2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)07空间曲线和曲面课件.ppt

1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-12-222022-12-23一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线第七讲第七讲 空间曲线和曲面空间曲线和曲面2022-12-24空空间间曲曲线线的的表表示示方方法法：)()()(:.1tzztyytxxL参参数数方方程程 0),(0),(:.2zyxGzyxFL交交面面方方程程一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面2022-12-25 M0Mxoyz)(),(),(0000tztytxM )(),(),(tztytxM 割线的割线的

2、方向向量方向向量为为TttzzttyyttxxV),(000000 ,0时时若若当当MM,)(,)(,)(000都存在都存在tztytx 并且不同时等于零并且不同时等于零TtztytxT)(,)(,)(000 .0的的切切向向量量在在称称为为曲曲线线MLT做割线做割线连接连接MM,0上上在曲线在曲线设设LMM,0的极限向量是的极限向量是则则V )()()(:tzztyytxxL参参数数方方程程.12022-12-26)()()(000000tzzztyyytxxx 的的切切线线方方程程是是在在点点0ML )()()(000000000tttzzztttyyytttxxx切切线线的的参参数数方方

3、程程是是.00的的法法平平面面在在点点的的平平面面称称为为垂垂直直于于切切向向量量过过点点MLTM法法平平面面方方程程为为0)()()(000000 zztzyytyxxtx2022-12-27 0),(0),(:.2zyxGzyxFL交交面面方方程程隐隐函函数数设设隐隐函函数数方方程程组组确确定定了了 )()(xzzxyy )()(xzzxyyxx令令参参数数的的参参数数方方程程为为的的以以即即为为曲曲线线xL2022-12-28的的切切线线方方程程为为在在点点曲曲线线),(0000zyxML)()(100000 xzzzxyyyxx 出出可可根根据据隐隐函函数数微微分分法法求求)(),(0

4、0 xzxy的的法法平平面面方方程程为为在在点点曲曲线线0ML0)()()(00000 zzxzyyxyxx2022-12-29.)2,1,1(24:1022222处处的的切切线线和和法法平平面面方方程程在在点点求求曲曲线线例例MxyxzyxL 1解解法法求求导导方方程程两两边边对对 x2)(220)(2)(22 xyyxxzzxyyx21)1(,0)1(zy解解出出2022-12-2102120111:zyx故故切切线线方方程程为为0)2(21)1(zx法法平平面面方方程程为为：zx 2即即x xz zy y2 22 22022-12-2112解解法法化化为为参参数数方方程程22224:1)

5、1(:yxzyx 上上半半球球面面代代入入将将柱柱面面)2(2xz 得得 tytxyxsincos11)1(22的的参参数数方方程程是是圆圆z代代入入 2sin2sincos1tztytx得得曲曲线线的的参参数数方方程程：2022-12-2122)2,1,1(00 tM处处，21)(,0)(,1)(000 tztytx2120111 zyx故故切切线线方方程程为为0)2(21)1(zx法法平平面面方方程程为为：zx 2即即2022-12-213的的切切平平面面在在点点则则称称此此平平面面为为曲曲面面处处的的切切线线共共面面的的所所有有曲曲线线在在点点上上过过点点若若曲曲面面切切平平面面定定义义

6、000,)(:MSMMSS n二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线2022-12-214隐函数方程）隐函数方程）的一般方程的一般方程、曲面、曲面(1S0),(zyxFSzyxM),(0000线线的的方方程程为为的的任任意意曲曲点点上上过过设设曲曲面面0MS )()()(:tzztyytxxL于是有于是有0)(),(),(tztytxF两边对两边对t 求导求导,得得0 dtdzzFdtdyyFdtdxxF2022-12-215注意到注意到 TzFyFxF),(0),(TdtdzdtdydtdxTdtdzdtdydtdxT),(是是L的切向量的切向量TzFyFxFgradF),(，

7、垂垂直直于于切切向向量量 TgradF是是曲曲面面的的一一个个法法向向量量，所所以以，gradF2022-12-216的的切切平平面面方方程程为为在在点点曲曲面面00),(MzyxF 0)()()(000000 zzMFyyMFxxMFzyx法法线线方方程程为为)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx 0),()(0MTzFyFxFMgradFn 单位法向量单位法向量)(grad)(grad000MFMFn 法法向向量量2022-12-217),(:2yxfz 、曲曲面面方方程程0),(),(zyxfzyxF将将方方程程改改写写为为可得可得T)1,(yzxzn0)()()()()

8、(00000 zzyyyMfxxxMf切平面方程切平面方程法线方程法线方程1)()(00000 zzMzyyMzxxyx2022-12-2183、曲面的参数方程、曲面的参数方程 ),(),(),(:vuzzvuyyvuxxS ),(),(),(),(yxvvyxuuvuyyvuxx能能够够确确定定反反函函数数设设),(),(),(yxvyxuzvuzz 则则隐隐函函数数微微分分法法利利用用复复合合函函数数微微分分法法、切切平平面面方方程程和和法法线线方方程程根根据据前前面面结结果果可可得得、求求出出,yzxz 逆映射逆映射2022-12-219曲面的参数方程曲面的参数方程 ),(),(),(v

9、uzzvuyyvuxx),(0000zyxM),(),(),(000000000vuzzvuyyvuxx 的的两两条条曲曲线线上上经经过过0MS ),(),(),(:000vuzzvuyyvuxxLu ),(),(),(:000vuzzvuyyvuxxLv处处的的切切向向量量在在点点0MTvzvyvxv),(;),(Tuzuyuxu vun 法向量法向量线线性性无无关关若若vu,nuvvLuL2022-12-220;),(Tuzuyuxu Tvzvyvxv),(kCjBiAvu vzvyuzuyA vxvzuxuzB vyvxuyuxC 单位法向量单位法向量222CBAkCjBiAn 切平面切

10、平面0)()()(000 zzCyyBxxA法线法线CzzByyAxx000 2022-12-221曲面的参数方程曲面的参数方程 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx,:32RRDf 可微映射可微映射 )()()()()()(000000000vvvzuuuzzzvvvyuuuyyyvvvxuuuxxx的的微微分分在在点点映映射射),(00vufdXXfJXdf)()(00 即即2022-12-222 )()()()()()(000000000vvvzuuuzzzvvvyuuuyyyvvvxuuuxxx切平面的参数方程为切平面的参数方程为2022-12-223的的曲曲面面求求证证可可微微

11、设设函函数数例例)(:,1yxyfzSf,)(yxfxz )()(yYyzxXxzzZ 的的切切平平面面在在点点曲曲面面),(),(g:zyxyxzS)()()()(yYyxfyxyxfxXyxfyxyfZ 两两端端恒恒等等时时当当,)0,0,0(),(ZYX因此所有切平面都经过原点因此所有切平面都经过原点.证证)()(yxfyxyxfyz 切平面方程切平面方程.公公共共点点所所有有切切平平面面相相交交于于一一个个2022-12-224.,2730,2722102222求其方程求其方程的切平面的切平面作曲面作曲面过直线过直线例例 zyxzyxzyx 解解 273),(222 zyxzyxF设设

12、,6xFx 则则,2yFy zFz2 方方程程为为的的平平面面束束过过直直线线0,272210 zyxzyx0)(272210 zyxzyx)2(),2(),10(n法法向向量量则则有有设设切切点点为为),(000zyx 027)2()2()10(0273000202020zyxzyx 2022-12-2251,1,1,3000 zyx四四式式联联立立，解解得得19,17,17,3000 zyx或或所所求求切切平平面面方方程程为为于于是是,0)1(1)2()1(12)3(36 zyx0)17)(17()2()17)(17(2)3)(3(6 zyx或或0279 zyx即即02717179 zyx

13、或或0002222610,zyxgradFn 所所以以又又因因为为2022-12-226 利用上述结果，隐函数方程组表示利用上述结果，隐函数方程组表示的曲线的切向量可写成另一种形式的曲线的切向量可写成另一种形式0),()(0MTzFyFxFMgradFn 0),(zyxFSzyxM),(0000隐函数方程）隐函数方程）的一般方程的一般方程曲面曲面(S2022-12-227 0),(0),(:zyxGzyxFLLzyxM),(0000不共线不共线与与假定假定)(grad)(grad00MGMF上上的的切切平平面面的的切切线线既既位位于于在在点点0),(0 zyxFML的的切切平平面面上上又又位位

14、于于0),(zyxG)(,00MgradFML的的切切向向量量既既垂垂直直于于在在点点因因而而)(0MgradG又又垂垂直直于于的的切切向向量量就就是是在在点点则则0ML)(grad)(grad00MGMF 2022-12-228.)2,1,1(24:022222处处的的切切线线和和法法平平面面方方程程在在点点求求曲曲线线例例MxyxzyxL 1解解法法求求导导方方程程两两边边对对x2)(220)(2)(22 xyyxxzzxyyx21)1(,0)1(zy解解出出2022-12-2292120111:zyx故故切切线线方方程程为为0)2(21)1(zx法法平平面面方方程程为为：zx 2即即x

15、xz zy y2 22 22022-12-2302解解法法化化为为参参数数方方程程22224:1)1(:yxzyx 上上半半球球面面代代入入将将柱柱面面)2(2xz 得得 tytxyxsincos11)1(22的的参参数数方方程程是是圆圆z代代入入 2sin2sincos1tztytx得得曲曲线线的的参参数数方方程程：2022-12-2312)2,1,1(00 tM处处，21)(,0)(,1)(000 tztytx2120111 zyx故故切切线线方方程程为为0)2(21)1(zx法法平平面面方方程程为为：zx 2即即2022-12-232.)2,1,1(24:022222处处的的切切线线和和

16、法法平平面面方方程程在在点点求求曲曲线线MxyxzyxL 3解解法法4),(222 zyxzyxF令令xyxzyxG2),(22 有有处处在在点点,)2,1,1(0MTMgradF)22,2,2()(0 TMgradG)0,2,0()(0 2022-12-233处处的的切切向向量量为为曲曲线线在在点点所所以以)2,1,1(,0M)()(00MgradGMgradFT T)4,0,24(2120111:zyx故故切切线线方方程程为为zx 2:法法平平面面方方程程为为2022-12-234.,),(),(),(0422函函数数为为任任意意一一元元可可微微其其中中为为的的求求证证满满足足微微分分方方

17、程程例例fyxfyxuyxuyuxxuy ):(22CyxL 考考察察曲曲线线提提示示等等价价于于因因为为)(22yxfu 常数常数上上在曲线在曲线 ),(:22yxuCyxL切向量处处正交切向量处处正交与与又等价于又等价于Lyxgradu),(证证0),()(:22 yuxxuyyxuuyxfu满满足足微微分分方方程程等等价价于于只只需需证证明明2022-12-235的切向量？的切向量？处处在点在点如何求曲线如何求曲线),(0),(:000yxMyxFL 0,0)(0 yFMF不不妨妨设设时时当当)(),(:00 xfyxfy 且且确定函数确定函数)(,:xfyxx 参参数数形形式式),1(

18、dxdyv 切向量为切向量为yxFFdxdy 代入得到代入得到),/()2,2(),(xyxyFFvxy 切切向向量量2022-12-236小结小结1关于曲线的切线关于曲线的切线)(),(),()1(tzztyytxx 参数方程参数方程Ttztytx)(,)(,)(000 切向量切向量 0),(0),()2(zyxGzyxF一般方程一般方程)(grad)(grad00MGMF 切切向向量量Txzxy)(),(100，（或或2022-12-237曲面的切平面曲面的切平面),(),(),()3(vuzzvuyyvuxx 参参数数方方程程，一一般般方方程程0),()2(zyxF)(grad:0MF法法向向量量0)()()()()(:00000 zzyyyMfxxxMf切切平平面面小结小结2，）（),(1yxfz TyMfxMf)1,)(,)(00 法法向向量量：0)()()(:000 zzzFyyyFxxxF切切平平面面的的结结果果利利用用求求出出)1(,yzxz