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1、第八章 假设检验,1 假设检验的基本概念 2 单个正态总体均值与方差的假 设检验 3 两个正态总体均值差与方差比 的假设检验,1 假设检验的基本概念,引例,某产品出厂检验规定: 次品率p不超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品, 问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否出厂？,这是 小概率事件 , 一般在一次试验中是不会发生的,现一次试验竟然发生, 故认为原假设不成立, 即该批产品次品率 则该批产品不能出厂.,注 本检验方法是概率意义下的反证法。,这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受原假设, 即该批产品可以出厂.,原假设或零假设,备择假设或对立假设,

2、H1 :,对立,假设检验的任务：,必须在原假设与备择假设之间作一选择。,通常取为0.01，0.05或0.1.,例1.1 某车间用一台包装机包装味精，每袋标准重量为100g，由已往经验知每袋重量的标准差 保持不变，每隔一定时间需要检查包装机的工作情况，现抽取 9 袋，测得它们的净重为：,99.0，100.2，99.3，99.1，99.6，99.2，99.9，100.1，99.3,假定每袋重量服从正态分布，试问这段时间内包装机的工作是否正常（取显著性水平 ）？,解 设每袋重量 ,包装机的工作是否正常，,相当于判断 是否正确. 因此原假设H0：,备择假设为H1：,对于给定的显著性水平 ，令,根据标准

3、正态分布上 分位点的定义知 。,如果统计量 满足 ，则意味着概率为,的小概率事件发生，,根据实际推断原理，应拒绝原假设H0.,如果统计量 满足 ,则应接受原假设H0.,为了给出恰当的 值，,现在,所以拒绝H0，即认为这段时间内包装机的工作不正常,假设检验的结果可能犯两类错误：,第一类错误：当原假设H0为真时, 作出的决定却是拒绝 H0，犯这类错误的概率不超过显著性水平 。,第二类错误：当原假设H0不正确时，作出的决定却是接 受H0，犯这类错误的概率记为 。,在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小但是，一般说来，当样本容量给定以后，若减少犯某一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往会

4、增大，要使犯两类错误的概率都减小，只好增大样本容量在给定样本容量的情况下，我们总是控制犯第一类错误的概率，让它小于或等于 ，而不考虑犯第二类错误的概率这种检验问题称为显著性检验问题,原假设H0：,备择假设H1：,原假设H0：,备择假设H1：,原假设H0：,备择假设H1：,参数检验的一般步骤为：,1根据问题的要求，提出原假设 H0和备择假设 H1；,2给出显著性水平 及样本容量 n ；,3在H0正确的前提下，确定检验统计量 T 及拒绝域的形式；,4按犯第一类错误的概率等于 求出拒绝域W；,解 ，依题意检验假设为,H0： （即新方法未提高燃烧率）,H1： （即新方法提高了燃烧率）,这是一个右边检验

5、问题，其检验统计量为,拒绝域为,所以,认为这批新推进器较以往提高了燃烧率,而,2 单个正态总体均值与方差的假设检验,假设总体 ，X1, X2, , Xn是来自总体 X 的 样本，样本均值 ，样本方差 。,2.1 单个正态总体均值的假设检验,1. 已知时，关于 的假设检验u 检验,H0： ，H1： ,当H0成立时，检验统计量,对于给定的显著性水平 ，拒绝域为,如果进行左边检验,H0： ，H1： ,对于给定的显著性水平 ，拒绝域为,如果进行右边检验,H0： ，H1： ,对于给定的显著性水平 ，拒绝域为,例2.1 一种元件，要求其平均寿命不小于1000h，现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得平均

6、寿命为 950 h，已知这种元件寿命服从 =100 h 的正态分布，试在显著性水平 = 0.05 条件下,确定这批元件是否合格,解,H0： ，H1： .,当H0为真时，检验统计量,此题是一个左边检验的问题，拒绝域为,对于给定的显著性水平 = 0.05, 查表得 ,现在 n = 25， = 100， = 950 ,所以拒绝H0，而接受H1，即认为这批元件不合格,2. 未知时，关于 的假设检验t 检验,当H0成立时，检验统计量,H0： ，H1： ,对于给定的显著性水平 ，拒绝域为,如果进行左边检验,H0： ，H1： ,对于给定的显著性水平 ，拒绝域为,如果进行右边检验,H0： ，H1： ,对于给定

7、的显著性水平 ，拒绝域为,例2.2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm，今从,一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如下：,147，150，149，154，152，153，148，151, 155,假设零件长度服从正态分布,问这批零件是否合格？,解 这里是在总体方差 未知的情况下，检验假设,H0： ，H1： ,当H0为真时，检验统计量,对于给定的显著性水平 = 0.05,拒绝域为,这里,所以接受H0，即认为这批零件合格,2.2 单个正态总体方差的假设检验 检验,1当 已知时，方差 的假设检验, 2 02, 2 02, 2 02, 2 02, 2= 02, 2 02,( 已知), 2

8、 02, 2 02, 2 02, 2 02, 2= 02, 2 02,2当 未知时，方差 的假设检验,( 未知),解 这里要检验的假设是,H0： =0.048，H1： 0.048,检验统计量,对于给定的显著性水平 =0.1，拒绝域为,或,这里,=1.414， =0.00778，,所以拒绝H0,即不能认为这一天尼龙纤度的标准差 =0.048,3 两个正态总体均值差与方差比的假设检验,3.1 两个正态总体均值差的假设检验,1 方差已知时，均值差 的假设检验u 检验,1 2 = ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,( 12，22 已知),2.方差 未知时, 均值差 的假设检验,1 2

9、 = ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,其中,解法一 设X，Y分别表示甲、乙两厂蓄电池的电容量，,检验的假设为,H0：1=2，H1: 12,检验统计量,拒绝域为 | t |t/2( m+n2),这里=0.05，m=n= 5, 查表得 t/2(m+n-2)=t 0.025(8)=2.306，,解法一,同样，将数据带入可得到,= 0.6535 2.306，,因此接受原假设H0，即认为甲乙两厂蓄电池的电容量无显著差异,解法二 (当两个样本容量相等时，两个正态总体均值是否相等的检验，可化为单个总体 Z = XY 的均值是否为零的检验),设 Z = XY，则 Z N (,2)，其中=1

10、2，,由已知数据可知Z的样本观察值为,2，2，1，2，1,检验的假设为,H0：=0，H1：0,检验统计量为,拒绝域为| t |t/2(n1),这里= 0.05，n = 5，查表得 t/2(n1)=t0.025(4)=2.7764，,解法二,s2 = 2.699于是,= 0.2177 2.7764,因此接受原假设H0，即认为两厂蓄电池的电容量无显著差异,3.2 两个正态总体方差比的假设检验,1均值1, 2已知时，方差比 的假设检验, 12 = 22, 12 22, 12 22, 12 22, 12 22, 12 22,1均值1, 2未知时，方差比 的假设检验, 12 = 22, 12 22, 1

11、2 22, 12 22, 12 22, 12 22,例2.5 从两个正态总体分别独立抽取样本观察值如下：,甲：4.4 4.0 2.0 4.8 乙：6.0 1.0 3.2 0.4,能否认为两个样本观察值来自同一总体(取=0.05),解 设两个正态总体分别为,由于1，2未知，所以检验统计量为,首先检验 H0： H1：,拒绝域为,这里=0.05，m = n = 4，查表得,F/2(m1, n1)=F0.025(3.3)=15.44，,F 1/2 (m1, n1) =,例2.5 从两个正态总体分别独立抽取样本观察值如下：,甲：4.4 4.0 2.0 4.8 乙：6.0 1.0 3.2 0.4,能否认为两个样本观察值来自同一总体(取=0.05),解,由于,= 0.24 15.44，,0.065 ,因此接受原假设H0，即认为两个正态总体的方差相同.,下面再检验假设,H0* ：1=2 ,由于 但未知，所以取检验统计量为,拒绝域为,| t |t/2(m + n2),因为t/2(m+n2) = t0.025(6) = 2.4469，而,例2.5 从两个正态总体分别独立抽取样本观察值如下：,甲：4.4 4.0 2.0 4.8 乙：6.0 1.0 3.2 0.4,能否认为两个样本观察值来自同一总体(取=0.05),解,= 0.82 2.4469,例2.6 教材 P202 例3.2 .,