1、1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数 日出日落，寒来暑往日出日落，寒来暑往自然自然界中有许多界中有许多“按一定规律周而按一定规律周而复始复始”的现象，一个简单又基的现象，一个简单又基本的例子便是本的例子便是“圆周上一点的圆周上一点的运动运动”sincostanacaACBbcbcab初中时，我们怎样利用直角三角形定义了初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？锐角三角函数的呢？角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研
2、究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示 任意角的三角函数定义 设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则 Pyx，r02222yxyxr任意角的三角函数所在象限的课件比值叫做的正弦，记作，即rysinrysin比值叫做的余弦，记作，即rxcosrxcos定义：定义：比值叫做的正切，记作，即xytanxytan提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？P观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的把上面定义中三个比的前项、后项交换
3、，那么得到另外三个定义 kk2yPxxytan比值叫做的余切，记作，则yxcotyxcot比值叫做的正割，记作，则xrsecxrsec比值叫做的余割，记作，则yrcscyrcsc我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数三角函数是以实数为自变量的函数 角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）实数三角函数定义域y=sinxy=cosxy=tanx|2x xk三角函数的定义域三角函数的定义域RR在各象限内的角的三种三角函数值的符号xOy正弦函数Oxy余弦函数Oxy正切函数n由于角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系，由于角的集
4、合与实数集之间建立了一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数。在弧度制三角函数可以看成以实数为自变量的函数。在弧度制下，三角函数的定义域如下：下，三角函数的定义域如下：例1 已知角的终边经过，求的六个三角函数值32 ，P提问：分，两种情形讨论0a0a求的六个三角函数值呢？若将改为，32 ，PaaP32，0a如何例2（1）；（2）；（3）232求下列各角的六个三角函数值（2）函数的定义域是（）A B C D反馈训练 03，P（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）sincostancotxxycottanABCDxxxx，2RZRkkxxx，2ZRkkxxx，ZRkkxxx
5、，2（4）若角的终边过点，且，53sinmm524cosmm_m（3）若，都有意义，则8，aP53cos_a则三角函数的一种几何表示：三角函数线利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线 三角函数线三角函数线当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有：OMMPMPyyry1sinOMxxrx1cosATOAATOMMPxytan三角函数线：上图中三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.探究：当角的终边与x轴或y轴重合时，如何作出相应的三角函数线？当角的终边在
6、轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；xy当角的终边在轴上时，弦线变成一个点，正切线不存在例3 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线332（1）；（2）例4 求证：当为锐角时，tansin课堂练习（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值xy2（2）角的终边经过点，求034aaaP，sincostancot，的值sin2sinkk（3）说明的理由变式：角变式：角的终边落在直线的终边落在直线3x+2y=0上上,求求的三角函数值的三角函数值.角角的终边经过点的终边经过点(2a,-3),cos=(2a,-3),cos=求求a a的值的值.2 1313特殊角的三角函数值1503004506007509
7、00120013501500180027003600弧度数sincostanP16 练习 3，7，81 已知 ，试比较 的大小.42,tan,sin,cos2.在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围,并有此写出角的集合.(1)(2)3sin21cos2 应用举例本课小结 n利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易 n分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴n函数的几何表示：三角函数线
