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1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-1页电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 一、一、傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 二、二、傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 一、周期矩形脉冲的频谱一、周期矩形脉冲的频谱 二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱 三、周期信号的功率三、周期信号的功率4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换 一、信号的傅里叶变换一、信号的傅里叶变换 二、常见信号、奇异信号的傅立叶变换二、常见信号、奇异信号的傅立

2、叶变换点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-2页电子教案本章系统分析的独立变量是本章系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。思路：思路：时域：时域：信号分解信号分解基本信号基本信号冲激响应冲激响应 yf(t)=h(t)*f(t)频域：频域：以以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意输为基本信号，任意输入信号可分解为一系列入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指数信的正弦信号或虚指数信号之和。号之和。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-3页电子教案

3、4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即031iyixiTyxvvVV由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-4页电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所

4、组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。例如三维空间的矢量例如三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维，可以用一个三维正交矢量集正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，在信空间，在信号空间找到若干个号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。合。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-5页电子教案4.1 4.

5、1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.定义：定义：定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21,0,0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1

6、，t2)的的正交函数集正交函数集。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-6页电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)，2(t)，n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的是两组典型的在区间在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交

7、函数集。210d)()(ttittt(i=1，2，n)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-7页电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设设n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数集。任一函数构成一个正交函数集。任一函数f(t)(t1，t2)用这用这n个个正交函数的线性组合来近似，表示为正交函数的线性组合来近似，表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 如何选择系数如何选择系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间(t1，t2)内为最小？内为

8、最小？通常选误差的方均值通常选误差的方均值(均方误差均方误差)，使之最小。，使之最小。ttCtfttttnjjjd)()(12121122信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-8页电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小，求导数为使上式最小，求导数0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为0，210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121

9、d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-9页电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数最小均方误差（推导过程见教材）最小均方误差（推导过程见教材）0d)(112212221njjjttKCttftt当用正交函数去逼近当用正交函数去逼近f(t)时，取的项数越多，即时，取的项数越多，即n越大，则均方误越大，则均方误差越小。当差越小。当n（为完备正交函数集）时，均方误差为零。有（为完备正交函数集）时，均方误差为零。有 12221d)(jjjttKCttf称为称为(Parseval)泊塞瓦

10、尔公式泊塞瓦尔公式。表明：在区间。表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。1)()(jjjtCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-10页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率=2/T，当，当满足满足狄里赫利狄里赫利(Dir

11、ichlet)条件时，它可分解为如下三角级条件时，它可分解为如下三角级数数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数系数an,bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,为（为（0，T)上完备正交函数集。上完备正交函数集。称为基波角频率，称为基波角频率，信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-11页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数，2,1d)cos()(222nttntfTaTTn，2,1d)sin()(222nttntfTbTTn从表达式可

12、见，从表达式可见，an 是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数。的奇函数。220d)(2TTttfTa积分区间可取积分区间可取(0,T)或或(t0,t0+T)。因此，只要求。因此，只要求出系数出系数an,bn,即可得到即可得到f(t)的三角级数展开式。的三角级数展开式。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-12页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数将上式同频率项合并，可得到将上式同频率项合并，可得到10)cos(2)(nnntnAAtf上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。量。其中，其中，A0/2为为直流分量

13、直流分量；A1cos(t+1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周，它的角频率与原周期信号相同；期信号相同；A2cos(2 t+2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+n)称为称为n次谐波次谐波。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-13页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数系数的相互关系为系数的相互关系为A0=a022nnnbaAnnnabarctan又又An是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数。的奇函数。an=Ancos nbn=Ansin nAnn：关系称为单边

14、振幅谱；反映了各次谐波振幅随频率变化：关系称为单边振幅谱；反映了各次谐波振幅随频率变化的规律。的规律。nn：单边相位谱单边相位谱，反映了各次谐波相位随频率变化的规律。反映了各次谐波相位随频率变化的规律。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-14页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例1 求周期信号的三角形傅立叶级数。求周期信号的三角形傅立叶级数。例例2已知周期信号已知周期信号 求求它的傅里叶振幅谱和相位谱。它的傅里叶振幅谱和相位谱。解：先求解：先求f(t)的最小公共周期。因为的最小公共周期。因为 T1/T2=2，比值为有理数。所以，比值为有理数。所以f(t)的最

15、小的最小公共周期为公共周期为 T=2T2=T1=则基波角频率则基波角频率tttf4sin22cos35)(2,21TTsrad2)22cos(2cos35)(tttf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-15页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三角形傅里叶级数的单边频谱图如图和所示。三角形傅里叶级数的单边频谱图如图和所示。nA42532nn02n2(a)(b)对于周期信号，首先要求出其公共周期，确定有对于周期信号，首先要求出其公共周期，确定有多少次谐波分量，再正确画出振幅和相位频谱图。多少次谐波分量，再正确画出振幅和相位频谱图。信号与系统信号与系统西安电子科技大

16、学电路与系统教研中心第4-16页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标2022d)cos()(4d)cos()(2TTTnttntfTttntfTa0d)sin()(222TTnttntfTbbn=0，展开为余弦级数，展开为余弦级数,即展开式中只有余弦项，即展开式中只有余弦项，而没有正弦项。而没有正弦项。maAnnn,m为整数为整数.信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-17页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数2.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点

17、an=0，展开为正弦级数，展开式中只有正弦项，而，展开为正弦级数，展开式中只有正弦项，而没有余弦项。没有余弦项。0d)cos()(222TTnttntfTa2022d)sin()(4d)sin()(2TTTnttntfTttntfTbmmbAnnn12,m为整数为整数.信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-18页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3.f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)=f(tT/2)f(t)t0TT/2此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波

18、分量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数都可分解为奇函数和偶函数两部分，即两部分，即 f(t)=fod(t)+fev(t)由于由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以所以 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-19页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用算常感不便，因而经常采用指数形式指数形式的

19、傅里叶级数。的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx+ejx)/2 10)cos(2)(nnntnAAtf1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-20页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，因为代换，因为A n=An，n=n则上式写为则上式写为 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0，0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以令复数令复数nn

20、jnFFAnnee21称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-21页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数)(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)(n=0,1,2，22de)(1TTtjnnttfTF表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。和。F0=A0/2为直流分

21、量。为直流分量。指数型傅立叶级数为指数型傅立叶级数为复傅立叶系数为复傅立叶系数为信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-22页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱，虽然出现了负的分的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱，虽然出现了负的分量，但只是将量，但只是将n次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之和。和。指数型傅立叶级数也可以写为指数型傅立叶级数也可以写为由此可见，三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不由此可见，三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不同，实际上性质相同，都表示将一周期信

22、号分解为直流分同，实际上性质相同，都表示将一周期信号分解为直流分量和各次谐波分量的和。把量和各次谐波分量的和。把)cos(2)(10)(nnnntnjnntjnntnFFeFeFtfnnnFnnn,信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-23页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval恒等式恒等式TdttfTP02)(1表明：信号的平均功率等于直流和表明：信号的平均功率等于直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消电阻上消耗的平均功率之和。上式分别从时域和频域计算之。耗的平均功率之和。上式分别从时域和频域计算之。n0时

23、，时，|Fn|=An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为21201220222221)2(2)(1nnnnnTTAAFFFdttfTP将将f(t)的傅立叶级数展开式代入的傅立叶级数展开式代入信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-24页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，相应图形称为信号的，相应图

24、形称为信号的频谱图频谱图。周期信号的频谱周期信号的频谱：指周期信号中各次谐波幅值、：指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。相位随频率的变化关系。An和和 n的关系的关系 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-25页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 单边谱：单边谱：将将An和和 n，n0以以为横轴的平面上为横轴的平面上得到的两个图，分别称为得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱图相位频谱图。双边谱：双边谱：|Fn|和和 n的关系。若的关系。若Fn为实数，也可直为实数，也可直接画接画Fn。例：例：周期信号周期信号 f(t)=试求该

25、周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-26页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱63sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t的周期的周期T1=8323cos41的周期的周期T2=6所以所以f(

26、t)的周期的周期T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式，功率为根据帕斯瓦尔等式，功率为 P=323741212121122信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-27页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱34cos21t是是f(t)的的/4/12=3次谐波分量；次谐波分量；323cos41是是f(t)的的/3/12=4次谐波分量；次谐波分量；f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(a)(b)oAno1信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-28页电子教案4.3 4.3 周期信号的

27、频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期为的周期矩形脉冲，其周期为T，观测频谱特点观测频谱特点f(t)t0T-T1tTttfTFTTtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）取样函数）nnTjnTtjn)2sin(2e122信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-29页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱)()2(TnSaTnSaTFn,n=0,1，2，Fn为实数，可直接画成一个频谱图。为实数，可直接画成一个

28、频谱图。设设T=4画图。画图。零点为零点为mn2所以所以mn2，m为整数。为整数。Fn0信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-30页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱特点特点：(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是基性。谱线位置是基 频频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。提取了反映信号全貌的三个基本特征提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、即基波频率、各谐波的幅度和相位各谐波的幅度和相位频谱图频谱图 频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频频谱图与时域波形的

29、变化规律有着密切的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值大小；相位的变化关系到波形反映了时域波形幅值大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻在时域出现的不同时刻信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-31页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，一定，变小，此时变小，此时（谱线间隔）不变。两零点（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多增多(b)一定，一定，T增大

30、，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。于无穷小。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-32页电子教案周期、脉宽引起频谱的变化周期、脉宽引起频谱的变化-2T-T0T2T0At x(t)T=8,=2.-10-5051000.1250.25k (k1)|XT(k1

31、)|/A-T0T0At x(t)T=16,=2.-20-100102000.1250.25k (k1)|XT(k1)|/A-2T-T0T2T0At x(t)T=8,=1.-10-5051000.1250.25k (k1)|XT(k1)|/A信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-33页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱特点特点:1 基本特点基本特点离散性和谐波性离散性和谐波性2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量时域中的跳变会产生丰富的高频分量4 频谱包络线频谱包络线5“主瓣主瓣

32、”宽度宽度,“旁瓣旁瓣”宽度宽度;6 6 谱线条数谱线条数 7 脉宽一定脉宽一定,周期增大周期增大,零点不变零点不变,谱线变密谱线变密8 周期一定周期一定,脉宽减小脉宽减小,谱线疏密不变谱线疏密不变,零点外扩零点外扩信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-34页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小

33、，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱）称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-35页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑

34、到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时，于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里叶变换式傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-36页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j)=F

35、 f(t)f(t)=F 1F(j)或或 f(t)F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()说明说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(在引入广义函数之后，许多不满足绝对可积条件的函数也存在在引入广义函数之后，许多不满足绝对可积条件的函数也存在傅里叶变换。傅里叶变换。(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf信号与系统信号与系统西安电子科

36、技大学电路与系统教研中心第4-37页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t)=e t(t)，010tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02.双边指数函数双边指数函数f(t)=et ,0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-38页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3.门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2,02,1)(tttg10tg(t)jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2si

37、n(24.冲激函数冲激函数(t)、(t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)()(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-39页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5.常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f(t)，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j

38、)是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F(j)为为)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-40页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f(t)=e-t ，0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0,02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此，1212()另一种求法另一种求法：(t)1(t)1代入反变换定义

39、式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将-t-t，tt)(de21ttj再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1ttj信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-41页电子教案6.符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换0,10,1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007.阶跃函数阶跃函数(t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心

40、第4-42页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(t)(t)j1)(e-t(t)j1g(t)2Sasgn(t)j2e|t|(t)222 1 12()信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-43页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)thenProof:F a f1(t)+b f2(t)ttbftaft

41、jde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a11=a F1(j)+b F2(j)a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-44页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?0f(t)t1-11Ans:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()0f 1(t)t10g2(t)t1-11-信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-45页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的

42、性质二、时移性质二、时移性质(Timeshifting Property)If f(t)F(j)thenwhere“t0”is real constant.)(e)(00jFttftjProof:F f(t t0)tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-46页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0

43、f(t)t2-1214680f1(t)t221468+0f2(t)t221468信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-47页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in(1)t，t thentjtFftjde)(21)(（2）in(2)-thentjtFftjde)(21)(F(j t)2f()endF(jt)2f()信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-48页电子教案4.5 4.5 傅里叶变

44、换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?211)(ttfAns:22|2etif =1,2|12et|2e212 t|2e11t*if2232)(22tttttfF(j)=?信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-49页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、频移性质四、频移性质(Frequency Shifting Property)If f(t)F(j)thenProof:where“0”is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0=F j(-0)end)(e)(00

45、tfjFtjFor example 1f(t)=ej3t F(j)=?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-50页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)=cos0t F(j)=?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j)=(+0)+(-0)For example 3Given that f(t)F(j)The modulated signal f(t)cos0t?f(t)=sin0t F(j)=?信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-51页电子教案4.

46、5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、尺度变换性质五、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f(t)F(j)then where“a”is a nonzero real constant.Proof:F f(a t)=teatftjd)(For a 0 ,F f(a t)d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f(a t)de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f(a t)ajFa|1Also,letting a=-1,f(-t)F(-j)ajFaatf|1)(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统

47、教研中心第4-52页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1Given that f(t)F(j),find f(at b)?Ans:f(t b)e-jb F(j)f(at b)ajFabaje|1orf(at)ajFa|1f(at b)=)(abtafajFeabaj|1信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-53页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)=F(j)=?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,using sca

48、ling property with a=-1,so thatf(t)=F(j)=11jt)(e2信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-54页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、卷积性质六、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2

49、(j)21信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-55页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t)=dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingjtjjFttfe)(de)(22So that,F f1(t)*f2(t)=de)()(de)()(1221jjfjFjFf=F1(j)F2(j)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-56页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For examp

50、le?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt)(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22-20F(j)2-20信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-57页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分七、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f(t)F(j)then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()(