1、一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较第三节第三节 无穷小量无穷小量第二章第二章 极限与连续极限与连续三、无穷大量三、无穷大量四、无穷小量与无穷大量的关系四、无穷小量与无穷大量的关系一、无穷小量一、无穷小量定义定义1 若当 时（或 时），函数的极限为0，则称函数 当 （或 ）时为无穷小量，简称无穷小。0 xx 0 xx xx)(xf例如，因为 ，所以函数 是当 时的无穷小量。又如，因为 ，所以函数 是当 时的无穷小量。0)2(lim2xx2x2x01limxxx1x注意：注意：无穷小量与一个很小的确定常数不能混为一谈，因为无穷小是一个以0为极限的变量。零是无穷零是无穷小量
2、中小量中唯唯一的常数。一的常数。无穷小量的代数性质：无穷小量的代数性质：性质性质1 有限个无穷小量之和仍为无穷小量。性质性质2 有界函数与无穷小量之积仍为无穷小。推论推论 常数与无穷小量之积为无穷小。例例1 求 xxx1sinlim0因为 ，即 是 时的无穷小，而 ，即 在 的任一去心邻域内有界。故由无穷小的性质2可得：是 时的无穷小，即0lim0 xxx0 x11sinx)0(xx1sin0 xxx1sin0 x01sinlim0 xxx解：解：由无穷小的概念，我们可以看到函数有极限可以通过无穷小来表述：定理定理1 的充分必要条件是 ，其中 在 时为无穷小量。Axfxx)(lim0)()(x
3、Axf)(x0 xx这个定理也适用于 的情形。x例如，函数 ，其中 ，即 可以表示为 与无穷小量之和。313limxxxxxxxf1313)(01limxx)(xf3A)(xx1两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，但它们的商的情况却不同。比较两个无穷小量在自变量同一变化过程中趋于零的“速度”是很有意义的。为此，我们引入下面的定义：例如，当 时，都是无穷小量，可是 ，这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于零的速度有快有慢：要比 趋向于零更快；而 和 趋向于零的快慢大致差不多。0 xxxx2,2212lim,lim,0lim02020 xxxxxxxxx2xxxx2二、无穷小量的比较二、无穷小量的
4、比较定义定义 设 和 都是在自变量同一变化过程中的无穷小量，且 ，0（1）如果 ，则称 是比 高阶的无穷小，记 ，（在 时）也称 是比 低阶的无穷小。0lim)(0由定义可知，当 时，是比 高阶的无穷小，记为 。与 是同阶无穷小，记为 。0 x2xx)(2xxxx22()xO x（2）如果 （为不等于零的常数），则称 是 的同阶无穷小，记 ；特别地，如果 ，则称 是 的等价无穷小，记作 。clim()O1limc三、无穷大量三、无穷大量定义定义2 当 （或 ）时，如果函数值的绝对值 无限地增大，则称函数 当 （或 ）时为无穷大量。0 xx 0 xx xx)(xf)(xf注意：注意：（或 ）只是
5、沿用了极限符号，表明 虽然无极限，但还是有明确趋向的。无穷大量是一个绝对值无限增大的变量，而不是绝对值很大很大的固定数。)(lim0 xfxx)(limxfx)(xf例如，因为 ，所以 是当 时的无穷大。又如函数 ，当 时，相应的函数值 无限地增大，则当 时 为无穷大，可记为 。11lim1xx11)(xxfxxfln)(0 x|ln|lnxx xxfln)(0 xxxlnlim01x又例如，函数 ，当 时，对应的函数值 无限地增大，则当 时 为无穷大，记为xxf2)(xx2xxf2)(xxx2lim还需指出的是，无穷大量与无穷小量不同，在自变量同一变化过程中，两个无穷大量的和、差、商的极限是没有确定的结果的，对于这类问题要针对具体情况进行处理。四、无穷小量与无穷大量的关系四、无穷小量与无穷大量的关系定理定理 在自变量的同一变化过程中：（1）如果 是无穷大量，则 是无穷小量；（2）如果 且 是无穷小量，则 是无穷大量。)(xf)(xf)(1xf)(1xf0)(xf定理表明了无穷小量与无穷大量互成倒数关系。
