2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷.pdf

1、2021-2022 学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷 一一、选择题选择题（共共 10 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 30 分分）下列各题中均有四个备选答案下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。1（3 分）将一元二次方程 2x23x1 化成一般形式后，二次项系数为 2，则一次项系数是（）A3 B3 C1 D1 2（3 分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A B C D 3（3 分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后

2、与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A30 B90 C120 D180 4（3 分）关于二次函数 y3（x1）2+2，下列说法正确的是（）A开口向上 B对称轴是 x1 C有最小值 2 D顶点坐标是（1，2）5（3 分）将抛物线 y2x2平移到抛物线 y2x24x1，正确的平移方法是（）A向左平移 1 个单位长度，向上平移 3 个单位长度 B向左平移 1 个单位长度，向下平移 3 个单位长度 C向右平移 1 个单位长度，向上平移 3 个单位长度 D向右平移 1 个单位长度，向下平移 3 个单位长度 6（3 分）如图，在O 中 AB 为直径，CD 为弦，ABCD 于点 E，CD6，EB1，则 AE

3、 的长为（）A5 B7 C8 D9 7（3 分）如图，在ABC 中，BAC130，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E，连接 AD当点 A，D，E 在同一条直线上时，则BAD 的大小是（）A80 B70 C60 D50 8（3 分）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽 4m 时，顶点离水面 2m，当水面宽度增加到 6m 时，水面下降（）A1m B1.5m C2.5m D2m 9（3 分）若点 A（3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线 yax2+4ax+c 上，且 y1y3y2，则 m 的取值范围是（）A3m1 B5m1 或3m1 Cm3 或 m1

4、 D5m3 或1m1 10（3 分）已知 a，b 是一元二次方程 x24x10 的两个实数根，则 2a25b 的值是（）+3+A18 B18 C22 D20 二、填空题（二、填空题（共共 6 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 18 分）分）11（3 分）（2，3）关于原点对称点的坐标是 12（3 分）已知函数 yx28x+9，当 x 时，y 随 x 的增大而增大 13（3 分）已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手 66 次，则参会的人数是 人 14（3 分）如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，

5、苗圃园的面积为 y 平方米，则 y 与 x 的函数关系式是 15（3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，ac），且 ab+c0下列四个结论：若 b2a，则抛物线经过点（3，0）；抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点；一元二次方程a（x2）2+bx2b+c 有一个根 x1；点 A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当 x1x22 时，总有 y1y2，则 5a+c0 其中正确的是 （填写序号）16（3 分）如图 1，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，动点 P 从顶点 B 出发，沿 BC 边以 1 个单位长度/秒的速度向顶点 C 运动，点 Q 为 AC 中点

6、，AP+PQy，y 随运动时间 t 变化的函数图象如图 2，则函数图象最低点的坐标是 三、解答题（三、解答题（共共 8 小题，小题，共共 72 分）分）17（6 分）解方程：2x23x10 18（8 分）如图，在O 中，C 为弦 AB 的中点，连接 CO 并延长交O 于点 D，ABCD8，求O 的半径 19（8 分）已知二次函数 yx26x+5，请回答下列问题：（1）其图象与 x 轴的交点坐标为 ；（2）当 x 满足 时，y0；（3）当1x4 时，函数 y 的取值范围是 20（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x2m+50 有两个实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若该方程的两个根

7、都是符号相同的整数，直接写出它的根 21（10 分）如图是 129 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点已知 A（4，0），B（0，3），C（2，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）（1）直接写出ABC 的形状；（2）线段 AB 平移至线段 OD（点 O 与点 A 对应），画出线段 OD；（3）格点 E 在第四象限内，使ODE45 画出格点 E，并写出点 E 的坐标；连接 OE，线段 AB 绕点 M 旋转一个角度可以得到线段 OE（点 O 与点 A 对应），直接写出点 M 的坐标（4）将ABC 绕点 A 逆时针旋转角度

8、 2（其中 BAC）得到AB1C1（点 C1与点 C 对应），画出AB1C1 22（10 分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的两组对应值如表：售价 x（元/件）40 50 周销售量 y（件）120 100 周销售利润 w（元）2400 3000 注：周销售利润周销售量（售价进价）（1）直接写出该商品的每件的进价以及 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当每件售价 x 为多少时，周销售利润 w 最大？并求出此时的最大利润；（3）若该商品每件进价提高了 4 元，其每件售

9、价不超过 m 元（m 是大于 50 的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润 23（10 分）将正方形 ABCD 的边 CD 绕点 C 顺时针旋转（090）至 CP，连接 PB，PD（1）如图 1，当 40时，直接写出BPD 的大小；（2）如图 2，过点 B 作 BEPD 交 PD 延长线于点 E，连接 AE 求BPD 的大小；探究 AE，PD 之间的数量关系，并证明你的结论；当点 D 为 PE 中点时，PB6，直接写出四边形 ABPE 的面积 24（12 分）如图 1，抛物线 C：yax2+bx3 与 x 轴的正半轴交于点 B，与

10、y 轴交于点 C，OBOC，其对称轴为直线 x1（1）直接写出抛物线 C 的解析式；（2）已知点 D（1，2），点 E，F 均在抛物线上（点 E 在点 F 右侧），若以 C，D，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 E 的坐标；（3）如图 2，将抛物线 C 平移得到抛物线 C1，使 C1的顶点在原点，过点 P（t，1）的两条直线 PM，PN，它们与 y 轴不平行，都与抛物线 C1只有一个公共点分别为点 M 和点 N，求证：直线 MN 必过定点 2021-2022 学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解

11、析 一一、选择题选择题（共共 10 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 30 分分）下列各题中均有四个备选答案下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。1（3 分）将一元二次方程 2x23x1 化成一般形式后，二次项系数为 2，则一次项系数是（）A3 B3 C1 D1【解答】解：2x23x1，2x23x+10，所以一次项系数是3，故选：B 2（3 分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A B C D【解答】解：选项 A、B、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后原来的图形重合，所

12、以不是中心对称图形；选项 C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：C 3（3 分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A30 B90 C120 D180【解答】解：3603120，旋转的角度是 120的整数倍，旋转的角度至少是 120 故选：C 4（3 分）关于二次函数 y3（x1）2+2，下列说法正确的是（）A开口向上 B对称轴是 x1 C有最小值 2 D顶点坐标是（1，2）【解答】解：y3（x1）2+2，a30，该函数的图象开口向下，故选项 A 不符合题意；对称轴是直线 x1，故选项 B 不

13、符合题意；当 x1 时取得最大值 2，故选项 C 不符合题意；顶点坐标为（1，2），故选项 D 符合题意；故选：D 5（3 分）将抛物线 y2x2平移到抛物线 y2x24x1，正确的平移方法是（）A向左平移 1 个单位长度，向上平移 3 个单位长度 B向左平移 1 个单位长度，向下平移 3 个单位长度 C向右平移 1 个单位长度，向上平移 3 个单位长度 D向右平移 1 个单位长度，向下平移 3 个单位长度【解答】解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线 y2x24x12（x1）23 的顶点坐标为（1，3），而点（0，0）先向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位可得到点（1，3

14、），所以抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位得到抛物线 y2x24x1 故选：D 6（3 分）如图，在O 中 AB 为直径，CD 为弦，ABCD 于点 E，CD6，EB1，则 AE 的长为（）A5 B7 C8 D9【解答】解：连接 OC，如图所示：ABCD，CD6，CEEDCD3，=12设O 的半径为 r，则 OEOBEBr1，在 RtOEC 中，由勾股定理得：OE2+CE2OC2，即（r1）2+32r2，解得：r5，OA5，OE4，AEOA+OE9，故选：D 7（3 分）如图，在ABC 中，BAC130，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到DEC，点 A，B 的对应点

15、分别为 D，E，连接 AD当点 A，D，E 在同一条直线上时，则BAD 的大小是（）A80 B70 C60 D50【解答】解：将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到DEC，ACCD，BACCDE130，CDACAD50，BAD80，故选：A 8（3 分）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽 4m 时，顶点离水面 2m，当水面宽度增加到 6m 时，水面下降（）A1m B1.5m C2.5m D2m【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，可求出 OA 和 OB 为 A

16、B 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2），设顶点式 yax2+2，代入 A 点坐标（2，0），得：a0.5，所以抛物线解析式为 y0.5x2+2，把 x3 代入抛物线解析式得出：y0.5（3）2+22.5，水面下降 2.5 米，故选：C 9（3 分）若点 A（3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线 yax2+4ax+c 上，且 y1y3y2，则 m 的取值范围是（）A3m1 B5m1 或3m1 Cm3 或 m1 D5m3 或1m1【解答】解：抛物线 yax2+4ax+c 的对称轴为 x2，=-42=点 A（3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线 yax2+4

17、ax+c 上，且 y1y3y2，当 a0，则|m+2|1 且|m+2|3，（不存在）；当 a0，则 1|m+2|3，解得5m3 或1m1 故选：D 10（3 分）已知 a，b 是一元二次方程 x24x10 的两个实数根，则 2a25b 的值是（）+3+A18 B18 C22 D20【解答】解：根据根与系数的关系得到 a+b4，ab1，a，1=2a25b2a23a+5b，+3+a 是一元二次方程 x24x10 的实数根，a24a10，a24a+1，2a25b2（4a+1）3a+5b+3+8a+23a+5b 5（a+b）+2 54+2 22 故选：C 二、填空题（二、填空题（共共 6 小题，小题，

18、每小题每小题 3 分，分，共共 18 分）分）11（3 分）（2，3）关于原点对称点的坐标是（2，3）【解答】解：点 M（2，3）关于原点对称，点 M（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3）故答案为（2，3）12（3 分）已知函数 yx28x+9，当 x4时，y 随 x 的增大而增大【解答】解：yx28x+9（x28x+16）7（x4）27，a10，对称轴 x4，当 x4 时，y 随 x 的增大而增大，故答案为：4 13（3 分）已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手 66 次，则参会的人数是 12人【解答】解：设共有 x 人参会，依题意得：x（x1）66，12

19、整理得：x2x1320，解得：x112，x211（不合题意，舍去）故答案为：12 14（3 分）如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，苗圃园的面积为 y 平方米，则 y 与 x 的函数关系式是 y2x2+30 x 【解答】解：设苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，则苗圃园与墙平行的一边长为（302x）米 依题意可得：yx（302x），即 y2x2+30 x 故答案为：y2x2+30 x 15（3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，ac），且 ab+c0下列四个结论：若 b2a，则抛物线经过点（3，0）；抛物线与 x

20、 轴一定有两个不同的公共点；一元二次方程a（x2）2+bx2b+c 有一个根 x1；点 A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当 x1x22 时，总有 y1y2，则 5a+c0 其中正确的是 （填写序号）【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数），ab+c0，（1，0）是抛物线与 x 轴的一个交点 b2a，对称轴为直线 x1，=-2=抛物线经过点（1，0），抛物线经过点（3，0），即正确；b24ac（a+c）24ac（ac）20，抛物线与 x 轴一定有公共点，ac，抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点故正确；方程a（x2）2+bx2b+c 整理得，a（2x）2+b

21、（2x）+c0，ab+c0，当 2x1 时，a+b+c0，x3，一元二次方程a（x2）2+bx2b+c 有一个根 x3；故错误；由题意可知，抛物线开口向上，且2，-2b4a，ab+c0，bac，ac4a，5a+c0故正确 故答案为：16（3 分）如图 1，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，动点 P 从顶点 B 出发，沿 BC 边以 1 个单位长度/秒的速度向顶点 C 运动，点 Q 为 AC 中点，AP+PQy，y 随运动时间 t 变化的函数图象如图 2，则函数图象最低点的坐标是（，）8310 【解答】解：由题意可知，ABC 是等腰直角三角形，由图 2 可知，BC4，ABAC2，2AQC

22、Q，=2如图，把 RtABC 补全成正方形 ABAC，由正方形对称性可知，APAP，AP+PQAP+PQ，当 A、P、Q 共线时，AP+PQ 的值最小，在 RtACQ 中，DE，=10PB+PE 的最小值为，10最低点的纵坐标为，10CQAB，2，=BC4，BP4，23=83最低点的横坐标为，83结合选项可知，当 a3 时，点 Q 的坐标为（，）8310故答案为：（，）8310三、解答题（三、解答题（共共 8 小题，小题，共共 72 分）分）17（6 分）解方程：2x23x10【解答】解：2x23x10，a2，b3，c1，9+8170，x，=3 174x1，x2=3+174=3 17418（8

23、 分）如图，在O 中，C 为弦 AB 的中点，连接 CO 并延长交O 于点 D，ABCD8，求O 的半径 【解答】解：连接 OA，如图所示：C 为 AB 中点，AB8，OCAB，ACAB4，=12设O 的半径为 r，则 OAODr，CD8，OC8r，在 RtOAC 中，由勾股定理得：OA2OC2+AC2，即 r2（8r）2+42，解得：r5，即O 的半径为 5 19（8 分）已知二次函数 yx26x+5，请回答下列问题：（1）其图象与 x 轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；（2）当 x 满足 1x5时，y0；（3）当1x4 时，函数 y 的取值范围是 4y12【解答】解：（1）当 y0 时

24、，x26x+50，解得：x1 或 x5，它与 x 轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；故答案为：（1，0）和（5，0）；（2）抛物线 yx26x+5 开口向上，与 x 轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；当 1x5 时，y0；故答案为：1x5；（3）yx26x+5（x3）24，顶点坐标为（3，4），x3 时，有最小值4，当 x1 时，y1+6+512，当1x4 时，y 的范围是4y12 故答案为：4y12 20（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x2m+50 有两个实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，直接写出它的根【解答】解：（1）方程有两个

25、实数根，（4）241（2m+5）0，解得：m 12即 m 的取值范围为 m；12（2）根据题意得 x1+x24，该方程的两个根都是符号相同的整数 x11，x23 或 x1x22 21（10 分）如图是 129 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点已知 A（4，0），B（0，3），C（2，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）（1）直接写出ABC 的形状；（2）线段 AB 平移至线段 OD（点 O 与点 A 对应），画出线段 OD；（3）格点 E 在第四象限内，使ODE45 画出格点 E，并写出点 E 的坐标；连接 OE，

26、线段 AB 绕点 M 旋转一个角度可以得到线段 OE（点 O 与点 A 对应），直接写出点 M 的坐标（4）将ABC 绕点 A 逆时针旋转角度 2（其中 BAC）得到AB1C1（点 C1与点 C 对应），画出AB1C1 【解答】解：（1）BC212+225，AC242+2220，AB232+4225，BC2+AC2AB2，ABC 为直角三角形；（2）如图，OD 为所作；（3）如图，E 点为所作，E 点坐标为（3，4）；M（2，2）；（4）如图，AB1C1为所作 22（10 分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售

27、利润 w（元）的两组对应值如表：售价 x（元/件）40 50 周销售量 y（件）120 100 周销售利润 w（元）2400 3000 注：周销售利润周销售量（售价进价）（1）直接写出该商品的每件的进价以及 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当每件售价 x 为多少时，周销售利润 w 最大？并求出此时的最大利润；（3）若该商品每件进价提高了 4 元，其每件售价不超过 m 元（m 是大于 50 的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润【解答】解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：20，120 40 2400

28、120=每件进价 20 元；设一次函数解析式为 ykx+b，根据题意，得，40k+b=12050+=100解得：，k=-2=200所以 y 与 x 的函数表达式为 y2x+200；（2）由题意，得 w（2x+200）（x20）2x2+240 x4000 2（x60）2+3200，20，当 x60 时，w 有最大值，最大值为 3200，当每件售价为 60 元时，周销售利润 w 最大，最大利润为 3200 元；（3）根据题意得，w（x204）（2x+200）2x2+248x48002（x62）2+2888，20，对称轴为 x62，24xm，当 50m62 时，周销售最大利润为2m2+248m480

29、0，当 m62 时，周销售最大利润为 2888 元 23（10 分）将正方形 ABCD 的边 CD 绕点 C 顺时针旋转（090）至 CP，连接 PB，PD（1）如图 1，当 40时，直接写出BPD 的大小；（2）如图 2，过点 B 作 BEPD 交 PD 延长线于点 E，连接 AE 求BPD 的大小；探究 AE，PD 之间的数量关系，并证明你的结论；当点 D 为 PE 中点时，PB6，直接写出四边形 ABPE 的面积 【解答】解：（1）如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形，BCD90，CBCD，由旋转的性质可知，CDCP，DCP40，CPDCDP（18040）70，=12CBCD，CDC

30、P，CBCP，BCPBCD+DCP130，CPBCBP（180130）25，=12BPDCPDCPB702545；（2）解：CD 绕顶点 C 顺时针旋转 至 CP，CDCP，DCP，DPC，=12(180 )=90 12ABCD 为正方形BCCDCP，BCD90，BCP90+，BPC，=12180 (90+)=45 12BPDDPCBPC45；=(90 12)(45 12)=结论：PDAE=2理由：过 A 作 AFAE 交 BE 于点 F ABCD 为正方形，ABAD，BAD90，AEAF，EAF90，BADFADEAFFAD，即BAFDAE，又BEPE，BED90BAD，ABFADE，ABF

31、ADE（ASA），BFDE，AFAE，由知BPD45，BED90，BEP 为等腰直角三角形，BEPE，BEBFPEDE 即 EFPD，又AEAF，EAF90，EFPDAE；=2 如图 3 中，PEB 是等腰直角三角形，PB6，EBPE3，2SPBEEBEP9，=12DEDPAE，=2AE，=32AEF 是的以及三角形，AEBEBP45，AEPB，=326=14SAEBSEBP，=14=94S四边形 ABPESEBP+SAEB9+94=45424（12 分）如图 1，抛物线 C：yax2+bx3 与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，OBOC，其对称轴为直线 x1（1）直接写出抛物

32、线 C 的解析式；（2）已知点 D（1，2），点 E，F 均在抛物线上（点 E 在点 F 右侧），若以 C，D，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 E 的坐标；（3）如图 2，将抛物线 C 平移得到抛物线 C1，使 C1的顶点在原点，过点 P（t，1）的两条直线 PM，PN，它们与 y 轴不平行，都与抛物线 C1只有一个公共点分别为点 M 和点 N，求证：直线 MN 必过定点 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线 x1，x1，即 b2a，=-2=抛物线 C：yax2+bx3 与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，C（0，3），OC3，OBOC，OB3，B（3，0），把 B

33、（3，0）代入 yax2+bx3 中，得 9a+3b30，由可知，a1，b2，抛物线的解析式为：yx22x3（2）若 CDEF，四边形 CDEF 是平行四边形，CDEF 且 CDEF，C（0，3），D（1，2），D 向左平移 1 个单位长度，向下平移 5 个单位长度得到点 C，点 E，F 都在抛物线上，点 E 在点 F 的右侧，点 E 左平移 1 个单位长度，向下平移 5 个单位长度得到点 F，设 E（x，x22x3），则 F（x1，x22x8），将点 F（x1，x22x8）代入 yx22x3 得，（x1）22（x1）3x22x8，解得 x4，E（4，5），若 CEDF，四边形 CEDF 是平

34、行四边形，CEDF 且 CEDF，C（0，3），D（1，2），CD 的中点坐标为（，1），12设 E（x，x22x3），则 F（x+1，x2+2x+2），将点 F（x+1，x2+2x+2）代入 yx22x3 得，（x+1）22（x+1）3x2+2x+2，解得 x或 x，=1+132=1 132点 E 在点 F 的右侧，E（，）1+132 1 132综上，点 E 的坐标为 E（4，5），或 E（，）1+132 1 132（3）根据题意得，抛物线 C1的解析式为：yx2，设 M（m，m2），N（n，n2），则直线 PM 可设为 yk1（xm）+m2，直线 PN 可设为 yk2（xn）+n2，直线 PM 与抛物线只有一个公共点，联立 yk1（xm）+m2与抛物线 yx2，得，y=1()+2=2得 x2k1x+k1mm20，k124（k1mm2）（k12m）20，解得 k12m，直线 PM 的解析式为：y2m（xm）+m22mxm2，同理可得，直线 PN 的解析式为：y2n（xn）+n22nxn2，联立 PM 和 PN 的解析式可得，P（，mn），+2P（t，1），mn1，设直线 MN 的解析式为：ykx+b，将 M（m，m2），N（n，n2）代入可得 y（m+n）xmn，直线 MN 的解析式为：y（m+n）x+1，直线 MN 过定点（0，1）