多元线性回归方程建立课件.ppt

1、School of Microelectronicsand Solid-State Electronics1优化试验设计与数据分析本章主要内容本章主要内容 一元线性回归方程度建立、显著性检验、预报和控制。非一元线性回归方程度建立、显著性检验、预报和控制。非线性回归方程的线性化。线性回归方程的线性化。多元线性回归方程建立、显著性检验、偏回归平方和。多元线性回归方程建立、显著性检验、偏回归平方和。回归分析法在试验设计中的作用和地位。回归分析法在试验设计中的作用和地位。正交多项式回归设计及回归方程的建立。正交多项式回归设计及回归方程的建立。School of Microelectronicsand

2、Solid-State Electronics2第五章 回归分析方法5.1 一元线性回归5.1.1 引言变量之间的关系变量之间的关系确定关系确定关系相 关 关 系相 关 关 系2rS 确定性关系确定性关系身高和体重身高和体重相关关系相关关系相关关系的特征是相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来种精确的方法表示出来.School of Microelectronicsand Solid-State Electronics3 3第五章 回归分析方法 十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿研究发现：其中x表示父亲身高，y 表示成年儿子的身高（单位：英寸，1

3、英寸=2.54厘米）。这表明子代的平均高度有向中心回归的意思，使得一段时间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了数理统计的其它分支中。33.730.516yxSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics4 4第五章 回归分析方法 回归分析便是研究变量间相关关系的一门学科。它通过对客观事物中变量的大量观察或试验获得的数据，去寻找隐藏在数据背后的相关关系，给出它们的表达形式回归函数的估计。变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表示，但在平均意义下有一定的定量关系表达式，寻找这种定量关系表达式就是回归分析的主要任务。回归分析处理

4、的是变量与变量间的关系。变量间常见的关系有两类：确定性关系与相关关系。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics5 5第五章 回归分析方法根据相关关系的程度划分 1、不相关。如果变量间彼此的数量变化互相独立，则其关系为不相关。自变量x变动时，因变量y的数值不随之相应变动。例如，产品税额的多少与工人的出勤率、家庭收入多少与孩子的多少之间都不存在相关关系。2、完全相关。如果一个变量的变化是由其他变量的数量变化所唯一确定，此时变量间的关系称为完全相关。即因变量y的数值完全随自变量x的变动而变动，它在相关图上表现为所有的观察点都落在同一条

5、直线上，这种情况下，相关关系实际上是函数关系。所以，函数关系是相关关系的一种特殊情况。3、不完全相关。如果变量间的关系介于不相关和完全相关之间，则称为不完全相关。如妇女的结婚年龄与受教育程度之间的一种关系。大多数相关关系属于不完全相关，是统计研究的主要对象School of Microelectronicsand Solid-State Electronics6 6第五章 回归分析方法回归分析所能解决的问题回归分析主要解决以下几方面的问题：（1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出她们之间合适的数学表达式（2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一个变量的取值，并且要知道这

6、种预报或控制的精确度（3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之间的相互关系等等School of Microelectronicsand Solid-State Electronics7 7第五章 回归分析方法一元线性回归分析，只要解决：（1）求变量x与y之间的回归直线方程（2）判断变量x和y之间是否确为线性关系（3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量的取值School of Microelectronicsand Solid-State Electronics8第五章 回归分析方法案例某钢厂生产的某种合金钢有两个重要的质量指标：抗拉强度(kg/mm2)和延伸率(%)。该合金钢的质量标准要

7、求：抗拉强度应大于32kg/mm2；延伸率应大于33%。根据冶金学的专业知识和实践经验，该合金钢的含碳量是影响抗拉强度和延伸率的主要因素。其中含碳量高，则抗拉强度也就会相应提高，但与此同时延伸率则会降低。为降低生产成本，提高产品质量和竞争能力，该厂质量控制部门要求该种合金钢产品的上述两项质量指标的合格率都应达到99%以上。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics9第五章 回归分析方法如何制订含碳量的控制标准？为达到以上质量控制要求，就需要制定该合金钢冶炼中含碳量的工艺控制标准，也即要确定在冶炼中应将含碳量控制在什么范围内，可以有

8、99%的把握使抗拉强度和延伸率这两项指标都达到要求。这是一个典型的产品质量控制问题，可以使用回归分析方法求解。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics10第五章 回归分析方法5.1.2 一元线性回归方程的确定iy(1,2,.,)xyxyiN数学上判定直线合理的原则：如果直线与全部观测数据的离差平方和，比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小，该直线就是代表 与 之间关系较为合理的一条直线，这条直线就是 和 之间的回归直线。School of Microelectronicsand Solid-State Electronic

9、s11第五章 回归分析方法 例1 合金的强度y(107Pa)与合金中碳的含量x(%)有关。为研究两个变量间的关系。首先是收集数据，我们把收集到的数据记为(xi,yi),i=1,2,n。本例中，我们收集到12组数据，列于表中 进行回归分析首先是回归函数形式的选择。当只有一个自变量时，通常可采用画散点图 的方法进行选择。0.1420.11430.12450.13450.14450.1547.50.16490.17530.18500.2550.21550.2360School of Microelectronicsand Solid-State Electronics12第五章 回归分析方法表1 合

10、金钢强度y与碳含量x的数据 序号x(%)y(107Pa)序号x(%)y(107Pa)10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.060.1547.5120.2360.0School of Microelectronicsand Solid-State Electronics13第五章 回归分析方法 为找出两个量间存在的回归函数的形式，可以画一张图：把每一对数(xi,yi)看成直角坐标系中的一个点，在图上画出n个点，称这张图为散点图，见图。0.100.150.

11、20405060碳含量合 金 钢 强 度合金钢强度及碳含量的散点图School of Microelectronicsand Solid-State Electronics14第五章 回归分析方法 从散点图我们发现12个点基本在一条直线附近，这说明两个变量之间有一个线性相关关系，这个相关关系可以表示为 y=0+1x+(1)这便是y关于x的一元线性回归的数据结构式。通常假定 E()=0,Var()=2 (2)在对未知参数作区间估计或假设检验时，还需要假定误差服从正态分布，即 y N(0+1x,2)(3)显然，假定(3)比(2)要强。School of Microelectronicsand So

12、lid-State Electronics15第五章 回归分析方法 由于0,1均未知，需要我们从收集到的数据(xi,yi)，i=1,2,n，出发进行估计。在收集数据时，我们一般要求观察独立地进行，即假定y1,y2,yn,相互独立。综合上述诸项假定，我们可以给出最简单、常用的一元线性回归的数学模型：(4)0121,2,(0,)iiiiyxinN，各 独立同分布，其分布为School of Microelectronicsand Solid-State Electronics16第五章 回归分析方法 由数据(xi,yi)，i=1,2,n，可以获得0,1的估计 ，称 (5)为y关于x的经验回归函数，

13、简称为回归方程，其图形称为回归直线。给定x=x0后，称 为回归值（在不同场合也称其为拟合值、预测值）。01,01 yx0010 yxSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics17第五章 回归分析方法回归系数的最小二乘估计*,)(1,2,.,)xy()iiiiiiiiiiiiiya bxx y iNxya bxya bxyxyyyya bxy 设是平面上的一条任意直线，(是变量，的一组观测数据。那么，对于每一个，在直线上确可以确定一个的值，与 处实际观测值 的差：就刻画了 与直线偏离度School of Microelectroni

14、csand Solid-State Electronics18第五章 回归分析方法xy1x(,)iix y(,)iix yyabxSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics19第五章 回归分析方法*2211(1,2,.,)(1,2,.,)()()(1,2,.,),abQiiNNiiiiiiiy iNy iNQyyya bxQy iNQx y 全部观测值与直线上对于的的离差平方和则为：反映了全部观测值对直线的偏离程度，显然，离差平方和 越小，愈能较好地表示之间的关系。用最小二乘法原理，通过选择合适的系数，使 最小School of

15、Microelectronicsand Solid-State Electronics20第五章 回归分析方法 一般采用最小二乘方法估计模型中的0,1：令：应该满足 称这样得到的 称为0,1的最小二乘估计，记为LSE(Least Squares Estimation)。01,01,201011(,)()niiiQyx10101,(,)min(,)QQSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics21第五章 回归分析方法 最小二乘估计可以通过求偏导数并命其为0而得到：(6)这组方程称为正规方程组，经过整理，可得 (7)011001112

16、()02()0niiiniiiiQyxQyx x 01201iiinnxnynxxx ySchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics22第五章 回归分析方法解(7)可得 （8）这就是参数的最小二乘估计，其中 101/xyxxllyx222222222211,1()()1()1()iixyiiiiiiiixxiiiiyyiiiixxyynnlxxyyx ynx yx yxynlxxxnxxxnlyyynyyyn School of Microelectronicsand Solid-State Electronics23第五章 回归分

17、析方法xi=1.90n=12yi=590.5xi2=0.3194xi yi=95.9250yi2=29392.75lxx=0.0186lxy=2.4292lyy=335.2292由此给出回归方程为:28.5340 130.6022yx使用例中合金钢强度和碳含量数据，我们可求得回归方程，见下表0.1583x 49.2083y 20.3008nx 93.4958n x y229057.5208ny 1/130.6022xyxxll0128.5340yxSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics24第五章 回归分析方法说明 分别是0,1

18、的无偏估计；01,是E(y0)=0+1 x0的无偏估计；0 y 除 外，与 是相关的；0 x10 要提高 的估计精度（即降低它们的方 差）就要求n大，lxx大（即要求x1,x2,xn较 分散）。01,School of Microelectronicsand Solid-State Electronics25第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics26第五章 回归分析方法Regression Analysis:y versus xRegression Analysis:y versus xThe regres

19、sion equation isy=28.1+133 xPredictor Coef SE Coef T PConstant 28.083 1.567 17.92 0.000 x 132.899 9.606 13.83 0.000S=1.309 R-Sq=95.0%R-Sq(adj)=94.5%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 327.93 327.93 191.40 0.000Residual Error 10 17.13 1.71Total 11 345.06School of Microelectronicsand S

20、olid-State Electronics27第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics28第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics29第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics30第五章 回归分析方法回归方程是否有意义的判断三种等价的检验方法 F 检验 T检验 r检验 在使用回归方程作进一步的分析以前，首先在使用回归方程作进一步的分析以前，

21、首先应对回归方程是否有意义进行判断。应对回归方程是否有意义进行判断。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics31第五章 回归分析方法_22_22(,)(1,2,.,)xyxy()()()()()iiiiiiyyiiiiiiix yiNxyxyabxyLyyyyyyyyyy_NNi=1i=1Ni=1i=1设为变量，间的一组观测数据，为观测点，为 处的观测之，为这组观测数据求得的变量，间的回归方程，在回归问题中，观测数据总的波动情况，用各观测值 与总平均y之间的平方和即总变动平方和表示_2()()iiiyyyyNNi=1一、F 检验

22、School of Microelectronicsand Solid-State Electronics32第五章 回归分析方法2_2()()xyyiiiQyyQUyyUQUNi=1Ni=1yy第一项是观测值与回归直线的离差平方和，反映了误差的大小第二项反映了总变动中，由于 与 的线性关系而引起 变化的一部分，称为回归平方和第三项为零LSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics33第五章 回归分析方法图示离差平方和的分解bxayyyyyyy),(iiyx离差分解图离差分解图ySchool of Microelectronicsa

23、nd Solid-State Electronics34第五章 回归分析方法UQUQNN2UQfffffffyyyy总总总每一个变动平方和（即L、）都有一个“自由度”和它们对应，L 自由度称为总自由度，记做。观测值个数1 11 三者之间仍然有：School of Microelectronicsand Solid-State Electronics35第五章 回归分析方法aaF(2)2a0.050.01F(1,2)FFF FUNQNuQa可用 检验考察回归直线的显著性：U/f（1）计算F=Q/f（）对于选定的显著性水平（或），从 分布上找出临界值F（3）比较 与 的大小。若 ，则回归方程有意义

24、，反之则说明方程意义不大School of Microelectronicsand Solid-State Electronics36第五章 回归分析方法来源平方和自由度均方和F比回归SR=317.2589fA=1MSA=317.2589176.55残差Se=17.9703fe=10MSe=1.79703总和ST=335.2292fT=11在合金钢强度的例中，我们已求出了回归方程，这里我们考虑关于回归方程的显著性检验。经计算有 若取=0.01，则F0.99(1,10)=103.1698，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。1130.602213.2872/1.7970/0.0186x

25、xtlSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics40第五章 回归分析方法三、相关系数检验一元线性回归方程是反映两个随机变量x与y间的线性相关关系，它的显著性检验还可通过对二维总体相关系数的检验进行。它的一对假设是 H0：=0 vs H1：0 所用的检验统计量为样本相关系数拒绝域为W=rc，其中临界值c应是H0:=0成立下r的分布的1 分位数，故记为c=r1-(n2).22()()()()xyiixx yyiilxxyyrl lxxyySchool of Microelectronicsand Solid-State Electro

26、nics41第五章 回归分析方法_22_22_2_222_22()()()()()()()()1()()iiiyyiiiiiiiiUyyUabxabxbxxLyyyyyyxxbyyyy NNi=1i=1Ni=1Ni=1NNi=1i=1NNi=1i=1由代入整理后可得School of Microelectronicsand Solid-State Electronics42第五章 回归分析方法_2222_22_2_2()()1()()()()iiiiixyxxixyxx yyixxyyrbyyyylblxxlrbl lyy NNi=1i=1NNi=1i=1Ni=1Ni=1令School of

27、Microelectronicsand Solid-State Electronics43第五章 回归分析方法 由样本相关系数的定义可以得到 r与F统计量之间的关系 这表明，r是F的严格单调增函数，故可以从F分布的1 分位数 F1-(1,n2)得到 r 的1 分位数为2(2)FrFn111(1,2)(2)(1,2)1FncrnFnSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics44第五章 回归分析方法 譬如，对=0.01，n=12，F0.99(1,10)=10.04，于是 。为实际使用方便，人们已对r1-(n-2)编制了专门的表，见P1

28、51页表7-1。以例中数据为例，可以计算得到 若取=0.01，查P182页表7-1知 r0.99(10)=0.708,由于0.97280.708，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。0.9910.04(10)0.70810.041r2.42920.97280.0186335.2292r School of Microelectronicsand Solid-State Electronics45第五章 回归分析方法n-2123456789100.05 0.010.9970.9500.8780.8110.7540.7070.6660.6320.6020.5761.0000.9900.9

29、590.9170.8740.8340.7980.7650.7350.708n-2111213141516171819200.05 0.010.5530.5320.5140.4790.4820.4680.4560.4440.4330.4130.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.5610.5490.537n-2212223242526272829300.05 0.010.4130.4040.3960.3880.3810.3740.3670.3640.3550.3490.5260.5150.5050.4960.4870.4780.4700.4630.4560.44

30、9相关系数临界值表School of Microelectronicsand Solid-State Electronics46第五章 回归分析方法 在一元线性回归场合，在一元线性回归场合，三种检验方法是等价三种检验方法是等价的的：在相同的显著性水平下，要么都拒绝原假设：在相同的显著性水平下，要么都拒绝原假设，要么都接受原假设，不会产生矛盾。，要么都接受原假设，不会产生矛盾。F F 检验可以很容易推广到多元回归分析场合，检验可以很容易推广到多元回归分析场合，而其他二个则无法完成，所以，而其他二个则无法完成，所以，F F检验是最常用检验是最常用的关于回归方程显著性检验的检验方法的关于回归方程显著

31、性检验的检验方法。三种检验方法具有等价特性School of Microelectronicsand Solid-State Electronics47第五章 回归分析方法预报与控制问题当我们求得变量x、y之间的回归方程后，往往通过方程回答这样两方面的问题：（1）对任何一个给定的观测点x0，推断y0大致落的范围（2）若要求观测值y在一定的范围y1yy2内取值，应将变量控制在什么地方 前者就是所谓的预报问题，后者称为控制问题School of Microelectronicsand Solid-State Electronics48第五章 回归分析方法0000002yxyyyyyQSN（一）预报

32、问题一般来说，对于固定 处的观测值，其取值是以为中心而对称分布的。愈靠近的地方，出现的机会愈大，离愈远的地方，出现的机会少，而且 的取值范围与量School of Microelectronicsand Solid-State Electronics49第五章 回归分析方法00000000000000322222yyyyyyyyyyySyySyySxxxyySySySyySSS有下述关系：落在范围内的可能性为99.7落在范围内的可能性为95落在范围内的可能性为68利用此关系，对于指定的，我们有95的把握说，在处的实际观测值 介于与之间即：这样，预报问题就得到了解决量称为剩余标准差。用来衡量预报

33、的精确度School of Microelectronicsand Solid-State Electronics50第五章 回归分析方法E(y0)的置信区间于是E(y0)的1 的置信区间（CI）是 其中 2001/2()1(2)xxxxtnnl0000,yySchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics51第五章 回归分析方法y0的预测区间 实用中往往更关心x=x0时对应的因变量y0的取值范围。y0的最可能取值为 ，于是，我们可以使用以 为中心的一个区间 作为y0的取值范围。经推导，的表达式为 上述预测区间（PI）与E(y0)的置信

34、区间的差别就在于根号里多个1。0 y0 y00(,)yy2001/2()1()(2)1xxxxxtnnlSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics52第五章 回归分析方法在例中，如果x0=0.16，则得预测值为 若取=0.05，则t0.975(10)=2.2281，又 ，故x0=0.16对应因变量y0的均值E(y0)的0.95置信区间为(49.4328-1.0480,49.4328+1.0480)=(48.3488,50.5168)028.5364 130.6022 0.1649.4328y 17.9703/(122)1.3405

35、201(0.160.19)1.3405 2.22811.0840120.0186School of Microelectronicsand Solid-State Electronics53第五章 回归分析方法 可以计算得到，从而y0的概率为0.95的预测区间为 E(y0)的0.95置信区间比y0的概率为0.95的预测区间窄很多，这是因为随机变量的均值相对于随机变量本身而言要更容易估计出来。21(0.160.19)1.3405 2.228113.1774120.0186(49.43283.1774,49.43283.1774)(46.2554,52.6102)School of Microel

36、ectronicsand Solid-State Electronics54第五章 回归分析方法minitab软件求解置信区间与预测区间School of Microelectronicsand Solid-State Electronics55第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics56第五章 回归分析方法010211112222212120122222yyyyyyyaSbxyaSbxyaSbxyaSbxyxxxxxyyy（二）控制问题控制问题只不过是预报的反问题。若要求观测值在范围内取值，则可从（或）及（

37、或）中分别解出、，只要将 的取值控制在 与 之间，我们就能以95（或99.7）的把握保证，在 与范围内取值。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics57第五章 回归分析方法122(6 17)2(6 18)yyyabxSyabxS进行预报和控制，通常也采用图解法。其作法是：在散点图上作两条平行于回归直线的直线xy2yyabxSyabx1x2x1y2y2yyabxS0b xy2yyabxS2yyabxSyabx1x2x1y2y0b School of Microelectronicsand Solid-State Electroni

38、cs58第五章 回归分析方法1295xyyxx可以预测在 附近的一系列观测值中，将落在这两条直线所夹成的带行趋于中，若要求在 与 范围内取值，则只需要图中虚线所示的对应关系，可在 轴上找到值的控制范围。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics59第五章 回归分析方法非线性回归方程的线性化在实际问题中，有时两个变量间的关系不是线性相关关系，而是某种曲线相关关系，这时如果仍作线性回归，就不能反映出两个变量之间的内在联系，而必须作非线性回归。在许多情况下，可通过对变量作适当的代换，化为线性回归问题处理，求出它的回归方程。School

39、of Microelectronicsand Solid-State Electronics60第五章 回归分析方法 例 炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水及炉渣对耐火材料的浸蚀，其容积不断增大。现在钢包的容积用盛满钢水时的重量y(kg)表示，相应的试验次数用x表示。数据见表，要找出y 与x的定量关系表达式。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics61第五章 回归分析方法钢包的重量y与试验次数x数据 序号xy序号xy12106.42811110.5923108.20914110.6034109.581015110.90

40、45109.501116110.7657110.001218111.0068109.931319111.20710110.49 下面我们分三步进行。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics62第五章 回归分析方法 1 确定可能的函数形式 为对数据进行分析，首先描出数据的散点图，判断两个变量之间可能的函数关系，图是本例的散点图。观测这13个点构成的散点图，我们可以看到它们并不接近一条直线，用曲线拟合这些点应该是更恰当的，这里就涉及如何选择曲线函数形式的问题。School of Microelectronicsand Solid-S

41、tate Electronics63第五章 回归分析方法036912151821106107108109110111112 钢包的重量试验次数School of Microelectronicsand Solid-State Electronics64第五章 回归分析方法 首先，如果可由专业知识确定回归函数形式，则应尽可能利用专业知识。当若不能有专业知识加以确定函数形式，则可将散点图与一些常见的函数关系的图形进行比较，选择几个可能的函数形式，然后使用统计方法在这些函数形式之间进行比较，最后确定合适的曲线回归方程。为此，必须了解常见的曲线函数的图形。School of Microelectron

42、icsand Solid-State Electronics65第五章 回归分析方法 本例中，散点图呈现呈现一个明显的向上且上凸的趋势，可能选择的函数关系有很多，我们可以给出如下四个曲线函数：1)1/y=a+b/x 2)y=a+blnx 3)4)在初步选出可能的函数关系(即方程)后，我们必须解决两个问题：如何估计所选方程中的参数？如何评价所选不同方程的优劣？yab x/100(0)b xya ebSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics66第五章 回归分析方法2 参数估计 对上述非线性函数，参数估计最常用的方法是“线性化”方法。

43、以1/y=a+b/x为例，为了能采用一元线性回归分析方法，我们作如下变换u=1/x,v=1/y 则曲线函数就化为如下的直线v=a+bu 这是理论回归函数。对数据而言，回归方程为 vi=a+bui+i 于是可用一元线性回归的方法估计出a,b。School of Microelectronicsand Solid-State Electronics67第五章 回归分析方法参数估计计算表 2.05088194iu 13n 0.11826672iv 0.15776015u 0.00909744v 20.53721798iu 0.01883495iiu v 20.32354744nu 0.0186577

44、8nuv 0.21367054uul0.00017717uvl/0.00082917uvuub l l0.00896663a v ub 1/y=0.00897+0.000829 1/xSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics68第五章 回归分析方法 用类似的方法可以得出其它两个曲线回归方程，它们分别是：106.3013 1.1947yx106.315 1.714lnyx1.1256/100 11.7506xyeSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics69第五章 回

45、归分析方法第一种情况的minitab求解School of Microelectronicsand Solid-State Electronics70第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics71第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics72第五章 回归分析方法Regression Analysis:1/y versus 1/xRegression Analysis:1/y versus 1/xThe regression eq

46、uation is1/y=0.00897+0.000829 1/xPredictor Coef SE Coef T PConstant 0.00896663 0.00000837 1071.14 0.0001/x 0.00082917 0.00004118 20.14 0.000S=0.00001903 R-Sq=97.4%R-Sq(adj)=97.1%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 1.46905E-07 1.46905E-07 405.44 0.000Residual Error 11 3.98564E-09 3.62

47、331E-10Total 12 1.50891E-070.000829170.00896663xyxSchool of Microelectronicsand Solid-State Electronics73第五章 回归分析方法Unusual ObservationsObs 1/x 1/y Fit SE Fit Residual St Resid 1 0.500 0.009397 0.009381 0.000015 0.000016 1.33 X 3 0.250 0.009126 0.009174 0.000007 -0.000048 -2.69R R denotes an observat

48、ion with a large standardized residualX denotes an observation whose X value gives it large influence.异常观测值 标准化观测值 1/x 1/y 拟合值 拟合值标准误 残差 残差 1 0.500 0.009397 0.009381 0.000015 0.000016 1.33 X 3 0.250 0.009126 0.009174 0.000006 -0.000048 -2.69RR 表示此观测值含有大的标准化残差X 表示受 X 值影响很大的观测值。School of Microelectron

49、icsand Solid-State Electronics74第五章 回归分析方法第二种情况的minitab求解School of Microelectronicsand Solid-State Electronics75第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics76第五章 回归分析方法回归方程为y=106+1.71 lnx自变量 系数 系数标准误 T P常量 106.315 0.430 247.22 0.000lnx 1.7140 0.1933 8.87 0.000S=0.486379 R-Sq=87.7%

50、R-Sq（调整）=86.6%方差分析来源 自由度 SS MS F P回归 1 18.608 18.608 78.66 0.000残差误差 11 2.602 0.237合计 12 21.211School of Microelectronicsand Solid-State Electronics77第五章 回归分析方法第三种情况的minitab求解School of Microelectronicsand Solid-State Electronics78第五章 回归分析方法School of Microelectronicsand Solid-State Electronics79第五章 回