高中数学必修1人教版必修一指数函数与对数函数的关系课件(54张).ppt

1、1.1.反函数的定义反函数的定义(1)(1)定义定义:如果在函数如果在函数y=f(x)y=f(x)中中,给定值域中给定值域中任意一个任意一个y y的值的值,只有唯一的只有唯一的x x与之对应与之对应,那么那么x x是是y y的函数的函数,这个函这个函数称为数称为y=f(x)y=f(x)的反函数的反函数.(2)(2)记法记法:y=f:y=f-1-1(x).(x).【思考思考】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2有反函数吗有反函数吗?为什么为什么?提示提示:没有没有.若令若令y=f(x)=1,y=f(x)=1,则则x=x=1,1,即即x x值不唯一值不唯一,不符不符合反函数的定义合反函数的定义.

2、2.2.反函数的求法反函数的求法对调对调y=f(x)y=f(x)中的中的x x与与y,y,然后从然后从x=f(y)x=f(y)中求出中求出y y得到得到.【思考思考】什么样的函数一定有反函数什么样的函数一定有反函数?提示提示:单调函数单调函数.3.3.函数与其反函数的性质的关系函数与其反函数的性质的关系(1)(1)图像图像:关于直线关于直线y=xy=x对称对称;(2)(2)定义域、值域定义域、值域:原函数的定义域与其反函数的值域原函数的定义域与其反函数的值域相同相同;原函数的值域与其反函数的定义域相同原函数的值域与其反函数的定义域相同.(3)(3)单调性单调性:原函数与其反函数的单调性相同原函

3、数与其反函数的单调性相同.【思考思考】在不求反函数解析式的情况下在不求反函数解析式的情况下,怎样求反函数的定义域、怎样求反函数的定义域、值域值域?提示提示:分别求原函数的值域、定义域分别求原函数的值域、定义域.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)一定有反函数一定有反函数.()(2)(2)反比例函数反比例函数y=y=(x0)(x0)一定有反函数一定有反函数.()(3)(3)点点(1,0)(1,0)一定在指数函数一定在指数函数y=ay=ax x反函数的图像上反函数的图像上.()

4、1x提示提示:(1).(1).一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)一定是单调函数一定是单调函数,因此一定有反函数因此一定有反函数.(2).(2).对应值域中的任意一个对应值域中的任意一个y,x=y,x=是唯一的是唯一的,符合符合反函数的定义反函数的定义.(3).(3).指数函数指数函数y=ay=ax x的反函数是对数函数的反函数是对数函数,对数函数对数函数一定过点一定过点(1,0).(1,0).1y2.2.函数函数y=logy=log3 3x x的反函数是的反函数是()A.y=-logA.y=-log3 3x xB.y=3B.y=3-x-xC.y=3C.y=3x xD.y=

5、-3D.y=-3x x【解析解析】选选C.C.因为函数因为函数y=logy=log3 3x,x0,x,x0,所以所以x=3x=3y y;交换交换x,yx,y的位置的位置,得得y=3y=3x x,所以函数所以函数y=logy=log3 3x x的反函数是的反函数是y=3y=3x x.3.3.若函数若函数f(x)=2f(x)=2x x的反函数为的反函数为f f-1-1(x),(x),则则f f-1-1(1)(1)=_.=_.【解析解析】令令2 2x x=1,=1,则则x=0,x=0,所以所以f f-1-1(1)=0.(1)=0.答案答案:0 0类型一判断函数是否有反函数类型一判断函数是否有反函数【

6、典例典例】1.1.下列函数中下列函数中,存在反函数的是存在反函数的是()2.2.判断下列函数是否有反函数判断下列函数是否有反函数.(1)f(x)=(1)f(x)=;(2)g(x)=x;(2)g(x)=x2 2-2x.-2x.【思维思维引引】根据反函数的定义判断根据反函数的定义判断.x1x1【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为f(x)=1f(x)=1时时,x,x为任意的正实数为任意的正实数,即对即对应的应的x x不唯一不唯一,因此因此f(x)f(x)的反函数不存在的反函数不存在;因为因为g(x)=1g(x)=1时时,x,x为任意的有理数为任意的有理数,即对应的即对应的x x不唯一不唯一,因此

7、因此g(x)g(x)的反函数不存在的反函数不存在;因为因为h(x)=2h(x)=2时时,x=2,x=2或或x=5,x=5,即对应的即对应的x x不唯一不唯一,因此因此h(x)h(x)的反函数不存在的反函数不存在;因为因为l(x)(x)的值域的值域-2,-1,0,3,4-2,-1,0,3,4 中任意一个值中任意一个值,都只有都只有唯一的唯一的x x与之对应与之对应,因此因此l(x)(x)的反函数存在的反函数存在.2.(1)2.(1)令令y=f(x),y=f(x),因为因为y=,y=,是由反比例函数是由反比例函数y=y=向右平移一个单位向右平移一个单位,向上平移一个单位得到向上平移一个单位得到,在

8、在(-,1),(1,+)(-,1),(1,+)上都是减函数上都是减函数,因此任意给定值域中因此任意给定值域中的一个值的一个值,只有唯一的只有唯一的x x与之对应与之对应,所以所以f(x)f(x)存在反函数存在反函数.(2)(2)令令g(x)=3,g(x)=3,即即x x2 2-2x-3=0,-2x-3=0,解得解得x=-1x=-1或或x=3,x=3,即对应的即对应的x x不唯一不唯一,因此因此g(x)g(x)的反函数不存在的反函数不存在.x121x1x1 2x【内化内化悟悟】怎样说明函数的反函数不存在怎样说明函数的反函数不存在?提示提示:选取值域中的一个值选取值域中的一个值y,y,求出对应的自

9、变量的值求出对应的自变量的值x,x,当自变量的值不唯一时当自变量的值不唯一时,函数的反函数不存在函数的反函数不存在.【类题类题通通】判定函数存在反函数的方法判定函数存在反函数的方法(1)(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值,如果如果都是唯一的都是唯一的,则函数的反函数存在则函数的反函数存在.(2)(2)确定函数在定义域上的单调性确定函数在定义域上的单调性,如果函数是单调函如果函数是单调函数数,则函数的反函数存在则函数的反函数存在.(3)(3)利用原函数的解析式利用原函数的解析式,解出自变量解出自变量x,x,如果如果x x是唯一的是唯一的,则函数的反

10、函数存在则函数的反函数存在.【习练习练破破】判断下列函数是否存在反函数判断下列函数是否存在反函数.(1)y=(1)y=-2.(2)y=-2x-2.(2)y=-2x2 2+4x,x(1,+).+4x,x(1,+).1x1【解析解析】(1)y=-2(1)y=-2是由函数是由函数y=y=向左平移向左平移1 1个单位个单位,向下平移向下平移2 2个单位得到个单位得到,在在(-,-1),(-1,+)(-,-1),(-1,+)上是减函上是减函数数,因此任意给定值域中的一个值因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的只有唯一的x x值与之值与之对应对应,所以函数存在反函数所以函数存在反函数.1x11x(2)y=

11、-2x(2)y=-2x2 2+4x=-2(x-1)+4x=-2(x-1)2 2+2,+2,对称轴为对称轴为x=1,x=1,在在(1,+)(1,+)上上是减函数是减函数,因此任意给定值域中的一个值因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的只有唯一的x x值与之对应值与之对应,所以函数存在反函数所以函数存在反函数.【加练加练固固】判断函数判断函数y=y=|x|x|的反函数是否存在的反函数是否存在.【解析解析】y=1,y=1,即即|x|=1|x|=1,解得解得x=x=1,1,即对应的即对应的x x不唯一不唯一,因此因此f(x)f(x)的反函数不存在的反函数不存在.类型二求函数的反函数类型二求函数的反函数

12、【典例典例】1.1.函数函数y=y=+1(x1)+1(x1)的反函数是的反函数是 ()A.y=xA.y=x2 2-2x+2(x1)-2x+2(x1)B.y=xB.y=x2 2-2x+2(x1)-2x+2(x1)C.y=xC.y=x2 2-2x(x1)-2x(x1)D.y=xD.y=x2 2-2x(x1)-2x(x1)x12.2.函数函数f(x)=f(x)=的反函数是的反函数是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号22x,x0,x,x0 11x,x02A.fxx,x0 x,x02B.fxx,x0 112x,x0C.fxx,x02x,x0D.fxx,x0【思维思维引引】按照求反函数的步骤求反函数按照求反

13、函数的步骤求反函数.【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为y=+1(x1),y=+1(x1),所以所以y1,y1,对调其中的对调其中的x x和和y,y,得得x=+1,x=+1,解得解得y=xy=x2 2-2x+2(x1).-2x+2(x1).x1y 12.2.选选B.B.令令y=f(x)=y=f(x)=当当x0 x0时时,y=2x0,y=2x0,对调其中的对调其中的x x和和y,y,得得x=2y,x=2y,解得解得y=y=,所以所以f f-1-1(x)=(x)=,x0;,x0;当当x0 x0时时,y=-x,y=-x2 20,0,对调其中的对调其中的x x和和y,y,得得x=-yx=-y2 2

14、,解得解得y=-y=-,22x,x0,x,x0,x2x2x所以所以f f-1-1(x)=-(x)=-,x0.,x0,a1)(x-1)(a0,a1)的反函数的的反函数的图像过定点图像过定点世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.(0,2)A.(0,2)B.(2,0)B.(2,0)C.(0,3)C.(0,3)D.(3,0)D.(3,0)【思维思维引引】利用原函数与反函数的图像关于利用原函数与反函数的图像关于y=xy=x对称对称求点求点.【解析解析】选选A.A.函数函数f(x)=logf(x)=loga a(x-1)(x-1)恒过恒过(2,0),(2,0),函数和函数和它的反函数关于它的反函数关于y=x

15、y=x对称对称,那么那么(2,0)(2,0)关于关于y=xy=x的对称点是的对称点是(0,2),(0,2),即即(0,2)(0,2)为反函数图像上的定点为反函数图像上的定点.【类题类题通通】1.1.定义域、值域关系的应用定义域、值域关系的应用原函数的定义域是反函数的值域原函数的定义域是反函数的值域,值域是反函数的定义值域是反函数的定义域域,在求值的过程中在求值的过程中,可以利用这一关系可以利用这一关系,转化已知函数转化已知函数的求值的求值,不必求出反函数或原函数不必求出反函数或原函数.2.2.图像的应用图像的应用原函数的图像与反函数的图像关于直线原函数的图像与反函数的图像关于直线y=xy=x对

16、称对称,点点P(x,y)P(x,y)关于关于y=xy=x的对称点是的对称点是P P1 1(y,x),(y,x),利用这一关系可以利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上,直接求点直接求点或求值或求值.【习练习练破破】1.1.设函数设函数f(x)=2lg(2x-1),f(x)=2lg(2x-1),则则f f-1-1(0)(0)的值为的值为 ()A.0A.0B.1B.1C.10C.10D.D.不存在不存在【解析解析】选选B.B.令令f(x)=0f(x)=0得得:2lg(2x-1)=02lg(2x-1)=0 x=1,x=1,所以所以f f-1-1(

17、0)=1.(0)=1.2.2.设函数设函数f(x)=logf(x)=loga a(x+b)(a0,a1)(x+b)(a0,a1)的图像过点的图像过点(2,1),(2,1),其反函数的图像过点其反函数的图像过点(2,8),(2,8),则则a+ba+b等于等于()A.6A.6B.5B.5C.4C.4D.3D.3【解析解析】选选C.C.函数函数f(x)=logf(x)=loga a(x+b)(a0,a1)(x+b)(a0,a1)的的图像过点图像过点(2,1),(2,1),其反函数的图像过点其反函数的图像过点(2,8),(2,8),则则 所以所以 a=3a=3或或a=-2(a=-2(舍舍),b=1,)

18、,b=1,所以所以a+b=4.a+b=4.aalog2b1log8b2，22ba8ba，【加练加练固固】设函数设函数f(x)f(x)的图像关于点的图像关于点(1,2)(1,2)对称对称,且存在反函数且存在反函数f f-1-1(x),(x),若若f(4)=0,f(4)=0,则则f f-1-1(4)=(4)=()A.0A.0B.4B.4C.-2C.-2D.2D.2【解析解析】选选C.C.根据题意可知点根据题意可知点(4,0)(4,0)在函数在函数f(x)f(x)的图像的图像上上,结合图像的对称性结合图像的对称性,可知点可知点(-2,4)(-2,4)在函数的图像上在函数的图像上,所以有所以有f(-2)=4,f(-2)=4,所以有所以有f f-1-1(4)=-2.(4)=-2.