同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程.ppt

1、水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念曲面方程的定义：曲面方程的定义：以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020即即 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 解解,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为根据题意有根据题意

2、有|,|MBMA 解解 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程.07262 zyxzxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎的？的图形是怎的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z)1(1)2()1(22 ccyx解解c图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底zxyoc以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面

3、作为点的轨迹时，求曲面方程二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕z z 轴轴 旋转曲的方程曲线曲线 C C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z z 轴轴 旋转曲的方程曲线曲线 C C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 S SCSMN),0(11zy zz 1zPMPy|11y1zy zo绕绕 z z轴轴.22yx f(y1,z1)=0M(x,y

4、,z)旋转曲的方程x S将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf ,0,:22 zyxfS得方程得方程0),(22 zxyfx 012222 zbyax 双曲线双曲线0y例：绕绕 x x 轴旋转一周轴旋转一周x 012222 zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x x 轴旋转一周轴旋转一周例例x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax.012222 zbyax 双曲线双曲线绕绕 x x 轴旋转一周轴旋转一周axyo例.上题双曲线上题双曲线绕绕 y y 轴旋转一周轴旋转一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y y 轴旋转一周轴

5、旋转一周 叶叶旋旋转转双双曲曲面面得得单1222222azbyax 0 0 2222 =z=byax 旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz 旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.旋转锥面oz 02 xazy 抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周oxz 02 xazy抛物线抛物线 绕绕 z 轴一周轴一周yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？02

6、xazy抛物线抛物线得旋转抛物面得旋转抛物面绕绕 z 轴一周轴一周例例.xozy解解 cotyz ),0(111zyM),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面

7、称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱

8、面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母

9、线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面

10、的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移

11、动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.C定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.

12、CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 L L 叫叫柱面的柱面的母线母线.Cxzy0母线母线准线准线(不含不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程 一般从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）12222 byaxabzxyo椭圆(不含不含z)zxy=0y12222 bzaxo 双曲(不含不含y)pxy22 zxyo 抛物(不含不含z)柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴x12222 byax双曲柱面

13、双曲柱面 /轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 /轴轴y曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).).0),(zyxF四、小结思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22 yx.1)3(xy练练 习习 题题二二、画画出出下下列列各各方方程程所所表表示示的的曲曲面面：1 1、222)2()2(ayax ；2 2、14922 zx ；3 3、22xz .练习题答案练习题答案一、一、1 1、0112622 z

14、yxz；2 2、0244222 zyxzyx；3 3、(1,-2,2),4(1,-2,2),4；4 4、,1,1,1222222222222ybyaxzczbyzczax yczby,12222 ；5 5、不含与该坐标轴同名的变量；、不含与该坐标轴同名的变量；6 6、xoy面上的双曲线面上的双曲线yyx,1422 ；7 7、面面yoz上的直线上的直线 zayz,；8 8、平、平y行于行于轴的一条直线轴的一条直线,与与面面yoz面平行的平面；面平行的平面；9 9、圆心在原点、圆心在原点,半径为半径为 2 2 的圆的圆,轴为轴为轴轴z,半径为半径为 2 2 的圆柱面的圆柱面.二、旋转曲面二、旋转曲

15、面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲

16、面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面

17、.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转

18、一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴