敛：eaxfxfn.,)()(0是一个零测集。不收敛与即：)()(0 xfxfxAnn控制收敛定理dxxfdxxfxfnxgxfxfxfnnnn)(lim)()()()(,)()(可积，并且成立，那么

7、对于所有的如果几乎处处假定nFubili定理 dxdyyxfdydxyxfdxdyyxfdxdyyxf),(),(),(.),(则如果函数空间：Ca,b :f(x)|f(x)是a,b上的连续函数 L2 :f(x)|f(x)是平方可积函数二.内积空间 设X是一个复线性空间，若存在一个二元 映射，满足：1)线性性:=a+b2)对称性：=3)非负性：则称X是一个内积空间。0,0,0,uuuuu并三.赋范线性空间 设X是一个线性空间，若存在X上的一个泛函，满足：1)非负性:2)齐次性：3)三角不等式：则称X是赋范线性空间。uuvuuaau00,0uuu并内积空间与赋范线性空间的关系：n内积空间可以下面

8、的方法定义范数，成为一个赋范线性空间。2/1,xxx赋范线性空间中的收敛概念：000 xxxxnn，则称若完备性：X,X00 xxxxnn则完备的赋范线性空间称为Banach空间。Banach空间的另一种表述：柯西序列：是柯西序列。时，则称当nmnnxmnxxXx,0,若任一柯西序列都有极限，则称X为Banach空间。n完备的内积空间就是Hilbert空间。常用的函数空间：212222122,:m ax():,():,()rrnnnnnnnnC a bxx tLfgfgdtffdtlxxcdc dxc Hilbert空间的正交概念：222,0,vuvuvuvuHvuHilbertH此时：正交。

9、则称若空间，是VV,H,V,0,HVHVwvwvuuuwwHilbert，有唯一的分解：对则交补定义为：的一个闭子空间，其正空间是设投影定理：uvwn投影算子：vuPVHPVV,:基的讨论：基基Riesz基基正交基正交基规范正交基规范正交基。NkkVNkkkVNkkkkvuuHuvvuuPvcuuspanVNkv12211,P,H1.1)(且，则的一组规范正交向量组是设正交展开定理定理：N22N,P,H.2)(kkVNkkkVkkkkvuuHuvvuuPvcuuspanVNkv且，则的一组规范正交向量列是设正交展开定理定理：N22,V.3)(kkvuuu的充分必要条件是：正交展开定理定理：支集和紧支集支集：A=x|f(x)不等于零。紧支集：A是一个紧集。Schuarzy不等式：gfgf2,