《高等数学（第二版）》课件2.第二节 偏导数.pptx

1、一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算二、多元函数的概念二、多元函数的概念第二节第二节 偏导数偏导数第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数也常常需要研究它的变化率。由于多元函数的自变量不止一个，变化率也就会出现各种不同的情况；就二元函数 而言，当点 由点 沿各种不同的方向变动时一般有不同的变化率。我们先讨论当 沿着平行于 轴或 轴方向变动时函数的变化率，即一个自变量变化，而另一个自变量固定。此时

2、，它们是一元函数的变化率。本节将指出偏导数如本节将指出偏导数如何产生以及怎样利用一元函数的可微函数的法则来计算何产生以及怎样利用一元函数的可微函数的法则来计算偏导数。偏导数。(,)zf x y(,)x y00(,)xy(,)x yxy1导数的定义导数的定义定义定义:设点设点 是函数是函数 的定义域中的定义域中的一个内点，当的一个内点，当 固定于固定于 时，如给时，如给 在在 处以增处以增量量 ，于是函数相应地也得一改变量于是函数相应地也得一改变量00(,)xy(,)zf x yy0yx0 xx0000,yxfyxxfzx若极限xzxx0lim00000(,)(,)limxf xx yf xyx

3、 则称此极限值为函数 在 处对 的偏导数，(,)zf x y00(,)xyx记作 ，或 。00 x xyyzx00 x xy yfx00(,)xfxy存在,类似地，当自变量 固定在 时，如给 在处以增量，于是函数相应地也得一改变量x0 xy0y0000,yxfyyxfzy则称此极限值为函数 在 处对 的偏导数，记作 ，或 。(,)zf x y00(,)xyy00 x xyyzy00 x xy yfy00 x xyyyz00(,)yfxy若极限 yzyy0limyyxfyyxfy),(),(lim00000存在，如果函数 在区域D内每一点 处对 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 、的函数，此就

4、称为函数 对自变量 的偏导(函)数，记作 ，或 。(,)zf x y(,)x yxyx(,)zf x yxzxfxxz(,)xfx y 类似地，可以定义函数 对自变量的偏导(函)数，记作 ，或 。(,)zf x yyzyfyyz(,)yfx y由偏导数定义可知，000000(,)(,)(,)(,)xxyx xdf x yf x yfxyxdx000000(,)(,)(,)(,)yxyy ydf xyf x yfxyydy偏导数概念可推广到二元以上的函数。例如，如果极限0(,)(,)limxf xx y zf x y zx 存在，在点 处，对 的偏导数定义为(,)uf x y z(,)x y z

5、x0(,)(,)(,)limxxf xx y zf x y zfx y zx 三元函数 例例1 设 ，求 。23(,)f x yx y(,),(,),(1,1),(2,2)xyxyfx yfx yff解：解：将 固定不变，对 求导，得 yx3(,)2xfx yxy22(,)3yfx yx yyx将 固定不变，对 求导，得(1,1)2 1 12xf 22(2,2)3 2248yf 于是 为了求 与 ，也可由 ，得 ，得 。(1,1)xf(2,2)yf(,1)2xfxx(1,1)2 12xf 2(2,)12yfyy(2,2)12 448yf例例2 设 ，求 。2222(,)()ln()arctan

6、()xyyf x yxyxyex(1,0)xf解解 1(1,0)(,0)xxdff xdx21(ln)xdxxdx1(2 ln)xxxx1(1,0)(1,0)(,)xff x yx(1,0)xf若用 ，也可求 ，但十分麻烦。例例3 求 的偏导数.23x yzue23231x yzx yzueex 232322x yzx yzueyyey23232233x yzx yzuezz ez解解 例例4 设 ，证明它满足方程(0,1)yzxxx21222ln2xzzzyxxy12121ln222ln2lnyyyxzzxyxxxxzyxxyyx1,lnyyzzyxxxxy由于 ，所以证明证明2偏导数的几何

7、意义偏导数的几何意义 在空间直角坐标系中，二元函数 的图形是一个曲面 。按定义，函数 在 处的关于 的偏导数 是先固定 ，然后求一元函数 在 处的导数 。在几何上，表示曲面 和平面 的交线，则 就是曲线 点 处的切线 对 轴的斜率(即 )。(,)zf x y(,)f x y00(,)xyx00(,)xfxy0yy0(,)f x y0 x00(,)x xdf x ydx0(,)zf x y0yy1C00000(,(,)P xyf xy0 xPTxtan 同样，偏导数 是曲面 与平面 的交线 在点 的切线 对 轴的斜率(即 )00(,)yfxy0 xx2C0000(,(,)xyf xy0yPTyt

8、an3导数与连续的关系导数与连续的关系例例5 我们考察函数2222222,0(,)0,0.xyxyxyf x yxy当在原点 处的偏导数。(0,0)220002()00(0,0)(0,0)()0(0,0)limlimlim 00 xxxxxfxfxfxx (,)f x y(0,0)x解解 按偏导数的定义，在原点 处函数 对 的偏导数为 同理，有 。由此可见，函数在点 处的两个偏导数存在。而在上节例3的讨论中，该函数在点 处是不连续的。这与一元函数“可导必连续”的结论不同。这是因为各偏导数存在，只能保证当点 沿着平行坐标轴的方向趋于点 时，函数值 趋于 ，但不能保证当 以任意方式趋于点 时，函数

9、 趋于 。(0,0)0yf(0,0)(0,0)(,)x y00(,)xy(,)f x y00(,)f xy(,)x y00(,)xy(,)f x y00(,)f xy例如，二元函数 在点 处是连续的，但在 点的偏导数不存在。事实上，是初等函数，点是定义区域内的一点，故 在点 处是连续的。22(,)f x yxy(0,0)(0,0)22(,)f x yxy(0,0)(,)f x y(0,0)000(,)P xy 反过来，容易找到函数在 点连续，而在该点的偏导数不存在的例子。该函数在点 处偏导数不存在。首先固定 ，此时 ，而函数 在 处是不可导的，即 在点 处对的偏导数不存在。同样可证 在点 对

10、的偏导数也不存在。(0,0)0y 2(,0)0f xxxx0 x(,)f x y(0,0)x(,)f x yy(0,0)以上两例说明，函数在一点处偏导数存在函数在一点处偏导数存在与函数在该点处是否连续并无直接联系。与函数在该点处是否连续并无直接联系。二、偏导数在经济中的应用二、偏导数在经济中的应用 现在介绍偏导数在经济问题中的应用。所谓生产函数就是投入的劳力L和资金K与企业的产量Q之间的依存关系：(,)Qf K LQLQK 称为劳动力的边际产量；称为资金的边际产量。当劳动力L由0增至 时，产量Q增加，边际产量 也增加；劳动力由 增至 时，产量Q虽然增加，边际产量却在下降；当劳动力L超过 时，即

11、超过一定限度后，再增加劳动力不仅不会增加产量，反而会使产量降低，使边际产量 出现负值。可见不是投入劳动力越多，产量越高，要合理配置，才能提高效益。1LQL2L1L2LQL 对应同一产量C的生产要素K，L的组合形成的曲线 (C为常数)(,)f K LC称为等量生产曲线。在等量生产曲线上不同的点代表了不同数量的劳动力L与资金K 的组合，它们的产出量是相同的。当企业减少资金投入时，就要增加劳动力才能维持原来的生产水平；同样地，若企业减少劳动力时，就要增加资金才能达到原来的生产水平。设某货物的需求量Q是某价格P及消费者收入Y的函数 当消费者收入Y保持不变，价格P改变 时，需求量Q对于价格P的偏改变量为

12、(,)QQ P YP(,)(,)PQQ PP YQ P Y 在一元函数中，我们已经讨论了需求对价格的弹性。在多元函数中，我们将引入偏弹性的概念。而比值 是当价格P变到 时需求量Q的平均变化率 (,)(,)PQQ PP YQ P YPPPP0limPPQQPP 0limPPPQQ PQlPP QP 称为需求对价格的偏弹性偏弹性。是当价格为P、消费者收入为Y时，需求量Q对于价格的变化率。类似地，是当价格不变、消费者收入Y 改变 时，需求量Q对于收入Y的偏改变量 (,)(,)YQQ P YYQ P YY(,)(,)YQQ P YYQ P YYY0limYYQQYY YY是需求量Q 对于收入Y 变到

13、时的平均变化率。此外，是当价格为P、收入为Y时，需求量Q对收入Y的变化率。而0limYYYQQ YQlYY QY 称为需求对收入的偏弹性偏弹性。三、高阶偏导数三、高阶偏导数 设函数 在区域D内具有偏导数 ，那么 和 在D上都是 ，的二元函数。如果这两个偏导函数的偏导数也存在，则称该偏导函数 的偏导数为函数 的二阶偏导数。(,)zf x y(,),xzfx yx(,)xfx y(,)yfx yxy(,)f x y(,)yzfx yy 按照对自变量的求导次序的不同，二阶偏导数有下列四种：22()(,)xxzzfx yxxx2()(,)xyzzfx yyxx y 2()(,)yxzzfx yxyy

14、x 22()(,)yyzzfx yyyy其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数。类似地可定义三阶、四阶及其以上阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。高阶偏导数。例例6 求 的二阶偏导数。2sin(2)zxy2sin(2)cos(2)sin2(2)zxyxyxyx2sin(2)cos(2)22sin2(2)zxyxyxyy22sin2(2)2cos 2(2)zxyxyxx2sin2(2)4cos 2(2)zxyxyx yy 22sin2(2)4cos 2(2)zxyxyy xx 222sin2(2)8cos 2(2)zxyxyyy此处的两个混合偏导数是相等的。解解例例7 设2222,(

15、,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyx yf x yxyx y(0,0)xyf(0,0)yxf求00(,0)(0,0)00(0,0)limlim0 xxxf xffxx类似地 ,于是(0,0)0yf42242224,(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0).xxx yyyx yfx yxyx y42242224,(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0).yxx yyxx yfx yxyx y解解 54000(0,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxyyyyfyfyfyy 54000(0,0)(0,0)(0,0)limlim1yyyxxxxfxfxfxx 在何

16、种情况下，混合偏导数 和 都存在且相等？下面我们不加证明地叙述这一定理。(,)xyfx y(,)yxfx y这里两个混合偏导数都存在但不相等。定理定理 如果函数 的两个混合偏导数 和 在区域D内连续，那么在该区域内有(,)zf x y(,)xyfx y(,)yxfx y(,)(,)xyyxfx yfx y初等函数在其定义域内可以按任意次序求混合偏导数。其中第一个等号是偏导的记号，第二个等号是变换混合偏导次序，其好处是 较简单。zyx例例8 设 ，求 .21yezxyy2zy x 解解2()()()1zzzyy xxyyxy 对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义它们的高阶偏导数。在偏导数连续时，混合偏导数在偏导数连续时，混合偏导数与所求导的先后次序也无关。与所求导的先后次序也无关。