1、第二节第二节 正项级数正项级数第七章第七章 无穷级数无穷级数定义定义 1 设无穷级数 ，如果 ，则称无穷级数 为正项无穷级数。0nu1nnu),2,1(n1nnu nS定理定理 1 正项无穷级数收敛的充要条件是它的部分和数列 有上界。1nnu对于正项无穷级数 ，其部分和数列 是单调增加数列，由数列极限的存在准则可知：若单调增加数列 有上界，则 存在，否则 。由此可得到下述定理：nSnnSlimnnSlim nS（1）若正项无穷级数 收敛，则正项无穷级数 也收敛。1nnv1nnu（2）若正项无穷级数 发散，则正项无穷级数 也发散。1nnu1nnvnnvu 值得注意的是：比较判别法的条件 ，其实不
2、必从 起始就要求上述不等式成立。因为由上一节性质3可知，改变一个无穷级数的有限项并不影响该无穷级数的收敛性，所以只要从某一项起 就可以了。nnvu),1,(NNn1n定理定理2（比较判别法）若无穷级数 和 都是正项无穷级数，且满足1nnu1nnvnnvu),2,1(n解：解：由题设可知，所给定无穷级数的一般项为 ，且 ，因此无穷级数 为正项无穷级数。此外，当 时，有 ，故nnu3sin0nu13sinnn0 x xx sinnnnu33sin),2,1(n所以 为收敛。由比较判别法可知 收敛。13sinnn113nnnnv取 ，则 为几何级数，其公比 ，nnv331q113nnnnv例例1试判
3、断无穷级数 的敛散性。13sinnn一般称正项无穷级数 ppnpnn121111用比较判别法判定一个正项无穷级数的敛散性时，经常将需判断的无穷级数的一般项与几何级数或 -级数的一般项比较，然后确定该无穷级数的敛散性。pp可以证明：（1）当 时，-级数 收敛。（2）当 时，-级数 发散。1pp11npn1p11npn为 -级数（或称广义调和函数）。前述的调和级数是广义调和级数 时的特殊情形。1pp例例2 试判断无穷级数 的敛散性。1211nn解：解：由于所给定无穷级数的一般项为 ，且满足112nun112111122nnnnun令 ，则 为去掉第一项的调和级数，可知 发散。由比较判别法可知 也发
4、散。11nvn211111nnnnnnv1nnv1211nn解：解：已知所给定无穷级数的一般项为 ，且满足131nnunnnu311311131nn令 ，则 为几何级数，公比为 ，可知级数 收敛，故由比较判别法，可知 也收敛。nnv311131nnnnv31q1nnv例例3 试判断无穷级数 的敛散性。1131nn注意到级数的基本性质2与性质3，即级数的各项同乘以不为零的常数，去掉或添加有限项仍不改变级数的收敛性。由此可以得到下述更实用的结果。k1nnvNnN1nnu（2）若正项无穷级数 发散，且存在 ，当 时，有 则正项无穷级数 也发散。(0)nnukvk推论推论（1）若正项无穷级数 收敛，且
5、存在 ，当 时，有 ，则正项无穷级数 也收敛。0nnukv1nnvNnN1nnu定理定理2.7.2（极限形式的比较判别法）若无穷级数 和 都是正项无穷级数，且 ，则正项无穷级数 与 有相同的收敛性。1nnu1nnu1nnv1nnvlim(0)nnnukv定理定理3（比值判别法）若正项无穷级数 ，满足条件,0(nu1,2,)n luunnn1lim1nnu1nnu（1）若 ，则无穷级数 收敛；（2）若 （或 ），则无穷级数 发散。1l1nnu1lnnnuu1lim注：注：若 ，则本判别法不能判断所给定的无穷级数的敛散性。1l例例4 试判断无穷级数 的敛散性。由比值判别法可知：无穷级数 为收敛的。
6、1354nnnn解：解：已知正项无穷级数的一般项为 ，由于nnnnu354nnnnnnnnnnnnnnnnnuu5315453154lim354354limlim111111115453153154lim1lnnn1354nnnn解：解：已知的正项无穷级数的一般项为 ，由于nnnu10!1101lim10!10)!1(limlim11lnnnuunnnnnnn110!nnn由比值判别法可知：无穷级数 发散。例例5 试判断无穷级数 的敛散性。110!nnn解：解：该无穷级数的一般项为 ，由于1412nun1)12123212(lim1)1(414limlim221nnnnnnuunnnnn所以比值判别法失效，此时可考虑运用比较判别法。12141nn 因为 ，而 -级数是收敛的，所以无穷级数 收敛。221)12)(12(1141nnnnunp121nn例例6 试判断无穷级数 的敛散性。12141nn
