1、一、反函数一、反函数二、复合函数二、复合函数第四节第四节 反函数和复合函数反函数和复合函数第一章第一章 函数及其基本性质函数及其基本性质一、反函数一、反函数通常习惯于用 表示自变量，用 表示因变量。因此我们将 改写为 ，此时我们说 是 的反函数。)(1yfx)(xfy xy)(1xfy)(1xfy定义定义1 设 是定义在 上的一个函数，其值域为 ，如果对每一个 有惟一确定的 与之对应，且满足 ，其对应法则记为 ，则此定义在 上的函数为 ，并称之为 的反函数反函数。)(xfy)(fD)(fR()yR f)(fDx)(xfy 1f)(fR)(1yfx)(xfy 例例1求函数 的反函数。解：解：xy
2、1由 解得 ，将式中的自变量 与因变量 作相应对换，则求得 的反函数 。xy1xy121yxyx21xy如果将函数 的反函数 的图形和函数 的图形画在同一个坐标平面上，那么这两个图形关于直线 是对称的。)(xfy)(1xfy)(xfy xy yx)(1xfyxy)(xfy 先考察一个例子，设 ，用 去替代第一式中的 ，得2,xueyu而2xu2xey 可以认为函数 是由 及 复合而构成的函数，此类函数称为复合函数。2xey uey 2xu 二、复合函数二、复合函数定义定义2 设 为一数集。如果对于每一个 ，通过 有惟一确定的值 ，并且 在 处有定义，从而确定 值与之对应，这样就得到一个以 为自
3、变量、以 为因变量的函数，这个函数被称为由 复合而成的复合函数，记为DDxxuufy,),(),(而Dx),(xuu),(ufy uyxy)()(xuufy和)(xfy并称 为自变量，为中间变量。xu由此定义，当里层函数的值域不包含于外层函数的定义域时，只要两者有公共部分，可以限制里层函数的定义域，使其对应的值域包含于外层函数定义域，就可以构成复合函数了。例例2设 ，求 。xxf11)()(1,)(),(2xffxffxfRxxxDxxf,1,1|,11)(22RxxxDxxxfxff,1,0|,111111)11()(RxxxDxxxfxff,1,0|,1)1(11)1()(1解：解：在研究复合函数这概念时，有时我们的重点并不是在“复合”，而在于“分解”，即如何将一较复杂的函数分解成几个简单函数。这在微积分的运算中将广泛地使用。
