《高数》定积分-课件.ppt

1、高数定积分-PPT课件 求曲边梯形的面积xy0 xa i1ixixbxn)(xfy 如下：具体做法称为曲边梯形。轴围的图形，及、与直线由连续曲线 )(xbxaxxfy).21(1 (1)11110nixxxxxnbabxxxxanbaiiiinn，记为，每个小区间的长度个小区间分成，把区间个分点中任意取，在分割、，xy0 xa i1ixixbxn)(xfy)21()()()()2(1nixfAxfxfAxxiiiiiiiiiii，来近似代替，即为底的小矩形的面积为高，以可用以，则小曲边梯形的面积一点上任取，在每个小区间近似、xy0 xa i1ixixbxn)(xfy niniiiixfAAAn

2、11)(3)(的近似值，即便得曲边梯形面积，个小矩形的面积加起来把求和、niiiinixfAx101)(0max )4(lim时，和式当，大值为的，记小区间长度的最密为了保证分割是无限细取极限、iniibainiiiniiiiiiniiiiiinnxfdxxfbaxfxfxfxxxnixxxxxnbxxxxxanbabaxfy)()()()()(max )2 1(1)(1010111111210limlim上的定积分，记为，在此极限值为函数存在，则称，如果作和式，任取，记，其长度记为，个小区间得到，个分点，中任意取，上有定义，在，在设函数定义限。称为积分下限和积分上，称为积分区间，分变量，称为

3、积称为被积表达式，称为被积函数，其中：babaxdxxfxf)()(不可积。，在上可积，否则，称，在存在，则称、若几点说明：)()()(1 10limbaxfbaxfxfniii上可积。，在限个间断点，则上有界，且只有有，在区间、设上可积。，在上连续，则，在区间设、：上可积的两个充分条件，在 )()(2)()(1)(baxfbaxfbaxfbaxfbaxfbababaduufdttfdxxfbaxf)()()()(2 母表示无关，即而与积分变量用什么字有关，及积分区间值仅与被积函数式极限，它的定积分是一种特定的和、abbadxxfdxxfbaba)()(3 时，规定，当定义中假定了、0)(4

4、badxxfba时，规定当、定积分的几何意义的几何意义如下：，其定积分上的连续函数，对于区间)(xfba的面积。轴所围成的曲边梯形及，与直线表示由曲线时，定积分当、xbxaxxfydxxfxfba)()(0)()1 负值。成的曲边梯形的面积的轴所围及，与直线表示由曲线时，定积分当、)()(0)()2 xbxaxxfydxxfxfbaxyab)(xfy xyab1A2A3A )()()()()3 321AAAdxxfxbxaxxfydxxfxfbaba的代数和，即轴所围成平面图形面积及，与直线表示由曲线定积分既取正值又取负值时，当、由定积分的几何意义知：xy1121xy21112dxxxyxy0

5、12110 xdx 定积分的性质.)()(上都是可积的，在、假定函数baxgxfbabadxxfkdxxkfkk)()()(1 可提到积分号外，为常数被积函数中的常数因子性质限个代数和的情形。这一结论可以推广到有定积分的代数和，分等于它们两个函数代数和的定积性质bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2 bccabadxxfdxxfdxxfbac)()()(3 ，则，设积分区间的可加性）性质bb)()()()(4 aadxxgdxxfxgxfba，则上，若，在区间性质abdxxfxfba)(1)(5 ，则若性质理又称为定积分的估值定则上的最大值和最小值，在分别是函数和设性质)(

6、)()()(6 abMdxxfabmbaxfmMba)()()(7 abfdxxfbabaxfba，使得内至少存在一点，（上连续，则在，在设函数（积分中值定理）性质 例题1 利用定积分的性质，比较下列积分大小103102 1)dxxdxx与10310232232 0)1(10 dxxdxxxxxxxx即，内，解：在区间43243)ln ln 2)dxxxdx（与432432)(ln ln 0)ln1(ln)(lnln0ln1 4 3 dxxdxxxxxxx，则内，在区间解：例题2 估计下列各积分的值454 2)sin(1 1)dxx4542222)sin1(445 1)(2112(sin1)(

7、454 积分区间，）为之最大值和最小值分别上，函数，在区间解：dxxabfmfMxxf202 2)dxexx 22 )(210)()12()()2(1)0(2 0)(:2204124121)21(22222edxeeeMeemxfxxfxexfeffexfxxxxxx最大值，取得最小值时，得，令又，最小值为上最大值与，在区间设解 变上限积分函数xaxaxaxabaxdttfxtbaxdxxfxxdxxfxdxxfxaxfbaxbaxf)()()()()()()()(，则有，变量改为，为避免混淆，把积分，变上限积分函数，记为的函数，称为是一个关于上限因此的变化而变化，存在，且随上限积分上必可积，

8、即定，在，任一上连续，则对，在设函数定义)()()()()(xfxbadttfxbaxfxa可导，且，在则变上限积分函数上连续，在如果函数定理 证明：见pag.102Cdttfdxxfxfdttfxbaxfxaxa)()()()()()(函数，因此的一个原就是连续，则上，在由定理可知，如果函数 例题 求下列函数的导数bxdttxF21)()1 1 1 1 222xdttdxddttdxdxbbx解：dttxFx20311)()2 6303212 211 211 :xxxuxdttduddxdududFuxu，则设解22cos)(3)xxdttxF coscos2 cos2cos coscos

9、coscos coscos cos)(242422222222222xxxxxxdttdxddttdxddxdFdttdttdttdttdttxFxaxaxaxaxaaxxx解：200)1ln(limxdttxx求极限例题达法则，有”型不定式，利用洛必为“，此时极限时，解：000)1ln(0 0 xdttx21211)00(2)1ln()()1ln()1ln(limlimlimlim00200200 xxxxdttxdttxxxxxx 牛顿 莱布尼茨（Newton Leibniz)公式 )()()()(103.)()()()()()(aFbFabxFdxxfpagaFbFdxxfxfxFbax

10、fbaba写为为了方便起见，公式常证明：见的一个原函数，则是上连续，在设函数定理 例题 求下列定积分adxxx02)13 1)（aaaxxxdxxxaa23011120221 11123)13 （解：1024 2)xdx60arcsin21arcsin2arcsin4 10102解：xxdxdxx 3)111001 xxxxx，解：1212122 )(100122100111xxxdxdxxdxxdxx sin 4)2002xy解：20 sinsinsin xxxxx4)1(111 cos2cos0coscos coscos )sin(sin sin 200220 xxdxxxdxdxxdxx

11、121 5)莱布尼茨公式，有，所以按牛顿，现在积分区间是见原函数是的时，在基本积分公式中，当解：12)79.(ln 10 pagxxx2ln 2ln1lnln 1212xxdx 202)(11 211)(6)dxxfxxxxxf求时，当时，当设38 18611213121)2(21)1()(2110322211020 xxxdxxdxxdxxf解：注 意 在使用牛顿 莱布尼茨公式求定积分时，被积函数必须连续的，否则会引出错误的结论，见教材pag.104.定积分的换元积分法（换元必换限）411 1 xdx例题 24112 2txtxtdtdxtx，；，设解：32ln22 )1ln(212 111

12、2121 212121212141tttdtdtdtttdtttxdx)0(2 022adxxaa例题200 cos sin :，；，；，设解taxtxtdtadxax4 021222sin212 )2cos1(2cos 222022022022022aattadttatdtadxxaa31221 3 xxdx例题4133 sectan 2，；，；，设解：txtxtdtdxtx3322sin1sin)(sin sincossectansec1 3434234234223122tttddttttttdtxxdx5.8pag.106.例题证明：见0)()()2)(2)()(1)0()(0aaaaa

13、dxxfxfdxxfdxxfxfaaaxf为奇函数，则若为偶函数，则若），求证：上连续，在设0cos 113xdxx例如：定积分的分部积分法babavduuvudvbaxvxuba )()(连续导数，则有上有，在、设函数定理方 法幂三（指）选幂 幂反（对）选反（对）三角指数可任选可化简容易凑dudv 出现循环移项解exdxx1ln 1 例题2ln 2xvxdxdvxdxduxu，；，解：)1(41 221ln2 21ln2ln 222121111exxxxdxxxxdxxeeeee20sin 2 例题xdxexxvxdxdvdxedueuxxcossin :，；，解 1(21sin sin s

14、in cos cos cossin 220202020202020）exdxexdxexexexdxexexdxexxxxxxx10 3 dxex例题，于是，；，当，则设解：1100 2 2uxuxududxuxux2)22(2222222 10101010101010eeeuedueueudeuduedxeuuuuuuxdxexx35 4 例题3131 )(31 331 103103310233331033103xxxxxxeexxdeexdxexex33)(3 23xxeveddvdxxduxu103105)(31 33xxedxdxex解：广义积分 在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无

15、穷区间或者被积函数是无界函数的积分。这两种情况下对应的积分称为广义积分。本节重点介绍广义积分的概念和计算方法。无穷区间上的广义积分积。“开口曲边梯形”的面轴右侧所围成的轴以及，求曲线引例 11 2xxxy21xy yx01b具。区间，借助极限这一工为无穷，解：积分区间 1 1)11(1 11)11(11 1 1 lim12121bdxxSbbbxdxxbbbbb形”的面积为，故所求“开口曲边梯，有，在区间任取发散。不存在，则称广义积分收敛。如果极限此时也称广义积分，即的广义积分，记为，在存在，则称该极限值为果，如上连续，取，在设定义ababababbabababdxxfdxxfdxxfdxxf

16、dxxfdxxfaxfdxxfabaxf )()()()()()()()()(limlimlimlim是发散的。敛，否则收都收敛时，与当即为任意常数）上的广义积分为），在上的广义积分为，在类似地，可定义dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfdxxfdxxfbxfccbcbcaaccbaab)()()()(.)()()(C )()()()(.)()()(limlimlim上述三类统称为无穷区间上的广义积分，也称为无穷积分。exxdx2)(ln 1 例题11ln1 ln1 )(ln)(ln)(ln limlimlim22bxxxdxxdxbbebbeb

17、e解：02 2 dxxex例题21 121 21 )(21 2b0222limlimlim020bbxbbxbxeexdedxxe解：21 3 xdx例题211xyxya0b）解：22(0arctanarctan0 arctanarctan 11 111 limlimlimlimlimlim00020202022baxxxdxxdxxdxxdxxdxbabbaabbaa 无界函数的广义积分发散。不存在，则称广义积分收敛。如果极限此时亦称广义积分，即上的广义积分，记为，在值为函数存在，则称极限，若极限取又称瑕点）为无穷间断点，即上连续，且，在设函数定义babababababaaxdxxfdxxf

18、dxxfdxxfdxxfbaxfdxxfaxxfbaxf)()()()()()()(0.()()(limlimlim00。发散则积分中有一个发散，与若广义积分，即内部，则广义积分，在若无穷间断点上的广义积分为，在时，为瑕点，即类似地，若babccabccababccababababxdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbacxdxxfdxxfbaxfxfbx)()()(.)()()()()()()()()()(2211limlimlimlim000aaaxdx223)(1 例题发散的无穷间断点，于是为被积函数解：222)()()()(1 limlimlimlim020223202323aaxaxaxdaxdxaxaxaaaaaaax)0(2 022axadxa例题21arcsin 0arcsinarcsin 1 limlimlimlim000022002222是函数的无穷间断点，于为被积解：aaaxxadxxadxaxxaaaaax