1、一、有界性一、有界性二、单调性二、单调性第三节第三节 函数的几种特性函数的几种特性第一章第一章 函数及其基本性质函数及其基本性质三、奇偶性三、奇偶性四、周期性四、周期性一、有界性一、有界性定义定义1 设函数 在区间 内有定义，如果存在一个正数 ，对于所有的 ，恒有 ，则称函数 在 内是有界的，如果不存在这样的正数 ，则称 在 内是无界的。)(xfy ba,Mbax,Mxf)()(xfba,M)(xfba,例如，函数 在 内有定义，对任意的一个 ，均有 ，所以函数 在 内是有界的。函数 在 和 内均有定义，但在 内是无界的，在 内是有界的。xy1sin,0,0 x11sinxxy1sin,0 x
2、y11,0,11,0,1二、单调性二、单调性定义定义2 设函数 在区间 内有定义，如果对区间内任意两点 ，)(xfy ba,21,xx（1）当 时，满足 ，则称函数在区间 内是单调增加单调增加的，相应区间 称为 的单调增加区间；21xx)()(21xfxf)(xfba,ba,（2）当 时，满足 ，则称函数在区间 内是单调减少单调减少的，相应区间 称为 的单调减少区间。ba,ba,21xx)()(21xfxf)(xf单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数单调函数。单调增加区间与单调减少区间统称为单调区间单调区间。解：解：故 故 例例1判断函数 的单调性。3xy)()()(22212112313
3、212xxxxxxxxxfxf当 异号时，有 ，21,xx021xx0)(21221222121xxxxxxxx0)()(12xfxf 当 同号时，有 ，21,xx021xx0222121xxxx0)()(12xfxf由于 在 内有定义，对于任意 ，且 ，有3xy,21xx21xx 即对任意的 ，且 均有 。换言之，在 上是单调增加函数。21xx,21xx)()(12xfxf,3xy 定义定义3 设函数 的定义域为 或 ，)(xfy aax,(1)如果对于任意一个 或 ，满足 ，则称 为 或 上的偶函数；aa,)()(xfxf)(xfaax,三、奇偶性三、奇偶性(2)如果对于任意一个 或 ，满
4、足 ，则称 为 或 上的奇函数。)()(xfxfaax,)(xfaa,例例2判断函数 的奇偶性。解：解：函数 的定义域为 ，对于任意一个 ，有35)(xxxf35)(xxxf,x)()()()()(353535xfxxxxxxxf35)(xxxfoyx53xxy所以 为奇函数，见图。解：解：所以，函数 为偶函数，见图。21)(xxf例例3 判断函数 的奇偶性。21)(xxf函数 的定义域为 ，对于任意一个 ，有21)(xxf1,1x1,1)(1)(1)(22xfxxxf21xyy xo从几何形态上而言，偶函数是以从几何形态上而言，偶函数是以 轴对称的，奇函轴对称的，奇函数则关于坐标原点对称。数
5、则关于坐标原点对称。y解：解：例例4判断函数 的奇偶性。xxxfsincos)(函数 的定义域为 ，对于任意一个 ，有xxxfsincos)(,xxxxxxfsincos)sin()cos()(既不等于 也不等于 ，所以 为非奇非偶函数。xxxfsincos)()(xf)(xf)(xf四、周期性四、周期性定义定义4 设函数 的定义域为D，如果存在正的常数 ，使得对任意的 ，满足 ，则称函数 为周期函数。满足这个等式的正数 ，称为函数的周期，通常所说的周期是指最小的正周期。)(xfy lDxDlx)()(xflxf)(xfl例如，函数 是以 为周期的周期函数；xysin2函数 是以 为周期的周函数。xytan
