2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)06映射课件.ppt

1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-12-222022-12-23 第六讲第六讲一、映射及其微分一、映射及其微分二、曲线的弧长二、曲线的弧长三、曲率三、曲率2022-12-24.,的的一一个个映映射射到到为为则则称称唯唯一一地地对对应应某某个个使使每每一一个个法法则则如如果果按按照照某某种种中中的的一一个个非非空空区区域域是是设设mmnRfRYXfR (一一)映射映射 ).().().(,fRfYXfYYXfDf为为的的值值域域，记记的的取取值值范范围围称称为为表表示示为为对对应应的的与与记记作作的的定定义义域域叫叫做做 .又又称称为为向向量量值值函

2、函数数：映映射射mnRRf 定义定义1 1：一、映射及其微分2022-12-25,sin,cos,:)1(13 tvtztaytaxRRf例例螺螺旋旋线线的的参参数数方方程程DRzRyRxDRRDf ),(,cos,sinsin,cossin0,20),(,:)2(32 球球面面的的参参数数方方程程-2-1012-2-1012051015202022-12-26.),()(lim.,:0000连连续续处处在在点点则则称称映映射射如如果果设设映映射射XfXfXfXRRfXXmn .,上上的的连连续续映映射射是是区区域域则则称称中中每每一一点点都都连连续续在在区区域域如如果果映映射射 ff定义定义

3、2 2：成成立立。恒恒有有满满足足使使当当语语言言描描述述：)(),(,),(,0,000XfXfdXXdX2022-12-27.)()()(,:的的一一个个线线性性映映射射到到是是则则称称都都有有和和任任意意向向量量，的的实实数数如如果果对对于于任任意意设设映映射射mnnnmnRRLYLXLYXLRYRXRRL 矩矩阵阵存存在在的的一一个个线线性性映映射射，则则必必到到是是如如果果nmRRLmn mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211线性映射线性映射定义定义3 3：2022-12-28 nmnmmnnTnxxxaaaaaaaaaAXXLxxxX212122221112112

4、1)(,),(有有使使得得对对于于任任意意的的Tnjjmjnjjjnjjjxaxaxa 11211.,LRRAnmmn的的一一个个线线性性映映射射到到都都确确定定一一个个矩矩阵阵反反之之，任任意意一一个个 2022-12-29(二二)映射的微分映射的微分,)(的的一一个个映映射射到到是是设设mnRRXfU TmTnuuuUxxxX),(,),(2121 其中其中 ),(),(),()(21212211nmnnxxxuxxxuxxxuXf处处可可微微。在在处处可可微微，则则称称映映射射在在如如果果元元函函数数个个上上的的是是定定义义在在0021)()1()(.)1(),()(XXfUXmiXun

5、mmixxxuXuuinii 2022-12-210 nXnmmmnndxdxdxxuxuxuxuxuxuxuxuxuXdf2121222121211100)(即即).()()(),(),()(000212100XdfXXfUdXXfJRRxxxuuuXfJmnXnm处处的的微微分分。记记作作在在点点称称为为映映射射的的线线性性映映射射到到的的确确定定由由雅雅可可比比矩矩阵阵 2022-12-2110021222121211121210),(),()(XnmmmnnXnmxuxuxuxuxuxuxuxuxuxxxuuuXfJ 处处的的雅雅可可比比矩矩阵阵在在0Xf处处的的导导数数。在在又又称称

6、为为映映射射0Xf2022-12-212处处的的微微分分。矩矩阵阵及及在在若若可可微微，求求其其处处是是否否可可微微在在考考察察的的映映射射为为设设例例TXJacobiRXfxxxyxxxxxxyRRXfY)2,1,1(,)(2033212133221123 )(,)()()()(0000XXdfXfXXffXXfU 处处可可微微，则则在在如如果果映映射射TnTndxdxdxxxxX),(),(2121 其其中中2022-12-213上上处处处处可可微微。在在所所以以上上均均可可微微在在因因为为函函数数3321,)(),(RfRXyXy 21133221133232121),(),()(xxx

7、xxxxxxxxxxxxyyXfJ 32100122013)()(dxdxdxdXXfJXdf 32121223dxdxdxdxdxTXxxxyxxxxxxy)2,1,1(032121332211 解解2022-12-214证证明明设设例例,0)(),(),()(,)(),(),()(3 TTtztytxtrtztytxtrCtrtrtr )(,0)()(则则若若 证证)()()()(2222tztytxdtdtrdtd 0)()(2)()()()(),(),(2 trtrtztytxtztytxCtr)(2022-12-215(三三)复合映射的微分复合映射的微分即即处处可可微微，且且在在复复

8、合合映映射射),()()()()(0000XgJUfJXgfJXXgfXgfY 定定理理则则处处可可微微在在映映射射处处可可微微在在映映射射如如果果的的映映射射。到到是是的的映映射射，到到是是设设,)(,)().(,)()(00000UUfYXXgUXgURXRRUfYRRXgUnkmmn 2022-12-216000),(),(),(),(),(),(212121212121XnmUmkXnkxxxuuuuuuyyyxxxyyy 链式法则链式法则dXxxxuuuuuuyyyXgfdXnmUmk00),(),(),(),()(212121210 2022-12-217 cossinsincos

9、sin,),(,),(),(),(),(43213212321132121rururuuuuyuuuyrXuuuUyyYXgUUfYTTT，其其中中设设例例.1 ygf的的微微分分及及求求复复合合映映射射dXXgfJdY)(解解),(),(),(),()(32132121 ruuuuuuyyXgfJ 2022-12-218 sin0coscoscoscossinsinsincoscossinsincossin111)(211332rrrrruuuuuuXgfJ cossinsincossin,32132123211rururuuuuyuuuy的的第第一一行行第第二二列列元元素素，就就是是)(1

10、XgfJy cossinsinsin13321ruuruuy .相相同同的的结结果果链链式式法法则则也也能能求求出出由由多多元元复复合合函函数数求求导导的的2022-12-219微微分分法法）反反函函数数微微分分法法（逆逆映映射射四四)(且且处处可可微微在在逆逆映映射射满满足足的的逆逆映映射射上上定定义义了了使使得得在在的的某某邻邻域域可可逆逆，则则存存在在阵阵处处的的雅雅可可比比矩矩在在如如果果映映射射可可微微映映射射，的的一一个个到到是是从从，设设区区域域,)().(),(,)()(.)(01010100000YYfXYfXYfXfUUXfYXfJXfXRXfYRnn )(),(),(),

11、(),()(011212121210100XfJxxxyyyyyyxxxYfJXnnXnn 2022-12-220 niiiMM11iiniMM11max 0lim sAB1M1 iMiM0M nM 二、曲线的弧长 niiiMM11 niils1),1(,1nilMMnLiii 弧弧段段的的长长度度为为记记各各小小个个小小弧弧段段任任意意分分成成将将2022-12-221由由参参数数方方程程给给出出设设空空间间曲曲线线 L且且不不同同时时为为零零,)(),(),(Ctztytx )()()()(:ttzztyytxxL222)()()(zyxl tzyxl 232221)()()(由拉格朗日中

12、值定理由拉格朗日中值定理2022-12-222 tdtdlBtAt,00,;,，应应有有因因为为对对应应点点对对应应点点设设dttztytxdl222)()()(弧弧长长的的微微分分 niiiiiniitzyxls12221)()()(dttztytxdls)()()(222弧弧长长公公式式2022-12-223.)2,0,()0,0,(,sin,cos1一一段段弧弧的的弧弧长长到到点点点点从从求求螺螺线线例例caBaActztaytax 解解.2,0,ttBA分分别别对对应应于于参参数数点点有有由由弧弧长长的的计计算算公公式式,dttztytxs)()()(22 2022222cossind

13、tctata 2022dtca222ca -2-1012-2-1012051015202022-12-224保保持持定定长长的的充充要要条条件件是是向向量量值值函函数数，设设)(,0)(),(),()()(),(),()(trtztytxtrtztytxtrTT .0)()(trtr.)()(,)(),(),()(,1)(,)(),(),()(的的变变化化率率对对于于参参数数转转动动的的角角度度相相表表示示向向量量方方向向上上正正交交的的在在与与则则设设ttrtrrtztytxtrtrtztytxtrTT 2引引理理 1引引理理曲率是描述曲线弯曲程度的量曲率是描述曲线弯曲程度的量三、曲率202

14、2-12-225 )()()(:tzztyytxxL设设空空间间曲曲线线Ttztytxr)(),(),(向向量量值值函函数数 ttdttztytxs0)()()(222曲曲线线的的弧弧长长 ttdttr0)(,0)(trdtds的的连连续续可可微微函函数数：是是st,根根据据反反函函数数定定理理)(stt 2022-12-226求求导导，对对 s,)(trrrdsdtrdsrdtdtdstt 的的单单位位切切向向量量，是是曲曲线线设设曲曲线线LsTsrrL)(),(:).()(strtrs 作作为为参参数数，则则用用弧弧长长叫叫做做自自然然参参数数。ssss )(sT)(ssT sdsds 0

15、lim倾倾角角对对弧弧长长的的变变化化率率曲曲程程度度反反映映曲曲线线在在一一点点处处的的弯弯2022-12-227变变化化率率。的的对对是是的的单单位位切切向向量量是是曲曲线线ssTsTLsT)()(,)(即即倾倾角角的的变变化化。方方向向上上的的变变化化在在只只反反映映是是定定长长向向量量,)()(,)(sTsTsT 就就越越高高。曲曲线线在在这这点点的的弯弯曲曲程程度度的的变变化化率率就就越越大大，的的倾倾角角对对越越大大，ssTsT)()(即即记记作作的的曲曲率率在在点点为为曲曲线线则则称称的的单单位位切切向向量量是是曲曲线线有有二二阶阶导导数数设设曲曲线线),(,)(,)(.)(:s

16、MLsTLsTsrrL ,)()(dsdsTs 定义定义 由引理由引理2 2可知可知称称为为曲曲率率半半径径。)(1)(ss 2022-12-228,)(1)(trdtTddsdtdtTddsTdsTdtdsdtTd dtdstrtrtrT)()()(单单位位切切向向量量,Tdtdsr ,22TdtdsTdtsdr TrdtdsTdtdsTdtsdrrr )(22TTdtds 2)(同同方方向向与与Tr 2022-12-229正正交交，与与知知由由引引理理是是单单位位向向量量TTT,1,)()(22TdtdsTTdtdsrr 22)(rrrrrTdtds 31)(rrrrdtTds 曲曲率率的的计计算算公公式式：2022-12-230一一点点的的曲曲率率。求求直直线线和和圆圆周周在在其其上上任任例例解解:)1(L设设直直线线Tctzbtyatxtr),()(000 Ttr)0,0,0()(易易求求出出.0 TtatatrLa)0sin,cos()()2(，：的的圆圆周周设设半半径径为为,)0cos,sin()(Ttatatr，Ttatatr)0sin,cos()(，,1)(323aaarrrs .)(1)(ass