1、第四节第四节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 第六章第六章 定定 积积 分分定理定理1 设函数 在区间 上连续，函数 满足条件：)(tx)(xf,ba（1）；（2）在 （或 ）上具有连续导数，且 在 （或 ）上连续。则有ba)(,)()(t,)(tf,babadtttfdxxf)()()(（1）该公式称为定积分的换元公式。在应用换元公式（1）计算定积分时必须注意：用变量代换 引进新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限，即换元须换限。这样求出 的一个原函数 后，只要把新变量的t上、下限分别代入 求出其差就可以了。)(tx)()(ttf)(t)(t且当 时例例1 计算dxxx302
2、1tx 1tdtdxtx2,120 x1t3x2t1576325 22)1(121352122302ttttdtttdxxx当 时解：解：令 即于是设 ，例例2 计算20232)4(1dxxtdtdxtx2sec2,tan2当 时，；当 时，。0 x0t2x4t22433002222244300440012sec(4)(4tan4)2sec118sec4sec112cossin448tdxdtxttdtdttttdtt解：解：于是例例3 计算 41xedxx44421112()2|2()xxxedxedxeeex此题在求原函数的过程中采用的是第一类换元法，没有明显地引入新变量，此时定积分的上下
3、限就不要变更解：解：例例4 证明(1)若 在 上连续且为偶函数，则 (2)若 在 上连续且为奇函数，则,aa)(xfaaadxxfdxxf0)(2)(,aa)(xf0)(aadxxf证：证：因为 ，对等式右端第一个积分 作代换，aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(0)(adxxf令 ，则txaaaadxxfdttfdttfdxxf0000)()()()(1)当 为偶函数时 ，得 。因此dxxfxfdxxfdxxfdxxfaaaaa000)()()()()()(2)()(xfxfxfaaadxxfdxxf0)(2)(于是)(xf(2)当 为奇函数时 ，得 。0)()(xfxf)(xf
4、0)(aadxxf利用例4的结论，可简化奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分计算。例例5 计算 2210sinxdxx因 是奇函数，积分区间对称于原点，于是得xxxfsin)(100sin2210 xdxx解：解：例例6 计算 44)2sin1(cosdxxx4444cos(1 sin2)(coscossin2)xx dxxxx dx 为对称于原点的区间，而 为奇函数，为偶函数，于是4,4x2cossin2xcos2sin20cos2)2sin1(cos404044xxdxdxxx解：解：24444cos2sin cosxdxxxdx例例7 证明 ，其中n为正整数。2020cossinxdxxdxnntx22t令 ，则 ，且当 时，；当 时，。于是dtdx0 x2x0t002022sinsin()cos2nnnxdxt dttdt 证：证：2200coscosnntdtxdx
