1、函数的奇偶性y=x2-xx当当x x1 1=1,x=1,x2 2=-1=-1时，时，f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)当当x x1 1=2,x=2,x2 2=-2=-2时，时，f(-2)=f(2)f(-2)=f(2)对任意对任意x x，f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)3xy 当当x x1 1=1,x=1,x2 2=-1=-1时，时，f(-1)=-f(1)f(-1)=-f(1)对任意对任意x x，f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)-xx偶函数定义偶函数定义：如果对于函数定义域内：如果对于函数定义域内的任意一个的任意一个x,x,都有都有f(-xf(-x）=f(x)=f(x)
2、。那。那么么f(x)f(x)就叫偶函数。就叫偶函数。奇函数定义奇函数定义：如果对于函数定义域内：如果对于函数定义域内的任意一个的任意一个x,x,都有都有f(-xf(-x）=-f(x)=-f(x)。那么那么f(x)f(x)就叫奇函数。就叫奇函数。例例1、判断下列函数的奇偶性、判断下列函数的奇偶性21)(xxf)(),(1)(1)(22xfxfxxxf（2）解：解：(1)(1)因为因为f(-x)=2x=-f(x),f(-x)=2x=-f(x),所所 以以f(x)f(x)是奇函数。是奇函数。(2)因为因为f(x)的定义域为，的定义域为，是偶函数是偶函数。xxf2)(1)12)(xxf（4）（3）)1
3、,3(x2)(xxf22 3,1x 当时,由于故故f(2)f(2)不存在，所以就谈不上与不存在，所以就谈不上与f(-2)f(-2)相等了，由相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。解：解：（3）（4 4）)()()()(,12)(xfxfxfxfxxf且因为故函数没有奇偶性。故函数没有奇偶性。首要条件：定义域是否关于原点对称思考：在刚才的几个函数中有的是奇函数在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数，函数的。那么有没有这
4、样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？它既是奇函数又是偶函数呢？f(x)=0f(x)=0是不是具备这样性质的函数解析是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？式只能写成这样呢？例例2 2、已知函数、已知函数f(x)f(x)既是奇函数又是偶既是奇函数又是偶函数。求证：函数。求证：f(x)=0f(x)=0证明：因为证明：因为 f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数所以所以 f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),且且f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)所以所以 f(x)=-f(x)f(x)=-f(x)所以所以 2f(x)=02f(x)=0即即 f(x)=0.f(x)
5、=0.这样的函数这样的函数有有多少个有有多少个呢？呢？多个所以这样的函数有无数偶函数是但它们都既是奇函数又显然是不同的函数和如若改变函数的定义域只是解析式的特征，xxfxxf，xf,2,101,2,0)(1,1,0)()(函数按是否有奇偶性可分为四类：函数按是否有奇偶性可分为四类：(1)奇函数;(2)偶函数;(3)既是奇函数又是偶函数;(4)既不是奇函数又不是偶函数.例例3、判断下列函数的奇偶性、判断下列函数的奇偶性)()(2Raaxf)0()()1(kbkxxf（1）解：当）解：当b=0时，时，f(x)f(x)为奇函数，当为奇函数，当b 0时，时，f(x)f(x)既不是奇函数，也不是偶函既不
6、是奇函数，也不是偶函数。数。2 2、解：当、解：当a=0a=0时，时，f(x)f(x)既是奇函数又是既是奇函数又是偶函数，当偶函数，当a 0a 0时，时，f(x)f(x)是偶函数。是偶函数。例例4、已知函数、已知函数f(x)为奇函数，定义域为奇函数，定义域 为为R,且且X0时，时，f(x)=求函数求函数f(x)的解析式。的解析式。xx22小结：奇偶性的概念奇偶性的概念判断奇偶性时要注意的判断奇偶性时要注意的问题问题作业：判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=3x (1)f(x)=3x (3)f(x)=6x(3)f(x)=6x2 2 (4)f(x)=6x(4)f(x)=6x
7、3 3-1-1(5)f(x)=2x+2a(5)f(x)=2x+2a(6)f(x)=0(-2x2)(6)f(x)=0(-2x2)20(7)()4(2)f xxx (2)()2|3f xx3.具有奇偶性的函数图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 fxf x 0fxf x 10fxfxfx 1.定义式:2.等价形式:判断方法:4.性质法:偶与偶的和差积商仍为偶;奇与奇的和差为奇,积商为偶;奇与偶的积商为奇.()(0)f xa a()0,(0)f xxm mm()()(|)f xfxfx1.非零常数函数为偶函数;为既奇又偶函数(唯一型唯一型).2.奇函数若f(x)在x=0处有定义,则必有f(0)=0.3.若函数f(x)为偶函数,则必有 结论:
