信号与系统-第三章-傅里叶变换课件.ppt

1、时域分析法时域分析法 频域分析法频域分析法 傅立叶分析方法，对于连续时间和离散时傅立叶分析方法，对于连续时间和离散时间信号与系统分析来说，是一个强有力而严谨间信号与系统分析来说，是一个强有力而严谨的分析体系，有极为广泛和潜在的应用范围。的分析体系，有极为广泛和潜在的应用范围。傅立叶分析方法，不仅应用于电力工程、傅立叶分析方法，不仅应用于电力工程、通信和控制领域，而且在力学、光学、量子物通信和控制领域，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛和普遍的应用。和工程技术领域中得到广泛和普遍的应用。一、一、三角函数

2、形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数二、指数二、指数形式的傅里叶级数形式的傅里叶级数三、周期信号的功率特性三、周期信号的功率特性四、函数的对称性与傅里叶系数四、函数的对称性与傅里叶系数 的关系的关系一、一、三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 任何一个满足狄里赫利条件的任何一个满足狄里赫利条件的周期为周期为T1的函的函数数 f(t)都可以用都可以用三角函数集中各函数分量的线三角函数集中各函数分量的线性组合来表示性组合来表示，即，即 tnbtnatbtatbtaatfnn11121211110sincos2sin2cossincos)(1110sincosnnntnbtnaa 1

3、.三角函数形式的傅里叶级数展开式三角函数形式的傅里叶级数展开式上式称为上式称为 f(t)的的的的傅立叶级数展开傅立叶级数展开其中：其中：dttntfTbdttntfTadttfTaTfTTttnTttnTtt)sin()(2)cos()(2)(121,210010010011111011111 结论：结论：周期信号满足一定条件都可以分解为周期信号满足一定条件都可以分解为直流分量和许多正弦、余弦分量。直流分量和许多正弦、余弦分量。谐波分析谐波分析（1）正弦、余弦分量的频率必定是基频）正弦、余弦分量的频率必定是基频 的整数倍的整数倍（2）通常把频率为）通常把频率为 的分量称为基波。频的分量称为基波

4、。频 率为率为 的分量称为二次谐波、三的分量称为二次谐波、三 次谐波等次谐波等（3）直流分量大小以及基波与各次谐波的）直流分量大小以及基波与各次谐波的 幅值、相位取决于周期信号的波形。幅值、相位取决于周期信号的波形。)1(111Tff113,2ff1f函数的傅里叶级数展开傅里叶级数傅里叶级数最简单的波是谐波(正弦波),他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.周期为 的波,在一定条件下可以把它写成我们称上式右端的级数是傅里叶级傅里叶级数数 tAsin1T tf1110sincosnnntnbtnaa 我们考察三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1

5、111111xnxnxxxx 三角函数的正交性三角函数的正交性设 是任意实数,是长度为 的区间,由于三角函数 是周期为 的函数,经过简单计算,有利用积化和差的三角公式容易证明0t100,Ttt1Txnxn11sin,cos 1T100111022111,0coscoscosTttTTTdxndxnxdxn 1TttTttxdxlkxlkxdxlxk001000)cos()cos(21sinsin1111 2100111022111,0sinsinsinTttTTTdxndxnxdxn 1001000)sin()sin(21cossin1111TttTttxdxlkxlkxdxlxk 10010

6、00)cos()cos(21coscos1111TttTttxdxlkxlkxdxlxk lk 三角函数系其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ，而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个函数系在长为 的区间上具有正交性具有正交性。3,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1111111xnxnxxxx 1T1T 2,1见 3见10011100112122122cos1coscosTttTTTdxxkxdxkxdxk 10011221sinTttTxdxk TttTdx00121傅里叶系数傅里叶系数 设函数 已展开为全区间设的一致收敛的

7、三角级数 现在利用三角函数系数的正交性来研究系数 与 的关系。将上述展开式沿区间 积分，右边级数可以逐项积分，由 得到即又设 是任一正整数，对 的展开式两边乘以 沿 积分，由假定，右边可以逐项积分，由和 ，得到 xf xnbxnaaxfnnn1110sincos ,2,1,0nbaann xf2,211TT 1 102211TadxxfTT dxxfTaTT2210111n xfnxcos2,211TT 2,1 3即同样可得 nxdxxfTancos21 22111sin1TTnnxdxxfTb xnbxnaaxfnnn1110sincos 22111cosTTxdxnxf 221222211

8、1110cossincoscoscosTTkTTTTkkxdxnxkbxdxnxkaxdxna 221122cosTTnnTaxdxna；若把同频率项加以合并，即若把同频率项加以合并，即)cos(sincos12211nnnnntnbatnbtna 或或)sin(sincos12211nnnnntnbatnbtna 1110sincos)(nnntnbtnaatf 或或则可得到另两种表示形式：则可得到另两种表示形式：cn、dn 表示表示 n 次谐波振幅；次谐波振幅；n n,n n 代表代表 n 次谐波的初相位次谐波的初相位 110)(cos)(nnntncctf 110)(sin)(nnntn

9、ddtf nnnnnnnnnnbaabbadcdca tantan22000周期函数展开为傅立叶级数周期函数展开为傅立叶级数 狄里赫利条件：狄里赫利条件：1、在一周期内，信号是绝对可积的。即：、在一周期内，信号是绝对可积的。即：dttfTtt00)(2、在一周期内，信号有有限个极值点，、在一周期内，信号有有限个极值点，和有限个间断点。和有限个间断点。我们实际中遇到的周期信号，都能满足这我们实际中遇到的周期信号，都能满足这些条件。些条件。在实际的信号分析中，只能用下面的在实际的信号分析中，只能用下面的有限项近似形式来表示任意信号有限项近似形式来表示任意信号 f(t)。)()sincos()(11

10、10ttnbtnaatfNnNnn 例：例：1tTf(t)0 11)(tf20Tt TtT 2将信号将信号 f(t)展开为三角形式的傅立叶级数。展开为三角形式的傅立叶级数。解：解：首先根据公式计算系数首先根据公式计算系数0)(100 TdttfTaTntdtntfTa01cos)(2 0coscos220211TTTdttndttnT 1tTf(t)0TntdtntfTb01sin)(2 20211sinsin2TTTdttndttnT|212011coscos12TTTtntnnT nnbncos12 为为奇奇数数）（为为偶偶数数）（nnnbn 40所以所以tnbtfnn 11sin)(tt

11、t1115sin543sin34sin4 nnbncos12 110)(cos)(nnntncctf 2.三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数单边频谱单边频谱其中：其中：cn 代表代表 n 次谐波的振幅。次谐波的振幅。n 代表代表 n 次谐波的初相位。次谐波的初相位。为了表征不同信号的谐波组成情况，时常为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号的各次谐波的分布图，这种图画出周期信号的各次谐波的分布图，这种图形称为形称为信号的频谱信号的频谱。它是信号频域的一种表示方法。它是信号频域的一种表示方法。：描述各次谐波：描述各次谐波幅度与频率幅度与频率的的 关系图。关系图。：描述各次谐波：描述

12、各次谐波相位与频率相位与频率的的 关系图。关系图。要研究要研究 f(t)的的，首先求，首先求 f(t)的傅立叶级的傅立叶级数的数的系数系数。例：例：周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号0)(Etf22 t2222TtandtT Ef(t)2 2TTt2T f(t)是偶函数，所以是偶函数，所以 0 nb 22)(10TTdttfTa 221 EdtTTE 221cos)(2TTdttntfTan 222cos2 dttTnET|2sin2222 tTnnTTE TnnEsin2)(2 TnSaTE)(2 TnSaTEan)2(21 nSaTE 三角形式的傅立叶级数为：三角形式的傅立叶级数为：111c

13、os)2(2)(ntnnSaTETEtf 此时，此时，22nnnbac 0tan nnnab 0n0 na0 nana)2(21 nSaTE 将各将各谐波分量谐波分量的的和和用用垂直线段垂直线段在在频率轴的相应位置频率轴的相应位置上标出，即信号的上标出，即信号的。0n0 na0 na)2(21 nSaTEcn n 0 2 4 21 4TE 2TE cn 0包络线包络线谱线谱线 也可以将幅度谱和相位谱合在一幅图也可以将幅度谱和相位谱合在一幅图上。这种画法只有上。这种画法只有cn为实数为实数时才可能。时才可能。cnTE 2 01 2 4二、指数二、指数形式的傅里叶级数形式的傅里叶级数 1110si

14、ncos)(nnntnbtnaatf 已知已知1.指数形式的傅里叶级数展开公式指数形式的傅里叶级数展开公式欧拉公式：欧拉公式：)(21sin)(21cos111111tjntjntjntjneejtneetn 101122)(ntjnnntjnnnejbaejbaatf )(21)()(21)(11nnnnjbanFjbanF 111011)()()(ntjntjnenFenFatf 令令 F(0)=a0,且且 111111)()(ntjnntjnenFenF 指数形式傅里叶级数为：指数形式傅里叶级数为：ntjnenFtf1)()(1 指数形式傅里叶级数的系数为：指数形式傅里叶级数的系数为：)

15、(21)(1nnnjbanFF dttntfTjdttntfTTttTtt)sin()(2)cos()(2211001001111 dtetfTFtjnTttn1100)(11 dtetfTFtjnTttn1100)(11 Fn与其他系数的关系为：与其他系数的关系为：0000dcaF )(21nnnjbaF njnnnneFjbaF )(21njnnnneFjbaF )(21njnnnneFjbaF )(21njnnnneFjbaF )(21222121nnnnnbacFF nnncFF nnnaFF nnnbFFj 2.指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数双边频谱双边频谱dtEeTFtj

16、nn 2211 )2(1 nSaTE ntjnenSaTEtf1)2()(1 Fn 01 2 4TE 2 例：例：周期矩形周期矩形 脉冲信号脉冲信号Ef(t)2 2TTt2T 单边频谱与双边频谱单边频谱与双边频谱：单边单边：每一谱线代表某一分量的幅度。每一谱线代表某一分量的幅度。双边双边：谱线在原点两侧对称分布，且谱线长度减谱线在原点两侧对称分布，且谱线长度减小一半，（每一频率谱线正负各一半）。小一半，（每一频率谱线正负各一半）。njnnecF 21 Fn 01 2 4TE 2 cnTE 2 01 2 4三、周期信号的功率特性三、周期信号的功率特性dttfTtfPTtt 100)(1)(212

17、对于正弦叠加信号的功率为：对于正弦叠加信号的功率为：nnnnnnnnnFccccbaababaaP2212012202122022222121202221)(212222 周期信号的平均功率等于傅里叶级周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，即数展开各谐波分量有效值的平方和，即时域与频域的能量守恒时域与频域的能量守恒 帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理。四、函数的对称性与傅里叶系数四、函数的对称性与傅里叶系数 的关系的关系 如果如果 f(t)是实函数而且其波形满足某是实函数而且其波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中种对称性，则在其傅里叶级数中有些项有些项将不出现。将不出现。偶函数

18、偶函数 奇函数奇函数 奇谐函数奇谐函数几种对称类型：几种对称类型：221cos)(2TTdttntfTan 201cos)(4TdttntfT 0 nb022nnnnnnnaFFFac1.偶函数偶函数)()(tftf 2.奇函数奇函数)()(tftf 所以：所以：00 naa 221sin)(2TTdttntfTbn 201sin)(4TdttntfT nnnnnnjbFFjFbc2122n3.奇谐函数奇谐函数)2()(1Ttftf 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，则此时波形并不发生变化，称轴上下翻转，则此时波形并不发生变化，称为为半波对称函

19、数半波对称函数或或奇谐函数奇谐函数。00 a0 nnba 201cos)(4TdttntfTan 201sin)(4TdttntfTbn（n为偶数）为偶数）（n为奇数）为奇数）（n为奇数）为奇数）设周期矩形脉冲信号设周期矩形脉冲信号 f(t)的脉冲宽度为的脉冲宽度为 ，脉冲幅度为脉冲幅度为 E，周期为，周期为 T1，Ef(t)2 21TT1t21T三角形式的傅立叶级数为：三角形式的傅立叶级数为：11111cos)2(2)(ntnnSaTETEtf ntjnenSaTEtf1)2()(11 指数形式的傅立叶级数为：指数形式的傅立叶级数为：频谱分别为：频谱分别为：cnTE 2 01 2 4Fn 0

20、1 2 4TE 2 频谱图特点频谱图特点：周期矩形脉冲的频谱如同一般的周期周期矩形脉冲的频谱如同一般的周期信号一样，它的信号一样，它的谱线是离散的谱线是离散的，两谱线的间隔，两谱线的间隔为为 1（=2/T1），周期越大，谱线越靠近周期越大，谱线越靠近。：各次谐波分量的频率都是基波频率各次谐波分量的频率都是基波频率 1（等于（等于2/T1）的）的整数倍整数倍。：谱线幅度随谱线幅度随 n 而而衰减到零衰减到零。1.直流分量，基波及各谐波分量的大小直流分量，基波及各谐波分量的大小正比与脉幅正比与脉幅E和脉宽和脉宽2.零点零点:3.极值点极值点：各谱线的各谱线的幅度包络线按抽样函数幅度包络线按抽样函数

21、 Sa(/2)的规律的规律变化变化。),2,1(2mmtnnSaTE111cos)2(2n次谐波次谐波：周期矩形脉冲信号包含无穷多周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，但它的能量主要集中在条谱线，但它的能量主要集中在第一零点以内第一零点以内。把把 =0 2/这段频率范围称为矩形脉冲信号这段频率范围称为矩形脉冲信号的占有频带宽度。记作的占有频带宽度。记作 2 B 1 fB或或上式说明：信号的上式说明：信号的与与 成反比。成反比。脉宽和周期对频谱的影响脉宽和周期对频谱的影响相同不同（1）谱线间隔不变（2）包络线零点变化 相同不同（）包络线零点不变（）谱线间隔变化一、一、频谱密度函数的概念频谱密度函数的

22、概念二、非周期信号的傅里叶变换二、非周期信号的傅里叶变换上节讨论了周期信号的傅立叶级数上节讨论了周期信号的傅立叶级数 ntjnenFtf1)()(1 以及周期信号的离散频谱，以及周期信号的离散频谱，f(t)的谱系数的谱系数Fn为为dtetfTnFFtjnTttn1100)(1)(11 一个一个非周期信号非周期信号，可以看作是，可以看作是重复周期重复周期T1为为无穷大无穷大的的周期信号周期信号。当当T1时，以周期矩形脉冲为例时，以周期矩形脉冲为例（1）周期信号周期信号就转化为就转化为非周期信号非周期信号。（2）谱线间隔）谱线间隔 1=2/T1 趋于趋于无穷小无穷小。这时，。这时，离散频谱离散频谱

23、就变成了连续频谱，就变成了连续频谱，n 1 （3 3）各个谱线的）各个谱线的也趋于也趋于无穷小无穷小，即，即Fn 0Fn 01 2 4TE 2 无法用傅立叶级数描述非周期信号的频无法用傅立叶级数描述非周期信号的频域特性，因此，我们引入域特性，因此，我们引入频谱密度频谱密度的概念。的概念。一、一、频谱密度函数的概念频谱密度函数的概念 ntjnenFtf1)()(1 dtetfTnFFtjnTttn1100)(1)(11 周期信号周期信号f(t)展开成指数傅立叶级数展开成指数傅立叶级数：当当T1时，时，0nF1TFn 但但可能是有限值可能是有限值引入引入F()频谱密度函数频谱密度函数1lim1TF

24、nT110)(2lim1nF :频谱密度频谱密度，具有具有的的，是，是 的连续函数。的连续函数。11)(nF)(F,01离散频率变成连续频率离散频率变成连续频率 ,1n110)(2lim1nF二、非周期信号的傅里叶变换二、非周期信号的傅里叶变换1.正变换正变换满足满足狄里赫利狄里赫利条件：条件：dttf)(的信号的信号 f(t)存在傅立叶变换。存在傅立叶变换。212111)(limTTdtetftjnT,11 dT 1n由由dtetfFtj )()(得：得：1lim)(1TFFnT 将将 Fn 代入代入2.反变换反变换 ntjnenFtf1)()(1 tjnntjnedtetfTtfTT121

25、211)(1)(1 ,11 dT 1n当当 dT22,11 tjntjedtetfdtf )(2)(detdetftjtj)(21 detdetftftjtj)(21)(deFtftj)(21)(即：即：傅里叶正变换：傅里叶正变换：dtetftfFFtj )()()(傅里叶逆变换：傅里叶逆变换：deFFFtftj)(21)()(13.频谱密度函数频谱密度函数F()通常是复函数，可写成：通常是复函数，可写成：)()()(jeFF 其中：其中：)(F3.是频率的是频率的连续函数连续函数，且，且 f(t)为为 实函数时，实函数时，是是 的的偶函数偶函数。1.是是)(F的幅度函数；的幅度函数；)(F信

26、号的信号的幅度频谱幅度频谱2.代表信号中各频率分量的代表信号中各频率分量的相对大小相对大小。各频率。各频率 分量的实际振幅为分量的实际振幅为无穷小量无穷小量。dtttfjdtttfdtetfFtj)sin()()cos()()()(dtttfjdtttfdtetfFtj)sin()()cos()()()()()(FF其中：其中：)(1.是是F()的的相位频谱相位频谱；2.是频率的是频率的连续函数连续函数，且为，且为奇函数奇函数；)()()(信号的相位频谱信号的相位频谱一、单边指数信号一、单边指数信号二、双边指数信号二、双边指数信号三、矩形脉冲信号三、矩形脉冲信号四、符号函数四、符号函数一、单边

27、指数信号一、单边指数信号0)()(atuetfta)(tft10由傅立叶变换公式得由傅立叶变换公式得 tdetfFtj )()(0dteetjta ja 1 0)(tdetja 其其幅度频谱幅度频谱和和相位频谱相位频谱分别为：分别为：221)(aFa arctan)(221)(aFa arctan)(二、双边指数信号二、双边指数信号 tetfta)(其中其中a0)(tft10由傅立叶变换公式得由傅立叶变换公式得 tdetfFtj )()(dteetjta 00dteedteetjtatjta jaja 11222 aa222)(aaF0)(三、矩形脉冲信号三、矩形脉冲信号 22)(tutuEt

28、f)(tft2 2 E)(F tdetftj)(22 tdEetj|22 tjejE22 jjeejE2sin2 E)2(SaE 2)(SaEF 2)(SaEF )1(4)12(2)12(240)(nnnn矩形脉冲的矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱幅度频谱和相位频谱为：为：)(F E 2 2 与与周期矩形脉冲周期矩形脉冲频谱比较：频谱比较：)(F E 0 2 4 2 Fn 01 2 4TE 2 1.Fn 的值比的值比F()的值多的值多乘了系数乘了系数 ；T12.Fn式中为不连续的变量式中为不连续的变量n 1,F()为连续变量为连续变量 1.周期周期矩形脉冲信号的矩形脉冲信号的频谱包络线频谱包络线与

29、与非周期非周期 矩形脉冲信号的矩形脉冲信号的频谱函数曲线频谱函数曲线;2.频谱都具有频谱都具有收敛性收敛性;3.占有频带宽度为占有频带宽度为 。2四、符号函数四、符号函数 0101)sgn()(ttttf或或)()()sgn(tutut 设设 )()(lim)sgn(0 tuetuetatata dteedteeFtjtatjtaa000lim)(jajaa11lim0 j2 jF2)(2)(F )0(2)0(2)(其其幅度频谱幅度频谱和和相位频谱相位频谱为为 2)(F一、冲激函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换二、冲激偶的傅里叶变换二、冲激偶的傅里叶变换三、阶跃函数的傅里叶变换三、阶跃函

30、数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换其傅其傅里里叶变换：叶变换：dtetFtj )()(相位：相位：0)(1(1)(t)t1F()单位冲激函数的单位冲激函数的频谱频谱在整个频率范围内在整个频率范围内均匀分布均匀分布。这种频谱常称作这种频谱常称作“”或或“”傅傅里里叶叶逆逆变换：变换：deFtj)(21)(1 21)(F 1)(tf 21t)(F 2)(tf1t)(21 F )(21 F )(2 EEF 在在时域时域是是直流（直线），直流（直线），在在频频域域是是冲激冲激;在在时域时域是是冲激冲激，在，在频域频域是是直线直线。二、冲激偶的傅里叶变换二、冲激偶的傅里叶变换

31、已知已知：1)(tF dettj21)(对对 (t)函数两边求导函数两边求导：dejtdtdtj)(21)(即即：jtdtdF )(同理同理：nnnjtdtdF)()(已知已知：dteFtj 21)(21dtejtddtj 2)()(2 ddjtF ）（)(2)(ddjtF 同理同理：)()(2)(nnnnddjtF 三、阶跃函数的傅里叶变换三、阶跃函数的傅里叶变换 dtetuFtj )()(不能直接用傅立叶变换式，不能直接用傅立叶变换式，)sgn(2121)(ttu )sgn(2121)(tFFtuF j1)(1)()(F2)(1)()(F2)()(F 010u(t)t阶跃函数的阶跃函数的频

32、谱频谱为：为：一、对称性一、对称性二、线性二、线性(叠加性叠加性)三、奇偶虚实性三、奇偶虚实性四、尺度变换特性四、尺度变换特性五、时移特性五、时移特性六、频移特性六、频移特性七、微分特性七、微分特性八、积分特性八、积分特性 研究当信号在研究当信号在时域时域进行某种进行某种运算后运算后在在频域频域发生发生何种变化何种变化，或者反过来，从，或者反过来，从频域频域的的运算运算推推测测时域的变动时域的变动。一、对称性一、对称性若若)()(Ftf)(2)(ftF证明：证明：deFtftj)(21)(deFtftj)(21)()(2)(ftFF得证得证若若 f(t)为为偶函数偶函数，且且)()(Ftf则则

33、)(2)(ftF结论：结论：若若 f(t)的频谱为的频谱为F(),那么形状为那么形状为F(t)的的波形波形,其其频谱必为频谱必为 f()。例：例：求抽样函数求抽样函数 Sa(t)的频谱。的频谱。)(tft2 2 1)(F 2 2 0)2()(SaF)(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 2当当 =2，)(2)(tSatF)(tFt2 0)(2 f 11 2例：例：求常数求常数“1”的频谱。的频谱。(1)(t)t1F()(F 2)(tf1t二、线性二、线性(叠加性叠加性)若若)()(11 Ftf)()(,22 Ftf则有则有)()()()(22112211 FaFatfa

34、tfa 若若)()(iiFtf则有则有)()(11 iniiiniiFatfaF 其中其中 ai 为常数，为常数，n 为正整数。为正整数。可通过定义直接证明。可通过定义直接证明。三、奇偶虚实性三、奇偶虚实性无论无论 f(t)是是实数还是复数实数还是复数，根据傅立叶变换可以，根据傅立叶变换可以证明：证明：)()()()()()(*FtfFtfFtf 下面下面证明上述各等式成立证明上述各等式成立 )()()()(FdefdtetftfFjtj)()(Ftf)()()(tbjtatf 令令 dtetbjdtetaFtjtj )()()(则则 tdttbttajtdttbtta)cos()()sin(

35、)()sin()()cos()(dtetbjdtetatfFtjtj )()()(*tdttbttajtdttbtta)cos()()sin()()sin()()cos()(tdttbttajtdttbttaF)cos()()sin()()sin()()cos()()()()(*FtfF因此因此 )()(*FtfF 同理可以证明同理可以证明 一般情况下一般情况下，F()是是复函数复函数，因此可以因此可以将将F()分成分成模与相位模与相位或或实部与虚部实部与虚部两部分，两部分，dtetfFtj )()()()(jeF)()(jXR 1.f(t)是实函数是实函数 tdttfjtdttfdtetfF

36、tj)sin()()cos()()()(tdttfR)cos()()(tdttfX)sin()()()()(RR)()(XX )()(*FF R()是是偶函数偶函数X()是是奇函数奇函数|F()|是是偶函数偶函数，()是是奇函数奇函数。（1）当当 f(t)是是实实偶函数偶函数时时)()(tftf 0)(X 0)cos()(2)()(tdttfRF F()也是也是实实偶函数偶函数（2）当当 f(t)是是实实奇函数奇函数时时)()(tftf 0)(R 0)sin()(2)()(tdttfjjXF F()是是虚奇函数虚奇函数 tdttfR)cos()()(tdttfX)sin()()(2.f(t)是

37、虚函数是虚函数)()(tgjtf 令令 dtttgjdtttgdtetgjFtj)cos()()sin()()()(tdttgR)sin()()(tdttgX)cos()()()()(RR)()(XX)()(*FF|F()|仍是仍是偶函数偶函数，()仍是仍是奇函数奇函数R()是是奇函数奇函数X()是是偶函数偶函数四、尺度变换特性四、尺度变换特性若若)()(Ftf则则0)(1)(aaFaatf 当当时时)()(Ftf证明略。见证明略。见书中举例。书中举例。.信号在信号在时域中压缩时域中压缩(a1),等效于在等效于在频域中扩展频域中扩展.信号在信号在时域中扩展时域中扩展（0a1)，等效于在等效于在

38、频域频域 中压缩中压缩3.当当 a=-1时，时，f(-t)F(-)信号在信号在时域时域中中沿纵轴反褶沿纵轴反褶，等效于在，等效于在频域频域中也中也 沿纵轴反褶沿纵轴反褶结论：结论：五、时移特性五、时移特性若若)()(Ftf则则)()(00 Fettftj )()(00 Fettftj 可见：可见：信号在时域中沿信号在时域中沿 t0（延时延时t0），），等效于等效于 ,即幅度频谱即幅度频谱不变不变,而相位谱产生附加变化而相位谱产生附加变化（-t0）.0tje 00)()()(tjtjeFFe 结论：结论：1 1、信号的、信号的是由信号的是由信号的波形形状波形形状决定的，决定的，与信号在时间轴上与

39、信号在时间轴上出现的位置出现的位置；2、信号的、信号的则是由信号的则是由信号的波形波形形状形状和在时间轴上和在时间轴上出现的位置出现的位置的的.例例已知矩形脉冲已知矩形脉冲f1(t)的频谱函数的频谱函数)2/()(1 SaEF 试画出试画出)2()(12 tftf的相位频谱的相位频谱.)(1tft2 2 E)(2tft E解：解：根据时移特性，根据时移特性，212)()(jeFF 2)2(jeSaE 2)(2)2()(jeSaEF即即2)(2)2()(jeSaEF可见幅度频谱不变，可见幅度频谱不变，相位频谱相位频谱比原来比原来滞滞后后2)(1 2 4)(1tft2 2 E)(2tft E)(2

40、 2 六、频移特性六、频移特性若若)()(Ftf)()(00 Fetftj)()(00 Fetftj证明证明:tdeetfetfFtjtjtj 00)()()()(0)(0 Ftdetftj把时域信号把时域信号f(t)乘以因子乘以因子tje0 等效于频谱等效于频谱F()沿沿频率轴右移频率轴右移 0,这种技术称这种技术称频谱搬移频谱搬移。例：例：求求tjce 的傅立叶变换的傅立叶变换)(21 )(21ctjce 将信号将信号f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 就可以就可以引起信号的频谱搬移。这个过程如下：引起信号的频谱搬移。这个过程如下：频谱搬移频谱搬移也称为也称为信号的调制信号的调制，

41、广泛应用于，广泛应用于通信技术中。通信技术中。时域：时域：f(t)改变正弦（或余弦）信号的幅度改变正弦（或余弦）信号的幅度频域：频域：f(t)的频谱产生平移的频谱产生平移调制调制)()(21cos)(000tjtjetfetfttf 根据欧拉公式，有根据欧拉公式，有)()(21sin)(000tjtjetfetfjttf 设设 f(t)的频谱为的频谱为F()，利用频移特性可知利用频移特性可知)()(21cos)(000 FFttf)()(21sin)(000 FFjttf可见将信号可见将信号f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 等效于等效于将将 f(t)的频谱为的频谱为F()一分为二一分

42、为二，即幅度减小一，即幅度减小一半，沿半，沿频率轴向左和向右各平移频率轴向左和向右各平移 0。例例3-4 求矩形调幅信号求矩形调幅信号ttGtf0cos)()(的频谱函数。的频谱函数。)(tGt2 2 E解：解：已知门函数已知门函数)(tG的频谱函数为的频谱函数为)2()(SaEG 又有又有21)()(00tjtjeetGtf 根据频移特性根据频移特性)(21)(21)(00 GGF)(221)(22100 SaESaE)(tGt2 2 E)(G E 2 2 0)(tft2 2 E)(F 2 E00 0 七、微分特性七、微分特性1.时域微分特性时域微分特性若若)()(Ftf则则)()(Fjdt

43、tdf)()()(Fjdttfdnnn说明：在说明：在时域时域中中 f(t)对对 t 取取 n 阶导数阶导数，等，等效于在效于在频域频域中频谱中频谱 F()乘以因子乘以因子(j)n。2.频域微分特性频域微分特性若若)()(Ftf则则)()()(tfjtddF )()()(tfjtdFdnnn 例例求如图所示梯形求如图所示梯形脉冲的傅立叶变换。脉冲的傅立叶变换。)(tftba Eab 解：解：f(t)的一次导数的一次导数 f(t)是幅值为是幅值为abE 的两个脉冲的两个脉冲)(tf tba abE ab 其二阶导数是四其二阶导数是四个正负冲激函数个正负冲激函数)(tf tba)(abE ab)(

44、)()()()(btatatbtabEtf )()()()()(btatatbtabEtf )()()(2bjajajbjeeeeabEFj 22)cos(cos2)cos(cos)(2)(baabEabjabEF 八、积分特性八、积分特性若若)()(Ftf则则0)()0()()(FjFdft或当或当 F(0)=0 时，有时，有 jFdft)()(1.时域积分特性时域积分特性tdedfdfFtjtt )()(tdedtuftj )()(dftdetutj)()(jejtuF1)()(tdfF )(dftdetutj)()(djefdefjj)()()(jFFjFF)()()0()()()(2.

45、频域积分特性频域积分特性若若)()(Ftf则则)()0()()(1tft jtfdFF 一、时域卷积定理一、时域卷积定理二、频域卷积定理二、频域卷积定理一、时域卷积定理一、时域卷积定理若若)()(11 Ftf则则)()(22 Ftf)()()()(2121 FFtftf上式表明：两函数在上式表明：两函数在时域时域中的中的卷积卷积，等，等效于效于频域频域中两函数中两函数傅立叶变换的乘积傅立叶变换的乘积。dtfftftf)()()()(2121tdedtfftftfFtj )()()()(2121 dtdetfftj)()(21 deFfj)()(21)()(21 FF二、频域卷积定理二、频域卷积

46、定理若若)()(11 Ftf则则)()(22 Ftf)()(21)()(2121 FFtftf上式表明：两函数在上式表明：两函数在频域频域中的中的卷积卷积，等，等效于效于时频时频中两函数的中两函数的乘积乘积。例例3-9 如图如图a 所示所示三角函数三角函数 f(t),可以看作图可以看作图b所示的所示的门函数的卷积门函数的卷积。求。求 f(t)的频谱函数。的频谱函数。)(tG E2t4 4 图图b)(tfEt2 图图a2 解：解：)()()(tGtGtf)4(22)(SaEG)4(22)(SaEG2)4(22)(SaEF)4(22 SaE一、正弦、余弦信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变

47、换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变换已知直流信号的傅立叶变换为已知直流信号的傅立叶变换为)(21 根据频移特性可知根据频移特性可知)(2100 tje)(2100 tje由欧拉公式可得：由欧拉公式可得：)()(21cos 00000 tjtjeet)()(21sin 00000 jeejttjtj)()(cos000 t)()(sin000 jtt0cos t00 0 )(F)(t0sin t00 0 )(jF)()(正弦、余弦函数的频谱只包含位于正弦、余弦函数的频谱只包含位于 0 处的处的冲激函数冲激函数。二、

48、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换周期函数周期函数 f(t)的傅立叶级数为的傅立叶级数为ntjnneFtf1)(dtetfTFtjnTTn111221)(1 其中其中将将 f(t)的等式两边取傅立叶变换的等式两边取傅立叶变换dteeFFtjtjnnn 1)(ntjtjnndteeF 1)(211 netjnnnnFF)(2)(1 即即上式为上式为周期信号周期信号 f(t)的的傅立叶变换傅立叶变换。Fn 是是 f(t)的指数的指数傅立叶级数的系数傅立叶级数的系数。1.周期信号周期信号 f(t)的傅立叶变换由一系列的的傅立叶变换由一系列的冲激冲激组成组成。2.这些冲激位于信号的这

49、些冲激位于信号的谐波频率处谐波频率处)2,0(11 3.每个冲激的每个冲激的强度强度为为 f(t)的指数傅立叶级数系的指数傅立叶级数系 数数 Fn 的的 2 倍倍。例例3-10 求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅 立叶变换。立叶变换。)(tT t1T1T解：解：周期单位冲激序列为周期单位冲激序列为nTnTtt)()(1 )1(其指数形式的傅立叶级数系数为其指数形式的傅立叶级数系数为21211)(11TTtdetTFtjnTn 21211)(11TTtdetTtjn 11T所以，周期单位冲激序列的傅立叶级数为所以，周期单位冲激序列的傅立叶级数为ntjnnTeFt

50、1)(ntjneT111 nF 11T1 1)(tT t1T1T T(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为)(2)(1nnnFF )(211nnT )(11nn )1()(1 1 1)(F)(tT t1T1T)1(nF 11T1 1 可见，周期信号的傅里叶变换由冲激函数组可见，周期信号的傅里叶变换由冲激函数组成，其成，其强度强度为为 f(t)的指数傅立叶级数系的指数傅立叶级数系 数数 Fn 的的 2 倍倍。)()(11nnF 11TFn例例 3-11 求周期矩形脉冲的求周期矩形脉冲的傅立叶级数傅立叶级数和和傅立叶傅立叶 变换变换。)(tft2 2 E1T1T解：解：周期矩形脉冲的傅立叶系数周期矩形