1、第六节第六节 广义积分广义积分 第六章第六章 定定 积积 分分一、一、无穷限的广义积分无穷限的广义积分二二、无界函数的广义积分无界函数的广义积分一、一、无穷限的广义积分无穷限的广义积分定义定义1 设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 （1）)(xf),aat tatdxxf)(lim存在，就称此极限为函数 在无穷区间 上的广义积分，记为 ，即 （2）adxxf)()(xf),atatadxxfdxxf)(lim)(这时也称广义积分 收敛，如果极限（1）不存在，就称广义积分 发散。adxxf)(adxxf)(类似地，设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 （3）,(bbt)(xfbttdxxf
2、)(lim存在，就称此极限为函数 在无穷区间 上的广义积分，记为 ，即 （4）,(b)(xfbdxxf)(bttbdxxfdxxf)(lim)(这时也称广义积分 收敛，如果极限（3）不存在，就称广义积分 发散。bdxxf)(bdxxf)(设函数 在 上连续，如果广义积分 和 都收敛，就称这两个广义积分之和为函数 在无穷区间 上的广义积分，记为 。即),()(xf0)(dxxf0)(dxxf),()(xfdxxf)(ttttdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)()()(000dxxf)(dxxf)(这时也说广义积分 收敛；否则就说广义积分 发散。例例1 计算广义积分 0
3、2dxxex21)(lim21lim)(21limlim00200022222eeexdedxxedxxetttxttxttxtx解：解：例例2 计算广义积分 21xdx02022111111dxxdxxdxx2)arctan(limarctanlim11lim1100202txdxxdxxttttt2arctanlimarctanlim11lim1100202txdxxdxxttttt2212xdx从而 解：解：例例3 试确定广义积分 当p 取什么值时收敛，取什么值时发散。1pxdxtxdxxdxxtttttlnlimlnlim1lim1111时，当时当11,11)1(11lim11lim1
4、lim111111ppptpxpdxxdxxpttpttptp1p当 时即广义积分发散。当p=1时解：解：综上所述，当 时广义积分 收敛（其值为 ），当 时，该广义积分发散。1p11dxxp11p1p定义定义 设函数 在 上连续，且 ，取 ，如果极限 （5）)(xf,ba)(limxfaxat btatdxxf)(lim存在，就称此极限为函数 在 上的广义积分，仍然记作 ，即)(xf,babadxxf)(btatbadxxfdxxf)(lim)(这是也说广义积分 收敛。如果极限（5）不存在，就说广义积分 发散。badxxf)(badxxf)(二二、无界函数的广义积分无界函数的广义积分类似地，设
5、函数 在 上连续，且 ，取 ，如果极限 （6）)(xf,ba)(limxfbxbt tabtdxxf)(lim存在，就称此极限为函数 在 上的广义积分，仍然记作 ，即badxxf)()(xf,batabtbadxxfdxxf)(lim)(这是也说广义积分 收敛。如果极限（6）不存在，就说广义积分 发散。badxxf)(badxxf)(设函数 在 及 上连续，且 ，如果两个广义积分 与 都收敛，则定义),ca,(bc)(limxfcx)(xfcadxxf)(bcdxxf)(btcttactbccabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)()()(这时也说广义积分 收敛；
6、否则就说广义积分 发散。badxxf)(badxxf)(例例4 计算广义积分 101dxxxx11lim12)212(lim)1(2lim)1()1(lim)1(lim1lim110211021102110110txxdxdxxxdxxdxttttttttt因为解：解：例例 5 讨论广义积分 是否收敛？dxx1121被积函数 在区间 及 上连续，而 。21)(xxf)0,1 1,0(201limxx)11(lim1lim1lim1010120012txdxxdxxttttt211)1(111112xdxx0 x注：注：在解本题时，如果忽略了 是被积函数的无穷间断点，而错误地直接套用牛顿莱布尼兹公式，就会产生错误的结果：dxx0121dxx1121即广义积分 发散，从而广义积分 发散。由于 解：解：
