得到直角坐标形式的质点运动微分方程课件.ppt

1、动力学研究动力学研究作用于物体上的力与物体的作用于物体上的力与物体的运动变化之间的关系。运动变化之间的关系。动力学问题越来越重要动力学问题越来越重要第九章第九章 质点动力学质点动力学汽车动力特性测试汽车动力特性测试机机 械工程械工程第九章第九章 质点动力学质点动力学载人飞船的载人飞船的交会与对接交会与对接v2Av1B航空航天工程航空航天工程第九章第九章 质点动力学质点动力学拱坝的抗震与控制拱坝的抗震与控制水利工程水利工程第九章第九章 质点动力学质点动力学建筑物抗震实验建筑物抗震实验土土木木工工程程第九章第九章 质点动力学质点动力学 体育运动体育运动球棒击球球棒击球Fv2v1棒球在被球棒击打棒球

2、在被球棒击打后，其速度的大小后，其速度的大小和方向发生了改变。和方向发生了改变。如果已知这种变化如果已知这种变化即可确定球与棒的即可确定球与棒的相互作用力相互作用力。第九章第九章 质点动力学质点动力学 健康医学健康医学心脏动力学心脏动力学第九章第九章 质点动力学质点动力学 第 三 篇 动力学第九章第九章 质点动力学质点动力学第十章第十章 质心运动定理质心运动定理 动量定理动量定理第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理第十二章第十二章 动能定理动能定理第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 第九章第九章 质点动力学质点动力学第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系第二节第

3、二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 第三节第三节 质点在非惯性质点在非惯性 参考系中的运动参考系中的运动第一节 牛顿运动定律 惯性参考系第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系1 1、牛顿运动定律、牛顿运动定律 质点动力学的基础是三质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为上提出的，称为牛顿三定律。牛顿三定律。第一定律惯性定律第一定律惯性定律任何物体，如不受外力作用，将保持静任何物体，如不受外力作用，将保持静止或作匀速直线运

4、动止或作匀速直线运动。第二定律第二定律 力与加速度关系定律力与加速度关系定律质点受到外力作用时，其加速度的大小与所受质点受到外力作用时，其加速度的大小与所受力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向一致。的方向与力的方向一致。aFm第三定律作用与反作用定律第三定律作用与反作用定律两物体间相互作用的力同时存在，大小相等，作两物体间相互作用的力同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。用线相同而指向相反。第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系2.2.惯性参考系惯性参考系 适用牛顿定律的参考系称为适用牛顿定律的参考系

5、称为惯性参考系惯性参考系。实践证明，在绝大多数工程问题中，地球可取为实践证明，在绝大多数工程问题中，地球可取为惯性参考系。惯性参考系。物体在惯性参考系中的运动称为物体在惯性参考系中的运动称为绝对运动绝对运动，还习，还习惯地将惯性参考系称为惯地将惯性参考系称为固定坐标系固定坐标系或或静坐标系静坐标系。第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系在国际单位制中，力的单位是在国际单位制中，力的单位是牛顿牛顿。质量、长度、时间为质量、长度、时间为基本单位基本单位，力的单位为，力的单位为导出单位导出单位。即。即 N=1kg1m/s2 应当注意，质量与重量是两个不同的概念。应当注意，质量与

6、重量是两个不同的概念。例如力的量纲是例如力的量纲是MLT-2，速度的量纲是速度的量纲是LT-1，加速度的量纲是加速度的量纲是LT-2。表示某一物理量是由哪几个基本量按什么规表示某一物理量是由哪几个基本量按什么规律组成的式子，称为该律组成的式子，称为该物理量的量纲物理量的量纲。在动力学或静力学问题中，在动力学或静力学问题中，以量纲校核的方法来以量纲校核的方法来检验力学方程的正确性，是一种简便、快捷的方法检验力学方程的正确性，是一种简便、快捷的方法。第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系第二节 质点运动微分方程设有一质点设有一质点M，质量为质量为m，沿空间曲线运动，作用沿空间

7、曲线运动，作用于质点上的合力于质点上的合力F=Fi，如，如图图9-9-所示。令质点的加速所示。令质点的加速度为度为a，则，则图图9-1 9-1 直角坐标系下质点的动力学直角坐标系下质点的动力学(9-1)(9-1)m第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系由运动学知由运动学知22dtddtdrva于是上式可表示为于是上式可表示为FrFv22dtdmdtdm或这就是这就是矢量形式的质点运动微分方程矢量形式的质点运动微分方程。(9-1)(9-1)(9-2)(9-2)第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程xFdtxdm22yFdtydm22zFdtzdm22 取直角坐标系取

8、直角坐标系Oxyz，将式（，将式（9-9-）投影到）投影到各坐标轴上，各坐标轴上，得到得到直角坐标形式的直角坐标形式的：第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 若已知质点运动的轨迹（图若已知质点运动的轨迹（图9-29-2），可以质点所在处为），可以质点所在处为原点，取自然轴系原点，取自然轴系t,n,b,将式（将式（9-19-1）投影到自然轴系上，得）投影到自然轴系上，得 bbnnttFmaFmaFma,自然轴系形式的质自然轴系形式的质点运动微分方程：点运动微分方程：由运动学知由运动学知0,222bntavadtsda第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程0,222bntFFvm

9、Fdtsdm(9-4)(9-4)应用质点运动微分方程可求解质点动力学的两应用质点运动微分方程可求解质点动力学的两类基本问题。类基本问题。第一类问题：第一类问题：已知质点的运动规律，求作用于质已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。这类问题可用微分法求得解答。点上的力。这类问题可用微分法求得解答。第二类问题：第二类问题：已知作用于质点的力，求质点的运已知作用于质点的力，求质点的运动规律。这类问题归结为求解运动微分方程，属于积动规律。这类问题归结为求解运动微分方程，属于积分问题。分问题。作用于质点的力作用于质点的力可以是常力或变力，当力是变可以是常力或变力，当力是变力时，又可能是时间、质点的位置坐

10、标、速度的函力时，又可能是时间、质点的位置坐标、速度的函数，因此只有当函数关系较简单时，才能求得微分数，因此只有当函数关系较简单时，才能求得微分方程的精确解。而且积分问题，还须给出运动的方程的精确解。而且积分问题，还须给出运动的初初始条件始条件，以，以确定积分常数。确定积分常数。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程tbytaxsin,cos12222byax其中其中a,b,w都是常量，求质点所受的合力都是常量，求质点所受的合力F。解解:本题属动力学的本题属动力学的第一类问题第一类问题。将运动方程消去时间将运动方程消去时间t，得，得质量为质量为m的质点的质点M在平面在平面Oxyz内运动

11、，内运动，已知其运动方程为已知其运动方程为可见质点运动的轨迹曲线是以可见质点运动的轨迹曲线是以a及及b为半轴的椭圆为半轴的椭圆第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程将式将式 代入方程（代入方程（9-39-3），可求得力），可求得力F的投影为：的投影为：ymtbmdtydmFxmtamdtxdmFyx22222222sincos于是，力于是，力F的大小的大小为为rmyxmFFFyx222222其中其中r是动点是动点M的矢径的矢径r的模的模第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程力力F的方向余弦的方向余弦为为 ryFFyrxFFxyx),cos(,),cos(FF 可见，可见，力力F

12、 恰与矢径恰与矢径r 的方向余弦数值相的方向余弦数值相等而符号相反。所以力等而符号相反。所以力F与矢径与矢径r方向相反（即方向相反（即F指向坐标原点指向坐标原点O）。）。用方程表示用方程表示为为rF2m第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 质量为质量为m的物体在空气中作自由落体运的物体在空气中作自由落体运动，假设空气阻力与物体的速度成正比（设动，假设空气阻力与物体的速度成正比（设比例系数为比例系数为k），方向与速度相反。），方向与速度相反。试求该物体的运动方程和速度方程。试求该物体的运动方程和速度方程。建立坐标系如图，建立坐标系如图，x轴铅直向下。物体轴铅直向下。物体受重力受重力 ，

13、解解:本题属动力学的本题属动力学的第二类问题第二类问题。mgP dtkdxkvF/空气阻力空气阻力 由质点运动微分方程得由质点运动微分方程得 dtdxkmgFPdtxdm22第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程令令dtdxv，上式改写为，上式改写为dtmkvkmgdv积分得积分得 ktmmgvCek)1(tmkekmgv上式中的系数上式中的系数C为积分常数，为积分常数，e为自然对数的底数。为自然对数的底数。0|0tvkmgC由初条件由初条件得得 ，代入，代入 式得速度方程式得速度方程第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程对上式再积分得对上式再积分得kmg为质点下降的为质点下降

14、的极限速度极限速度。Dekmtkmgxtmk)(0|0tx22kgmD式中式中D为积分常数，（假设）由初条件为积分常数，（假设）由初条件，得，得，代入，代入 式得运动方程式得运动方程)(kmekmtkmgxtmk时，时，,tkmgv 由由 式可见，当式可见，当第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程在倾角为在倾角为的粗糙斜面上放一重的粗糙斜面上放一重W W的物块的物块A A，物块上系一绳，绳与斜面平行，绕过滑轮后，物块上系一绳，绳与斜面平行，绕过滑轮后，在另一端悬挂一重在另一端悬挂一重P P的物块的物块B B。物块。物块A A与斜面间的与斜面间的摩擦因数为摩擦因数为f f。求物块求物块A

15、沿斜面向上的沿斜面向上的加速度。假设绳子是不可伸加速度。假设绳子是不可伸长的；绳子的质量不计，滑长的；绳子的质量不计，滑轮的质量及轮轴处的摩擦也轮的质量及轮轴处的摩擦也不计。不计。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：解：分别考察物块分别考察物块A、B，作示力图。物块作示力图。物块A、B分别建立动力学方程，得：分别建立动力学方程，得：DBNDAFPagPWFgWWFFagWcos0sin第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程根据运动学条件和摩擦力条件，补充方程如下：根据运动学条件和摩擦力条件，补充方程如下：DDFFABaa NfFF 代入后解得代入后解得WPfWPaaBA)

16、cos(sin本题还可求出本题还可求出绳子的拉力绳子的拉力得到得到 sinADDWaFFWFg第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程gPaPFFgDD一般说来，动力学中的约束力，不仅与物体所受一般说来，动力学中的约束力，不仅与物体所受的主动力有关，而且与物体的运动有关，这是与的主动力有关，而且与物体的运动有关，这是与静力学中的约束力不同之处。静力学中的约束力不同之处。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程可见，绳子的可见，绳子的拉力包含两部分拉力包含两部分：一部分是由一部分是由P,W,F 等静力作用引起的，称为等静力作用引起的，称为 静反力静反力；另一部分是由物体运动引起的，称

17、为另一部分是由物体运动引起的，称为动反力动反力。v v 重量为重量为W=30=30kN的物体悬于钢索的物体悬于钢索下端，以匀速下端，以匀速v0=2=2m/s下降，若卷筒下降，若卷筒突然刹车，求钢索的最大伸长。突然刹车，求钢索的最大伸长。设卷筒刹车时钢索每伸长设卷筒刹车时钢索每伸长1010mm需力需力2020kN。解解:刹车后物体只有上下运动，只刹车后物体只有上下运动，只需一个坐标就可确定物体的位置。需一个坐标就可确定物体的位置。取取平衡位置平衡位置为坐标原点，为坐标原点，x轴铅轴铅直向下，如图直向下，如图9-9-6 6所示。所示。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 考虑物体离开平衡

18、位置考虑物体离开平衡位置x时的受力情况，它受重力时的受力情况，它受重力W及及钢索的拉力钢索的拉力F 作用作用。WkstFWtxgW22ddxWkgtx22dd3310101020kN/m=210N/m可得物体的运动微分方程为可得物体的运动微分方程为即即 st()stFkx其中其中 是钢索的静伸长。是钢索的静伸长。弹性常数弹性常数在平衡位置钢索的拉力为在平衡位置钢索的拉力为第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程Wkg20令令020 xx 则有则有考虑运动初条件，即考虑运动初条件，即，00cos,0sinvAA得得 0,00vA解出解出 0 x0vx 当当 t=0 时，时，)sin(0tA

19、x其解为其解为第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程mmmkgWvkWx093.0078.0015.00maxstmax钢索的最大伸长：钢索的最大伸长：由运动方程可知，物体作由运动方程可知，物体作简谐振动简谐振动kgWT2，周期，周期kgWv0振幅振幅为为 上面的运动方程是上面的运动方程是以物体的静平衡位置为坐标原以物体的静平衡位置为坐标原点得到的点得到的。如果取其它位置为坐标原点，虽然物体。如果取其它位置为坐标原点，虽然物体的运动仍然是简谐运动，但微分方程及最后的运动的运动仍然是简谐运动，但微分方程及最后的运动方程都将与上面的形式不同。方程都将与上面的形式不同。)sin(0tWkgk

20、gWvx 最后得到最后得到 第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程第三节 质点在非惯性参考系中的运动第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动 前面讨论了质点（或质点系）在前面讨论了质点（或质点系）在惯性参考系惯性参考系中的运动，中的运动，即即绝对运动绝对运动。而在自然界和工程技术中而在自然界和工程技术中有很多问题，需要研究质点有很多问题，需要研究质点相对相对非惯性参考系非惯性参考系的运动，的运动，即即相对运动相对运动。例如例如:考虑地球自转时，河中水考虑地球自转时，河中水流的运动；远程炮弹、人流的运动；远程炮弹、人造卫星的运动；造卫星的运动；北半球水流对右岸的

21、冲刷严重北半球水流对右岸的冲刷严重第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动北半球水流对右岸的冲刷严重北半球水流对右岸的冲刷严重第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动地球自转对大气环流的影响地球自转对大气环流的影响第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动 设已知动坐标系设已知动坐标系Oxyz相对于静坐标系相对于静坐标系Oxyz（惯性（惯性坐标系）的运动，试求质点坐标系）的运动，试求质点在力在力F 作用下在动坐标作用下在动坐标系中的相对运动系中的相对运动(图图9-7)9-7)。由运动学的加速度合成定理知由运动学的加速度

22、合成定理知Ceraaaa牛顿第二定律可表示为牛顿第二定律可表示为CeraaaaFmm第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动可见可见在非惯性坐标系中所观察到的质点的在非惯性坐标系中所观察到的质点的加速度，不仅仅决定于作用在质点上的力，而且加速度，不仅仅决定于作用在质点上的力，而且与参考系本身的运动有关。与参考系本身的运动有关。ceraaFammm移项得移项得cIcee,aFaFmmI令令则式则式 成为成为IcIerFFFamIeFIcF其中其中及及都具有力的量纲，都具有力的量纲，分别称为分别称为牵连惯性力牵连惯性力及及科里奥利力科里奥利力，后者常简称为，后者常简称为科

23、氏力科氏力。方程方程（9-59-5）称为称为质点相对运动动力学方程。质点相对运动动力学方程。（9-59-5）第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动几种特殊情况几种特殊情况科氏加速度科氏加速度aC=0=0，因而科氏惯性因而科氏惯性FIC=0=0，于是质点的相对运动动力学方程为于是质点的相对运动动力学方程为IerFFam(9-6)(9-6)3 1动坐标系作平移时质点的相对运动动坐标系作平移时质点的相对运动第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动牵连加速度牵连加速度ae 和科氏加速度和科氏加速度aC均等于均等于零，所以零，所以FIe=0，FIC=

24、0，于是有于是有Fa rm(9-7)(9-7)3 2动坐标系作匀速直线平移时质点的相对运动动坐标系作匀速直线平移时质点的相对运动第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动因此，在一个系统内部所做的任何力学因此，在一个系统内部所做的任何力学试验，都不能确定这一系统是静止的还是在试验，都不能确定这一系统是静止的还是在作匀速直线平动。作匀速直线平动。这一结论称为这一结论称为古典力学的古典力学的相对性原理相对性原理，也称为，也称为伽利略、牛顿相对性原伽利略、牛顿相对性原理。理。当质点相对于动坐标系作匀速直线运动时，质当质点相对于动坐标系作匀速直线运动时，质点的相对加速度点的相对

25、加速度a ar r=0=0，于是得于是得此时，称质点处于此时，称质点处于相对相对平衡平衡状态。状态。0IcIeFFF(9-8)(9-8)质点的相对平衡与相对静止质点的相对平衡与相对静止3 3第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动科氏惯性力的影响科氏惯性力的影响第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动惯性参考系：惯性参考系：地球地球非惯性参考系：非惯性参考系：大盘大盘 动点：小段皮带动点：小段皮带(质量质量 m)牵连惯性力大盘转速很慢，牵连惯性力大盘转速很慢，牵连加速度很小，牵连加速度很小，m的的牵连惯牵连惯性力可以忽略不计性力可以忽略不计。

26、科氏力科氏力 m的的科氏加科氏加速度速度aC2 vr,科氏力科氏力 FIC2 m vr ，使皮带变形。使皮带变形。慢速慢速转动的大盘使转动的大盘使快速快速运动的皮带变形运动的皮带变形第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动转动圆盘上皮带的变形转动圆盘上皮带的变形第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动由于地球自转的由于地球自转的影响，地面上各处影响，地面上各处（除两极及赤道附近（除两极及赤道附近外）的铅直线并不沿外）的铅直线并不沿着地球半径，而是下着地球半径，而是下端偏向赤道。试求偏端偏向赤道。试求偏角角与纬度的关系。与纬度的关系。图图9-8

27、 9-8 例例9-69-6附图附图第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动解：解：假设地球为一圆假设地球为一圆球，半径为球，半径为R。今在纬度为今在纬度为 的地面上用绳索悬挂一铅球的地面上用绳索悬挂一铅球M，如图使其保持静止。，如图使其保持静止。铅球很小，可以作为质铅球很小，可以作为质点看待。点看待。考虑到地球的自转，考虑到地球的自转，铅球铅球M的静止只是相对静止的静止只是相对静止。作用于铅球作用于铅球M上的实际的力上的实际的力有沿地球半径指向地心的地有沿地球半径指向地心的地球引力球引力G、绳索拉力绳索拉力F。第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系

28、中的运动这两个力应与铅球的牵连惯性力成平衡，即这两个力应与铅球的牵连惯性力成平衡，即因地球自转是匀角速的，所以因地球自转是匀角速的，所以F FIeIe的大小为的大小为 0IeFGFcos22IemmF其中其中m 是是 铅球的质量；铅球的质量；是铅球至地轴的是铅球至地轴的距离；距离；是地球自转的角速度。是地球自转的角速度。Fie 的方向垂直的方向垂直并背离地轴，即是离心的。并背离地轴，即是离心的。第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动由于绳索拉力由于绳索拉力F与实际量得的重与实际量得的重力力W大小相等，而方向相反，即大小相等，而方向相反，即F=-W。以之代入式。以之代

29、入式 ，可得，可得WGFIe可见，在地面上量得的重力等可见，在地面上量得的重力等于地球引力与离心惯性力的矢于地球引力与离心惯性力的矢量和。重力的方向就是铅直线量和。重力的方向就是铅直线的方向。的方向。计算铅直线的偏角计算铅直线的偏角（即（即W W与与G G所成的角）。所成的角）。取取x轴垂直于铅直线，由轴垂直于铅直线，由 得得 0ixF)sin(sinIeFG第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动因因srad/864002可知可知cos2RmFIe必远小于地球引力必远小于地球引力G。所以可相当准确地认为所以可相当准确地认为W与与G 相等，即相等，即G=W=mg，其中

30、其中g 是重力加速度。是重力加速度。sincos2Rmmg由此得由此得2sin22gR又因偏角又因偏角极小，故可用极小，故可用代替代替 sinsin ，用，用 代代替替 +，于是由式于是由式 及及 有有第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动取取2/80.9,6370smgkmR则则2sin0017.0在纬度在纬度45处，偏角处，偏角有最大值有最大值600017.00maxrad可见偏差极小，所以一般都略去不计，可见偏差极小，所以一般都略去不计，而认为重力是指向地心的，铅直线则沿着地而认为重力是指向地心的，铅直线则沿着地球半径方向。球半径方向。第三节第三节 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动