隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数课件.ppt

1、导数与微分1一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义:.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.导数与微分2例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxe

2、xyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 导数与微分3练习练习求由下列方程所确定的函数的导数求由下列方程所确定的函数的导数.解解得得整理得整理得解得解得.0)cos(sin yxxy0)1()sin(sincos dxdyyxdxdyxxy在题设方程两边同时对自变量在题设方程两边同时对自变量求导求导,xxyyxdxdyxyxcos)sin(sin)sin(.sin)sin(cos)sin(xyxxyyxdxdy 导数与微分4例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上

3、求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.导数与微分5练习练习解解在题设方程两边同时对自变量在题设方程两边同时对自变量x求导求导,得得解得解得求由方程求由方程所确定的函数所确定的函数1ln yxy在点在点处的切线方程处的切线方程.)(xfy )1,1(M01 yyxyy12 xyyy在点在点处处)1,1(M1111211 yxy21 于是于是

4、,在点在点处的切线方程为处的切线方程为)1,1(M)1(211 xy即即.032 yx导数与微分6例例3 3.)1,0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代入代入.16110 yxy导数与微分7练习练习 求由下列方程所确定的函数的二阶导数求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解解).ln()(2yxyxxy ,1)()ln()1(2yxyyxyxyy

5、 )ln(211yxy )ln(21)(yxyy2)ln(2)ln(2yxyx 2)ln(2)(1yxyxy 代入代入 y.)ln(2)(13yxyx 导数与微分8二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu导数与微分9例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数

6、得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设导数与微分10例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 导数与微分11一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)(

7、)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 导数与微分12练习练习解解在题设等式两边取对数在题设等式两边取对数等式两边对等式两边对x求导求导,得得解得解得设设,)(sin)(cosyxxy 求求.yxyyxsinlncosln.sincossinlncossincoslnxxyxyyyyxy .sinlntancotcoslnxyxxyyy 导数与微分13练习练习解解求导数求导数.xxxxxxy ,lnlnxxxxxeexy )ln()ln(1lnlnxxexxeyxxxxxx )1(ln1 xxx)1(ln1 xxx)(lnln)(xxxxxxxxx .l

8、n)1(ln1 xxxxxxxxx导数与微分14三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t导数与微分15),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合

9、函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx导数与微分16练习练习所表示所表示解解求由参数方程求由参数方程 )1ln(arctan2tytx的函数的函数的导数的导数.)(xyy dtdxdtdydxdy 221112ttt .2t 导数与微分17例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax导数与微分18 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、皮

10、肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如症状表现如下：下：1、早期皮肌炎患者，还往往伴、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如有全身不适症状，如-全身肌肉酸全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。力。皮肌炎图片皮肌炎图片皮肌炎的症状表现皮肌炎的症状表现.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为

11、所求切线方程为)12(axay)22(axy即即导数与微分20例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt导数与微分21)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000

12、 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 导数与微分22,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即导数与微分23例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数

13、的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 导数与微分24练习练习解解求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程 )cos1()sin(tayttax所表示的函数所表示的函数的二阶导数的二阶导数.)(xyy dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin ),2(Znnt dxdydxddxyd22 ttdxdcos1sindtdxttdtd1cos1sin 2)cos1(1)cos

14、1(1cos11tatat 导数与微分25四、相关变化率四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?导数与微分26例例9 9解解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时当气球高度为当气球高度为

15、秒秒米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升,ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14.0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500导数与微分27例例1010解解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流

16、入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV小时小时米米/104.0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h导数与微分28五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导按隐函数的求导法则求导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实

17、质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链式用链式求导法求解求导法求解.导数与微分29思考题思考题设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)(t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？导数与微分30思考题解答思考题解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 导数与微分31一、一、填空题：填空题：1 1、设设01552223 yxyyxx确定了确定了y是是x的函的函数，则数，则)1,1(dxdy=_=_，22dxy

18、d_._.2 2、曲线曲线733 xyyx在点在点（1 1，2 2）处的切线方程）处的切线方程是是_._.3 3、曲线曲线 ttyttxsincos在在2 t处的法线方程处的法线方程_._.4 4、已知已知 teytexttsincos,则则dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、设设yxexy ,则则dxdy=_.=_.练练 习习 题题导数与微分32二、二、求下列方程所确定的隐函数求下列方程所确定的隐函数 y y 的二阶导数的二阶导数22dxyd：1 1、yxey 1；2 2、)tan(yxy ；3 3、yxxy )00(yx，.三、三、用对数求导法则求下列函数的导数：用对数求导

19、法则求下列函数的导数：1 1、2xxy ；2 2、54)1()3(2 xxxy；3 3、xexxy 1sin.导数与微分33四、四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1 1、tbytaxsincos ；2 2、)()()(tftf tytfx 设设)(tf 存在且不为零存在且不为零.五、五、求由参数方程求由参数方程 ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的所确定的函数的 三阶导数三阶导数33dxyd.六、设六、设)(xf满足满足xxfxf3)1(2)(，求，求)(xf .导数与微分34七、七、在中午十二点正甲船的在中午十二点正甲船的

20、6 6 公里公里/小时的速率向东行小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北驶，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/小时的速小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？少？八、八、注入水深注入水深 8 8 米，上顶直径米，上顶直径 8 8 米的正圆锥形容器中，米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟 4 4 立方米，当水深为立方米，当水深为 5 5 米时，其表米时，其表面上升的速率为多少？面上升的速率为多少？导数与微分35一、一、1 1、34,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx；2 2、0231

21、1 yx 3 3、022 yx；4 4、32,sincoscossin tttt；5 5、yxyxexye .二、二、1 1、32)2()3(yyey ；2 2、-)(tan)(csc232yxcyx ；3 3、322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.练习题答案练习题答案导数与微分36三、三、1 1、)1ln2(12 xxx；2 2、1534)2(21)1()3(254 xxxxxx；3 3、)1(2cot11sin21xxxeexxexx .四、四、1 1、tab32sin；2 2、)(1tf .五、五、3481tt .六、六、212x.七、七、-2.8(-2.8(公里公里/小时小时).).八、八、204.02516 (米米/分分).).导数与微分37