人教A版高中数学必修四课件：3-1-1-两角差的余弦公式3.ppt

1、第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式两角差的余弦公式 公式公式cos(-cos(-)=_)=_简记符简记符号号_使用条使用条件件，都是都是_coscos+sinsinC(-)任意角1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在角，使cos()=cos cos.()(2)对于任意角，总有cos()=cos cos.()(3)对于任意角，总有cos()=cos cos cos cos.()【解析】(1)正确.如cos(060)=cos0-cos60.(2)错误.对于任意角，总有cos()=coscos+sinsin.(3)错误.理由与(2)相同.答案

2、：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)cos175cos55+sin175sin55=.(2)不查表求值cos105=.(3)已知sin=，()，则cos()=.15,23【解析】(1)cos 175cos 55+sin 175sin 55=cos(17555)=cos 120=.答案：(2)cos 105=cos15045=cos 150cos 45+sin 150sin 45答案：121232 1226().22224 264(3)因为sin=,(,),所以cos=所以cos(-)=cos cos +sin sin 答案：152212 61 sin1.255 33

3、32 6 1 133 2 6.52 5210 3 2 610【要点探究】知 识 点 两角差的余弦公式对公式C(-)的三点说明(1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.(2)公式的适用条件公式中的,不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如 中的“”相当于公式中的角,“”相当于公式中的角.cos()22 22(3)公式的“活”用公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：公式本身的变用，如cos()cos cos=sin sin.角的变用，也称为角的变换，如cos=cos(+)，cos 2=co

4、s(+)().【微思考】(1)根据公式C()，要计算cos()需要计算哪些量？提示：需要计算cos，cos，sin，sin 四个量.(2)若或中有 (kZ)的形式，计算cos()时除了用公式C()之外，还可以用什么方法？哪种方法更简洁？提示：还可以用诱导公式.用诱导公式更简洁.k2【即时练】1.cos 345的值等于()【解析】选C.cos 345cos(15360)cos(15)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 3026622626A.B.C.D4444 232 162.222242.cos(+21)cos(24)+sin(+21)sin(24)=_.

5、【解析】cos(+21)cos(24)+sin(+21)sin(24)=cos(+21)(24)=cos 45=.答案：2222【题型示范】类型一 给值(角)的求值问题【典例1】(1)已知cos=，则cos()=()(2)的值是()(3)(2013淮北高一检测)设12133(,)2，417 27 27 217 2A.B.C.D.262626262cos 10sin 20sin 7013A.B.C.3D.2221cos()29，2sin()()(0cos.23222 ，其 中，)，求【解题探究】1.题(1)中，要求cos()需要知道哪些量？计算未知量时，要特别注意什么？2.题(2)中，10，20

6、，70三个角可以通过哪些公式联系起来？3.题(3)中，已知角 与所求角 有什么关系？42 2，2【探究提示】1.要求cos()需要知道cos，cos sin，sin 四个量.计算未知量时，要特别注意的取值范围.2.cos 10=cos(3020)，sin 70=cos 20.3.4,44().222 )(【自主解答】(1)选A.因为cos=，所以sin=所以cos()=cos cos +sin sin 12133(,),2221251 cos1),1313 (4441225217 2.13213226 2cos(30 20)sin 202C.sin 702(cos 30cos 20sin 30

7、sin 20)sin 20sin 70(3cos 20sin 20)sin 203cos 203.sin 70cos 20选 原 式 3()(022()()2424 212cos()sin()2923 因 为，)，所 以，因 为，2214 5sin()1 cos()1.2281945cos()1 sin()1.2293coscos()()222cos()cos()sin()sin()222215 4 5 2 7 5.939327 所 以所 以【方法技巧】给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根

8、据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换=(-)+；=2=(+)+(-)；2=(+)-(-).22；【变式训练】求sin 167sin 223sin 257sin 313的值【解题指南】解答本题要首先利用诱导公式将已知角转化为锐角，然后利用两角差的余弦公式计算.【解析】原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30)3.2【补偿训练】设(0，)，若sin ，求 cos()的值【解析】因为(0，)，sin ，所以cos 所

9、以 cos()(cos cos sin sin )cos sin 2352423545，242444 3 7.5 5 5 类型二 给值求角问题【典例2】(1)已知，均为锐角，且cos=，cos=则-=_.(2)(2014南昌高一检测)已知cos=,cos()=且0 ,求的值.2 5510,101713,142【解题探究】1.题(1)中，角的取值范围是什么？要计算此角，首先计算该角的哪个三角函数值？2.题(2)中，已知角，与所求角有什么关系？【探究提示】1.题(1)中，-0,因为y=cos x在(-,0)上是增函数，所以要计算此角，首先计算该角的余弦值.2.题(2)中，=-(-).22【自主解答

10、】(1)因为，均为锐角，所以sin=,sin=所以cos(-)=cos cos+sin sin 又sin sin，所以0 ，所以-0.故-=-.答案：-553 1010，2 5105 3 102.51051022244(2)由cos ，0得sin 由0 ，得0 .又因为cos()所以sin()由()得cos cos()cos cos()sin sin()172，2214 31 cos1()77，221314，22133 31 cos1(),14141 13 4 3 3 3 1.7 1471423，所 以【延伸探究】题(2)中，若cos=，cos(+)=求的值.551010，【解析】因为0 ，所

11、以0+，由cos=，cos(+)=得sin=，sin(+)=所以cos cos(+)cos(+)cos sin(+)sin 2551010，2 553 1010，105 3 10 2 52.10510524，所 以【方法技巧】解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.【变式训练】已知sin+sin=,cos+cos=,0，求-的值.【解题指南】首先将已知两个等式平方后相加，然后利用同角三角函数的平方关系和两角差的余弦公式求cos(-)，再求-.3545【解析】因为(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上两式

12、展开两边分别相加得2+2cos(-)=1,所以cos(-)=所以0，-0，所以-=35451.22.3【补偿训练】已知cos(-)=-，cos(+)=,且-(,),+(,2)，求角的值.【解题指南】先求cos 2的值，再求2，进而求.12131213232【解析】由-(,)，且cos(-)=-，得sin(-)=由+(,2)，且cos(+)=得sin(+)=cos 2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)212135.13321213，513，121255()()1.131313 13 又因为-(,)，+(,2),所以2(,),所以2=,则=232232.2【

13、易错误区】求三角函数值时忽视角的取值范围致误【典例】(2014荆州高一检测)若,(,)，sin(+)=，sin()=，则cos(+)的值等于()34354121345656516A.BCD65651365.【解析】选A.因为,(,)，所以+()，.由sin(+)=，得cos(+)=由sin()=得cos()=3443,2243(,)2 4 3522341 sin1)55 (，41213，21 sin()4 212511313 ()，所以 =cos(+)cos()+sin(+)sin()cos()cos()44 44453 1256()().5135 1365【常见误区】错错解解错因剖析错因剖析

14、选选D D若在处忽视角若在处忽视角+，的范的范围的计算，围的计算，则会导致后面由正弦值计算余弦值时则会导致后面由正弦值计算余弦值时符号选择符号选择出错，进而计算出错，进而计算cos(+)cos(+)出错出错 若忽视已知角若忽视已知角+，和所求和所求角角+之之间的关系，则无法在处进行恰当的间的关系，则无法在处进行恰当的变形，导变形，导致计算致计算cos(+)cos(+)出错出错44444【防范措施】1.重视角的范围的计算应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，经常由正(余)弦值计算余(正)弦值，此时要特别注意计算角的范围，从而判断终边位置.如本例中，由+知+，分别是第四、二象限角，这两个角的余弦值分别为正数和负数.33(,2)(,)242 4 ，42.注意拆角、凑角方法的应用应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，分析已知角与所求角的关系是探究解题思路的关键.如本例中，注意到+=(+)()，就自然想到解题思路.44【类题试解】(2013焦作高一检测)已知sin 则cos 的值是()()6355 36，3 4 34 3 32 3 33 2 3A.B.C.D.101055【解析】选A.因为所以所以536，.2 6 24cos()1 sin().665 cos cos()66cos()cos sin()sin666643 3 1 3 4 3.525 210 所 以