《高等数学（第二版）》课件4.第四节换元积分法.pptx

1、第四节第四节 换元积分法换元积分法 第五章第五章 不定积分不定积分一、第一类换元法一、第一类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法即 是 的一个原函数。设 ，则由复合函数的求导法则一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1 设 具有原函数 ，可导，则有)(uf)(uF)(xu()()()fxx dxFxC)()(xFxg)()()()()(xxfxufdxdududFxg)()(xFxgdxxxf)()(证：证：所以有()()()fxx dxFxC上面的定理告诉我们，在求 时，如果被积表达式 可以化为 dxx)(dxx)()()()()()(xdxfdxxxfdxx而 的原函数 可以求出，则可

2、设 ，于是)(uf)(uF)(xu()()()()()()()()u=()()x dxfxx dxfx dxuxf u duF ucxFxc把把代代回回令令不定积分 显然不等于 ，这是因为 。从上述可知：第一类换元法的基本思想就是将被积函数凑出一个微分，使凑微分后的被积函数易于求出其原函数。xdx3cosxdx3cossin3xC(sin3)3cos3cos3xCxx)3(3cos31)3(3cos313cosxxddxxxxdx例例1 求 解：解：但被积表达式可以整理为且 cossinuduuC111cos3cossinsin3333xdxuduuCxCxu3因此，设 ，于是令 ，于是例例2

3、 求 2008(23)xdx32 xu200820081(23)2xdxudu20091(23)4018xC解：解：2009112 2009uC例例3 求 dxxx32)3(321)3(213322222xdxdxxxdxxx因此，令 ，于是32 xu33222211 213(3)22 33x xdxuduuCxC由于 解：解：例例4 求 xdxtanxxddxxxdxxxxdxcoscoscos)(coscossintan因此，设 ，于是xucostanlnln cosduxdxuCxCu cotln sinxdxxC类似地可得 解：解：由于 例例5 求 dxxex2222222)(2dxe

4、dxxedxxexxx因此，令 ，于是2xu ceceduedxxexuux222在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u。解：解：由于 例例6 22xadx)0(a22222()1()1()()arcsin1()xdxdxdxaxxaxaaaxdxaCaxaaxu 21uduaxu 在上例中，实际上已经用了变量代换 ，并在求出积分 之后，将 代回，只是没有把这些步骤写出来。解：解：例例7 求 dxxx3ln3334ln1ln(ln)lnlnln4xdxxx dxxdxxCx22xadx22222111arctan1()1()xddxdxxaCxxaxaaaaaa解：解：例例8 求解：

5、解：例例9 求 dxexx1cexdedxexxxx221解：解：例例10 求 dxax221)0(a)11(21)(1122axaxaaxaxax221111()2111()()21(lnln)21ln2dxdxxaaxaxad xad xaaxaxaxaxaCaxaCaxa所以 由于 ，解：解：例例11 求 xdxsec22cossinseccos1 sinxdxxdxdxxx解：解：ln sectanxxC2211 sin11 sinlnln21 sin2cosxxCCxx1(ln 1 sinln 1 sin)2xxC111(1 sin)(1 sin)21 sin1 sindxdxxx1

6、11sinsin 21 sin1 sindxdxxxsin111()sin(1 sin)(1 sin)21 sin1 sindxdxxxxx类似地，可求出 cscln csccotxdxxxC例例12 xdx2cos21 cos211coscos2222xxdxdxdxxdx解：解：1111cos2(2)sin22424xxdxxxC二、第二类换元法二、第二类换元法上面讲的第一类换元法是通过凑微分 的途径，把积分 化为积分 ，其中 。如果 可以求出，原积分就可以求出。)()(xddxxdxxxf)()(duuf)()(xuduuf)(但是，我们也常常会遇到相反的情形，即对于 不易求出，但适当选

7、择变量代换 ，得dxxf)()(txdtttfdxxf)()()(而 的原函数可以求出，设为 ，即)()(ttf)(tF()()()ftt dtF tC)(tx)(xt()()f x dxFxC这种积分方法称为第二类换元法第二类换元法。如果 存在反函数 ，则有由假设 ，又由复合函数及反函数微分法，有定理定理2 设 单调可微，且 ，若 ，则 。其中 是 的反函数。)(tx0)(x()()()ftt dtF tC()()f x dxFxC)(xt)(tx)()()(ttftF)()()(1)()()()()(xftftttfdxxdtFxF即 是 的一个原函数，于是)(xF)(xf()()f x

8、dxFxC证：证：这个定理告诉我们：对于积分 ，可以作变量代换 化为积分变量为 t 的积分dxxf)()(txdtttf)()()(tx)(xt，积分后再用 的反函数回代即可。设 ，即 ，则 ，于是例例1 求 dxx11tx 2tx tdtdx21211122(1)1111tdttdxdtdttttx 解：解：22ln(1)xxC22ln(1)ttC例例2 求 dxxx3131设 ，即 ，则 ，于是tx313)1(313txdttdx23231(1)11331txdxt dttx45211 1(2)()33 5tt dtttC5252331111(31)(31)153153ttCxxC解：解：

9、为了消去根号，可以设 ，则例例3 求 dxxa22)0(ataxsintaxacos22tdtadxcos2222coscoscosax dxat atdtatdt于是解：解：22sin cos22aatttC221 cos211(sin2)224tadtattC将 ，axtarcsinaxt sinaxaaxtt2222)(1sin1cos222221arcsin22axax dxx axCa代入上式，即得（其中 ）。为了消去根号，可以设 ，则 ，例例4 求 22axdx)0(ataxtantaaxsec22tdtadx2sec2122secsecln sectansecdxatdttdtttCatxa解：解：可以作辅助三角形aaxt22sec22122ln sectanlndxttcxxaCxa1lnCCa便有 ，所以例例5 求 22axdx)0(ataxsec则 ，taaxtan22tdttadxtansec122sec tansecln sectantandxattdttdtttCatxa于是解：解：与上两例类似，也是为了消去根号，可以设 为了把结果换成x的函数，可以根据 作辅助三角形，axt secaaxt22tan2222122lnlndxxxacxxaCaaxa（其中 ）。1lnCCa从而有 所以，