高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课件北师大版.pptx

1、第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量学习目标1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一空间向量的概念类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.答案若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？一定相同.因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同.答案思考2梳理梳理空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有 又有 的量，叫作空间向量.(

2、2)长度：空间向量的大小叫作向量的 或 .(3)表示法(4)自由向量：与向量的起点无关的向量.大小方向长度模有向线段知识点二空间向量的夹角思考在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？0或.答案梳理梳理间向量的夹角(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作 a，b，则 叫作向量a与向量b的夹角，记作 .(2)图形表示：角度表示a，b_a，b是_AOBa，b0锐角a，b是_a，b是_a，b_直角钝角(3)范围：a，b .(4)空间向量的垂直：如果a，b ，那么称a与b互相垂直，记作 .0ab知识点三向量与直线、平面1.向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空

3、间直线的方向.如图所示.l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 为直线l的 向量，显然，与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量 于该直线.方向平行2.向量与平面如图，如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的 .法向量题型探究类型一有关空间向量的概念的理解 例例1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 ；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是A.1B.2C.3D.4答案解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确

4、；若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确；显然正确.故选B.在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.反思与感悟 答案解析A.1 B.2C.3 D.4(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？解答试写出模为 的所有向量；解答试写出与向量 相等的所有向量；解答试写出向量 的所有相反向量.解答类型二求空间向量的夹角例例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

5、求下列各对向量的夹角：解答解答解答引申探究引申探究解答如图，连接B1C，则B1CA1D，在ACB1中，因为ACAB1B1C，求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2 答案解析取AB的中点O，连接OC，OD，易得OCAB，ODAB.故AB平面OCD，又CD平面OCD，所以ABCD.类型三直线的方向向量与平面法向量的理解例例3已知正四面体ABCD.(1)过点A作出方向向量为 的空间直线；解答如图，过点A作直线AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为 的空间直线.(2)过点A作出平面

6、BCD的一个法向量.解答如图，取BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量 可作为平面BCD的一个法向量.直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行.给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.解答取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PM綊DC綊AB.所以四边形APMB为平行四边形，所以AP綊BM.又在

7、四边形BQC1M中，BQ綊C1M，所以四边形BQC1M为平行四边形，所以BM綊C1Q，当堂训练234511.下列命题中，正确的是A.若|a|b|，则a与b共线B.若|a|b|，则abC.若ab，则|a|b|D.若ab，则a与b不共线模相等，方向不确定，向量不一定共线，故A错误.向量不能比较大小，故B错误.向量不相等，但方向可以相同或相反，所以不相等的向量可以共线，故D错误.因此C正确.答案解析234512.以长方体ABCDA1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中，能作为直线BB1的方向向量的个数为A.8 B.7 C.6 D.5答案解析234513.若把空间中所有单位向量的起点放置于同

8、一点，则这些向量的终点构成的图形为_.这些向量的终点到起点的距离均为1，且起点相同，故终点构成的图形是球面.答案解析球面234514.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱的长分别为1，2，3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量个数为_.研究长方体的模型可知，所有顶点两两相连得到的线段中，长度为1的线段只有4条，故模为1的向量有8个.答案解析8234515.在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_.(填序号)答案规律与方法在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可.给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.本课结束