1、第二课时集合的表示第二课时集合的表示 目标导航目标导航 课标要求课标要求1.1.掌握集合的两种常用表示方法掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法列举法和描述法).).2.2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列列举法和描述法举法和描述法)描述不同的具体问题描述不同的具体问题,感受集合语言的感受集合语言的意义和作用意义和作用.素养达成素养达成通过对集合表示方法的学习通过对集合表示方法的学习,使学生在运用集合表示方使学生在运用集合表示方法的过程中法的过程中,提高数学抽象、逻辑运算的核心素养提高数学抽象、逻辑运算的核心素养.新知导学新知导学素养
2、养成素养养成1.1.列举法列举法列举法列举法:把集合的元素把集合的元素 出来出来,并用花括号并用花括号“”括起括起来表示集合的方法来表示集合的方法.一一列举一一列举思考思考1:1:用列举法表示集合应注意什么用列举法表示集合应注意什么?答案答案:在用列举法表示集合时应注意在用列举法表示集合时应注意:(1)(1)元素间用分隔号元素间用分隔号“,”;(2),”;(2)元素不重复元素不重复;(3);(3)元素无顺序元素无顺序;(4);(4)列举法可列举法可表示有限集表示有限集,也可以表示无限集也可以表示无限集.2.2.描述法描述法用集合所含元素的用集合所含元素的 表示集合的方法表示集合的方法.共同特征
3、共同特征思考思考2:2:我们知道我们知道,R R表示全体实数集合表示全体实数集合,那么那么R R=全体实数集全体实数集=R R=x|x=x|xR R 是否正确是否正确?答案答案:不正确不正确,由于由于R R表示全体实数构成的集合表示全体实数构成的集合,而而“”这个符号已经这个符号已经含有含有“所有所有”的含义了的含义了,如果将全体实数集表示为如果将全体实数集表示为 全体实数集全体实数集 就是重就是重复表述复表述,应改为应改为 实数实数,而而 R R 表示只含有实数集的集合表示只含有实数集的集合,它也可以理解为它也可以理解为该集合只有一个元素该集合只有一个元素;因此因此R RR R.而而x|xx
4、|xR R 表示全体实数构成的集合表示全体实数构成的集合,因此因此R R=x|x=x|xR R,但表述不如但表述不如R R简单简单,因此表示实数集时常用因此表示实数集时常用R R而不用而不用x|xx|xR R.思考思考3:3:集合集合A=x|x2A=x|x2与与B=t|t2B=t|t2是否表示同一个集合是否表示同一个集合?答案答案:是是.虽然表示代表元素的字母不同虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于但都表示由大于2 2的所有实数组的所有实数组成的集合成的集合,因而表示同一个集合因而表示同一个集合.思考思考4:4:用描述法表示集合应注意什么用描述法表示集合应注意什么?答案答案:用描述法表示
5、集合时应注意的四点用描述法表示集合时应注意的四点(1)(1)写清楚该集合中元素的代号写清楚该集合中元素的代号;(2)(2)说明该集合中元素的性质说明该集合中元素的性质;(3)(3)所有描述的内容都可写在集合符号内所有描述的内容都可写在集合符号内;(4)(4)在描述法的一般形式在描述法的一般形式xI|p(x)xI|p(x)中中,“x x”是集合中元素的代表形式是集合中元素的代表形式,I,I是是x x的范围的范围,“p(x)p(x)”是集合中元素是集合中元素x x的共同特征的共同特征,竖线不可省略竖线不可省略,也不能出也不能出现未被说明的字母现未被说明的字母.名师点津名师点津集合两种表示方法的区别
6、与联系集合两种表示方法的区别与联系:由于集合的两种常用表示法中列举法可以看清集合的元素由于集合的两种常用表示法中列举法可以看清集合的元素,描述法可描述法可以看清集合元素的特征以看清集合元素的特征.因此在表示集合时因此在表示集合时,要依据对象的特点或个要依据对象的特点或个数的多少采用适当的形式数的多少采用适当的形式,当集合中元素个数较少或集合中元素呈现当集合中元素个数较少或集合中元素呈现一定的规律性时一定的规律性时,一般采用列举法一般采用列举法;当集合中元素的共同特征简明清当集合中元素的共同特征简明清晰且易于表述时晰且易于表述时,常采用描述法常采用描述法.大多数集合既可用列举法表示大多数集合既可
7、用列举法表示,也可也可用描述法表示用描述法表示,两种方法可用两种方法可用表格对比如下表格对比如下:表示表示方法方法定义定义表达表达形式形式适用适用对象对象表现表现重点重点特点特点列列举举法法把集合中的所有把集合中的所有元素一一列举出元素一一列举出来来,并置于花括号并置于花括号“”内 的内 的方法方法如如1,2,1,2,3,4,53,4,5元素个数元素个数不多不多;元元素个数多但素个数多但有规律有规律集合集合外延外延直观、直观、明了明了描描述述法法用集合中元素的用集合中元素的共同特征表示集共同特征表示集合的方法合的方法x|p(x)x|p(x)元素的特征元素的特征清晰清晰集合集合内涵内涵抽象、抽象
8、、概括概括从表格可以看出从表格可以看出,变换表示集合的两种方法时重点在于对元素特征的变换表示集合的两种方法时重点在于对元素特征的提炼及具体元素的寻找提炼及具体元素的寻找.课堂探究课堂探究素养提升素养提升题型一列举法表示集合的理解题型一列举法表示集合的理解 例例11 用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合:(1)(1)小于小于1010的所有自然数组成的集合的所有自然数组成的集合;(2)(2)方程方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合;解解:(1)(1)设小于设小于1010的所有自然数组成的集合为的所有自然数组成的集合为A,A,那么那么A=0,1,2,3,4,5,6
9、,7,8,9.A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)(2)设方程设方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合为的所有实数根组成的集合为B,B,那么那么B=0,1.B=0,1.(3)(3)不等式不等式5x-33x+75x-33x+7的解集中的正整数组成的集合的解集中的正整数组成的集合;(4)(4)两边分别在坐标轴的负半轴上两边分别在坐标轴的负半轴上,且边长为且边长为1 1的正方形的顶点构成的的正方形的顶点构成的集合集合.解解:(3)(3)不等式不等式5x-33x+75x-33x+7的解为的解为x5.x2.n2.(2)(2)所有被所有被3 3除余除余2 2的偶数构成的集合的偶数构成
10、的集合B=x|x=3n+2,nB=x|x=3n+2,n为偶数为偶数 或或B=x|x=B=x|x=3n+2,n=2k,k3n+2,n=2k,kZ Z.(3)(3)坐标平面内第一象限点的集合为坐标平面内第一象限点的集合为C C1 1=(x,y)|x0,y0;y=(x,y)|x0,y0;y轴右侧点轴右侧点的集合为的集合为C C2 2=(x,y)|x0.=(x,y)|x0.(4)(4)分别写出一次函数分别写出一次函数y=2x+1y=2x+1图象上所有点的横坐标、图象上所有点的图象上所有点的横坐标、图象上所有点的坐标、图象上去掉点坐标、图象上去掉点(1,3),(5,11)(1,3),(5,11)后的点构
11、成的集合后的点构成的集合”.解解:(4)(4)一次函数一次函数y=2x+1y=2x+1图象上所有点的横坐标构成的集合为图象上所有点的横坐标构成的集合为D D1 1=x|y=2x+1;x|y=2x+1;一次函数一次函数y=2x+1y=2x+1的图象上所有点构成的集合的图象上所有点构成的集合D D2 2=(x,=(x,y)|y=2x+1;y)|y=2x+1;一次函数一次函数 y=2x+1y=2x+1图象上去掉点图象上去掉点(1,3),(5,11)(1,3),(5,11)后的点构成后的点构成的集合的集合D D3 3=(x,y)|y=2x+1,x1=(x,y)|y=2x+1,x1且且x5.x5.方法技
12、巧方法技巧用描述法表示集合时首先要明确集合的代表元素是数集、点集还是其用描述法表示集合时首先要明确集合的代表元素是数集、点集还是其他元素他元素,明确集合中元素的形式后明确集合中元素的形式后,再将集合中所有元素的公共特征写再将集合中所有元素的公共特征写在竖线的右边在竖线的右边.备用例备用例1 1 用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合.(1)(1)三角形的全体构成的集合三角形的全体构成的集合;(2)(2)不等式不等式2x-352x-35的解组成的集合的解组成的集合;(3)(3)如图中阴影部分的点如图中阴影部分的点(含边界含边界)的集合的集合;(4)3(4)3和和4 4的所有正的公倍数构成的集合
13、的所有正的公倍数构成的集合.解解:(1)x|x(1)x|x是三角形是三角形.(2)(2)不等式不等式2x-352x-35的解组成的集合可表示为的解组成的集合可表示为x|2x-35,x|2x-35,即即x|x4.x|x4.(4)3(4)3和和4 4的最小公倍数是的最小公倍数是12,12,因此因此3 3和和4 4的正的最小公倍数构成的集合是的正的最小公倍数构成的集合是x|x=12n,nx|x=12n,nN N*.题型三集合表示方法的应用题型三集合表示方法的应用方法技巧方法技巧本题所给两个集合虽然形式上有相似之处本题所给两个集合虽然形式上有相似之处,但由于代表元素的不同但由于代表元素的不同,集集合合
14、M M是求是求x x的值的值,而集合而集合N N是在是在xxN N的限制之下的限制之下,求求8 8的正约数构成的集合的正约数构成的集合.另外另外,将用描述法表示的集合用列举法表示时将用描述法表示的集合用列举法表示时,要注意集合中代表元素要注意集合中代表元素为数集时的限制为数集时的限制,如本题中如本题中,要注意要注意xxZ Z与与xxN N的不同的不同.解析解析:序号序号判断判断原因分析原因分析否否中含两个元素中含两个元素,且都是式子且都是式子,而方程组的解集中只有一个元而方程组的解集中只有一个元素素,是一个点是一个点能能代表元素是点的形式代表元素是点的形式,且对应值与方程组解相同且对应值与方程
15、组解相同否否中含两个元素中含两个元素,是数集是数集,而方程组的解集是点集而方程组的解集是点集,且只有一个且只有一个元素元素否否没有用花括号没有用花括号“”括起来括起来,不表示集合不表示集合能能中只含有一个元素中只含有一个元素,是点集且与方程组解对应相等是点集且与方程组解对应相等否否 中 代 表 元 素 与 方 程 组 解 的 一 般 形 式 不 符 中 代 表 元 素 与 方 程 组 解 的 一 般 形 式 不 符,须 加 小 括须 加 小 括号号(),),条件中条件中“或或”也要改为也要改为“且且”答案答案:(2)(2)自然数的平方组成的集合自然数的平方组成的集合;(3)(3)一个数的平方等
16、于其本身构成的集合一个数的平方等于其本身构成的集合.解解:(2)(2)自 然 数 的 平 方 用 列 举 法 表 示 为自 然 数 的 平 方 用 列 举 法 表 示 为 0,1 0,12 2,2,22 2,3,32 2,也可以用描述法表示为也可以用描述法表示为x|x=nx|x=n2 2,n,nN N.(3)(3)一个数的平方等于其本身用描述法表示为一个数的平方等于其本身用描述法表示为x|xx|x2 2=x,=x,也可以用列举也可以用列举法表示为法表示为0,1.0,1.题型四易错辨析题型四易错辨析 例例44 集合集合A=x|mxA=x|mx2 2-4x+2=0-4x+2=0中只有一个元素中只有
17、一个元素,则实数则实数m m的值为的值为()(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)0(D)0或或2 2错解错解:因为集合因为集合A=x|mxA=x|mx2 2-4x+2=0-4x+2=0中只有一个元素中只有一个元素,所以方程所以方程mxmx2 2-4x+-4x+2=02=0只有一个根只有一个根,所以所以=16-8m=0,=16-8m=0,所以所以m=2.m=2.故选故选C.C.纠错纠错:由于方程由于方程mxmx2 2-4x+2=0-4x+2=0不一定是二次方程不一定是二次方程,因此要对因此要对m m的取值进行的取值进行讨论讨论.学霸经验分享区学霸经验分享区(1)(1)集合表示的
18、要求集合表示的要求:根据要表示的集合元素的特点根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合选择适当方法表示集合,一般要符合一般要符合最简原则最简原则;一般情况下一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以描述法既可以表示元素个数无限的集合表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合也可以表示元素个数有限的集合.(2)(2)在用描述法表示集合时应注意在用描述法表示集合时应注意:弄清元素所具有的形式弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么即代表元素是什么),),是数、还是有序实数是数、还是有序实数对对(点点)、还是集合或其他形式、还是集合
19、或其他形式;元素具有怎样的属性元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时属性时,要去伪存真要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑而不能被表面的字母形式所迷惑.如如P=x|y=x+P=x|y=x+1,Q=y|y=3x,1,Q=y|y=3x,虽然两集合代表元素与元素属性不相同虽然两集合代表元素与元素属性不相同,但两集合都但两集合都表示表示R R.课堂达标课堂达标C C1.1.下列语句下列语句:0 0与与00表示同一个集合表示同一个集合;由由1,2,31,2,3组成的集合可表示为组成的集合可表示为1,2,31,2,3或或3,2,1;3,2
20、,1;方程方程(x-1)(x-1)2 2(x-2)(x-2)2 2=0=0的所有解的集合可表示为的所有解的集合可表示为1,1,2;1,1,2;集合集合x|4x5x|4x5可以用列举法表示可以用列举法表示.正确的是正确的是()(A)(A)只有和只有和(B)(B)只有和只有和(C)(C)只有只有(D)(D)以上语句都不对以上语句都不对解析解析:错误错误,由集合中元素的互异性知错误由集合中元素的互异性知错误,集合是无限集集合是无限集,不能不能列举列举,故错误故错误,只有正确只有正确.B B2.2.用列举法表示集合用列举法表示集合x|xx|x2 2-2x+1=0-2x+1=0为为()(A)1,1(A)
21、1,1(B)1(B)1(C)x=1(C)x=1(D)x(D)x2 2-2x+1=0-2x+1=0解析解析:方程方程x x2 2-2x+1=0-2x+1=0可化简为可化简为(x-1)(x-1)2 2=0,=0,所以所以x x1 1=x=x2 2=1,=1,故方程故方程x x2 2-2x+1=0-2x+1=0的解集为的解集为1.1.C C3.3.集合集合A=xA=x2 2,3x+2,5y,3x+2,5y3 3-x,B=-x,B=周长为周长为20 cm20 cm的三角形的三角形,C=x|x-32,x,C=x|x-32,xQ Q,D=(x,y)|y=x,D=(x,y)|y=x2 2-x-1.-x-1.
22、其中用描述法表示的集合的个数为其中用描述法表示的集合的个数为()(A)1(A)1个个(B)2(B)2个个(C)3(C)3个个(D)4(D)4个个解析解析:集合集合A A为列举法为列举法,集合集合B,C,DB,C,D均为描述法表示集合均为描述法表示集合,其中集合其中集合B B省略省略了代表元素和竖线了代表元素和竖线.D D4.4.设设A=xA=xN N|1x6,|1x6,则下列正确的是则下列正确的是()(A)6A(A)6A (B)0A (B)0A(C)3(C)3 A A (D)3.5 (D)3.5 A A解析解析:集合集合A A用列举法表示为用列举法表示为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,因此选因此选D.D.5.5.若若A=-2,2,3,4,B=x|x=tA=-2,2,3,4,B=x|x=t2 2,tA,tA,用列举法表示用列举法表示B,B,则集合则集合B B中元素中元素有有个个.解析解析:由于集合由于集合A=-2,2,3,4,B=x|x=tA=-2,2,3,4,B=x|x=t2 2,tA,tA,因此当因此当t=-2,2,3,4t=-2,2,3,4时时,x=4,4,9,16,x=4,4,9,16,即集合即集合B=4,9,16.B=4,9,16.答案答案:3 3
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