微分方程的变换解二课件.ppt

1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-1 1 1页页页电子教案4.5 系统微分方程的系统微分方程的S域解域解4.6 电路的电路的s域求解域求解4.7 连续系统的表示与模拟连续系统的表示与模拟4.8 系统函数与系统特性系统函数与系统特性信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-2 2 2页页页电子教案 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：得到简化。物

2、理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。域来解决这些问题。本章引入本章引入复频率复频率 s=+j,以复指数函数以复指数函数est为基本信为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s，故称为，故称为s域分域

3、分析析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-3 3 3页页页电子教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t)，适当，适当选取选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t)e-t当当t时信号幅度趋近于时信号幅度趋近于0，从而使，从而使f(t)e-t的傅里叶

4、变换存在。的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换相应的傅里叶逆变换 为为f(t)e-t=de)(21tjbjFF Fb b(+j+j)=)=f(t)e-t=ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令令s=+j,d =ds/j，有，有信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-4 4 4页页页电子教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为称为Fb(s)的双

5、边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的的 拉氏逆变换的物理意义拉氏逆变换的物理意义120()()()2()cos()jstjjttf tF s e dsFe dfF s ets dfst利用拉氏变换，可将f(t)分解成众多复指数信号Ae 或形如cos()信号的线形组合。tAets信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-5 5 5页页页电子教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例1 因果信号因果信号f1(t)=e t (t)，求其拉普

6、拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。解解 eelim1)(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF1,Re ss 不定,=无界,可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边收敛边界界双边拉普拉斯变换存在。双边拉普拉斯变换存在。使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域。的收敛域。下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-6 6 6页页页电子

7、教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例2 反因果信号反因果信号f2(t)=e t(-t)，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。解解 eelim1)(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定无界)(1.Re,ss可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其收敛域为时，其收敛域为 Res 22131)()(22sssFtfRes=32131)()(33sssFtf 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教

8、研中心第第第5-5-5-9 9 9页页页电子教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst简记为简记为F(s)=f(t)f(t)=-1F(s)或或 f(t)F(s)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-101010页页页电子教案4.1 4.1

9、拉普拉斯变换拉普拉斯变换四、常见函数的单边拉普拉斯变换四、常见函数的单边拉普拉斯变换 00111.()1,2.()或1,03.(),4.指数信号ss tsstttse信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-11 11 11页页页电子教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换0令s 11,tstsee11,0,0jtsjjtsjee1(),0st0令sj 0令s0信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-121212页页页电子教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的

10、关系 0de)()(ttfsFstRes 0 ttfFtde)()(jj要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况：（1）0-2；则则 F(j)=1/(j+2)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-131313页页页电子教案4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换（2）0=0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴，)(lim)(j0sFF如如f(t)=(t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjF=()+1/j （3）0 0，F

11、(j)不存在。不存在。例例f(t)=e2t(t)F(s)=1/(s 2),2；其傅里叶变；其傅里叶变换不存在。换不存在。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-141414页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质4.2 4.2 单边拉普拉斯变换性质单边拉普拉斯变换性质一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s)Res 1,f2(t)F2(s)Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2)例例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0 0022000022000cos()/2,0sin()/

12、2,0jtjtssjtjtsteeteej信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-151515页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s)=)ee1(e2sssss 求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t 解：解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=42 F(2s)e2e1(2e82222sssss)e2e1(e22222sssss二、尺度变二、尺度变换换若若f(t)F(s),Res 0，且有实数，且有实数a0，则则f(at)(

13、1asFaResa 0信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-161616页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性三、时移（延时）特性 若若f(t)F(s),Res 0,且有实常数且有实常数t00,则则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)asFasat0e1011f1(t)t01-11tf2(t)-t2(2)2211例1：e(2)(2)tssteetee信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-171717页

14、页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 121T1T111()211例2：单边冲激()1例3：单边周期信号 f()()()()(2)()(1)sTsTsTs TeF SsTs Teteettf tf tTf tTF see1 f()tT f()()tt0T2T 3Tt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-181818页页页电子教案四、复频移（四、复频移（s s域平移）特性域平移）特性 若若f(t)F(s),Res 0 ,且有复常数且有复常数sa=a+j a,则则f(t)esat F(s-sa),Res 0+a 例例1:已知因果信号已知因果

15、信号f(t)的象函数的象函数F(s)=12ss求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。解：解：e-tf(3t-2)1(322e9)1(1sss2-2t2(2)9例2：ecos 3sst223(2)9sin 3tset信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-191919页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-)f(n)(t)snF(s)10)(1)0(nmmmnfs若若f(t

16、)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t)snF(s)11例1：()()(0)1sstts()ts()()nnts信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-202020页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质ddt例2：cos 2?tddt例3：cos 2()?ttddt例4：()tsset例5：微分方程i()5()6()3(),初始条件(0)0,(0)1,求().tti ti tetiii t解 设i(t)I(s),方程两边取拉氏变换23(1)2(4)(1)(4)1.520.5(1)(2)(3)123-t23()(0)(0)5()(0)6

17、()(56)()()取拉氏反变换i(t)=1.5e20.5,0sssssssssstts I ssiisI siI sssI sI seet信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-212121页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）-0t(-1)(-1)1-s-t(-1)F(s)s0F(s)s若 f(t)F(s)(单边拉氏变换)，Res，则 (1)f(t)=f()d+f(0)(2)f(t)=f()d(1)结论要求()的单边拉氏变换的收敛域Res0.ft100证：()()()tttsts

18、tsfdfdedtfdde 1100(1)()1-()()0()()的收敛域Res0或()波形净面积为零时，结论（1）成立；积分下限为0 时，结论（2）成立。tststssF ssstefdf t edttf t dtftf t信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-222222页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 f(t)10t2t220 f(t)0 f(t)2()2()4()tss2s222(12)2(1)eees2222(1)se例1：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-232323页页页电子教

19、案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例2：教材P159例4.29应用时域积分性质计算f(t)的单边拉氏变换：nnF()ndt方法一：f(t)(因果、非因果),F()为()()的单边拉氏变换；nnssdsf tt()(0)()n方法二：()(非因果)F()为()的单边拉氏变换。nnFsfssnf tsft信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-242424页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t)F1(s),Res 1 ,f2(t)F2(s),Re

20、s 2 则则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121213F(s)?(1 e)ss例：已知00)2()2(*)(nnntntt1TT1()T1例1：单边周期信号f()()()*()()f()()sTF settf tttttff例2：系统零状态响应 时域：y()()*()S 域：Y()()()LTIth tf tsH s F s信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-252525页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质八、八、s s域微分和

21、积分域微分和积分 若若f(t)F(s),Res 0,则则 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t(t)?e-2t(t)1/(s+2)t2e-2t(t)322)2(2)21(ddssssdFttf)()(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-262626页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例3：?e12tt211e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21

22、111(12信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-272727页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函数而不必求出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含(t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，为真分式，若若F(s)为假分式化为真分式），为假分式化为真分式），则则)(lim)(lim)0(0ssFtffst终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在

23、，并且时存在，并且 f(t)F(s),Res 0,00，则，则)(lim)(0ssFfs信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-282828页页页电子教案4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2ssssF信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-292929页页页电子教案4.2 4.2 拉普

24、拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 初值定理证明：初值定理证明：-0000时域微分性质：f()()(0)(1)按定义：Lf(t)=()sttsF sff t edt0000(0)(0)()(0)(0)()(2)ststffsf t edtfff t edt+0s由（1）=（2）得：SF(s)=f(0)+()（3）令 s:lim()(0)stf t edtsF Sf 0s0终值定理证明：对（3）令s0:lim()(0)()(0)()(0)()sF sff t dtffff 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-303030页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉

25、普拉斯逆变换4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法（1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3）部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01110111.)(bsbsbsasasasasFnnnmmmm若若mn（假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。)()()()(sAsBsPsF信号与系统信号与系

26、统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-313131页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换6116332)2(61161531258)(23223234ssssssssssssssF 由于由于L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普拉的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBs

27、Fnnnmmmm式中式中A(s)称为系统的称为系统的特征多项式特征多项式，方程，方程A(s)=0称为称为特征特征方程方程，它的根称为，它的根称为特征根特征根，也称为系统的，也称为系统的固有频率固有频率（或（或自然频率）。自然频率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的的极点极点。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-323232页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单极点（单根）为单极点（单根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii特例：特

28、例：F(s)包含共轭复根时包含共轭复根时(p1,2=j)j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKBAKsFsKsje|)()j(j1j1K2=K1*信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-333333页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换je|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsF f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若写为若写为K1,2=A jBf1(t)=2e-tAcos(t)Bsin(t)(t)例例1:1:10(2)(5)(),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆变换

29、312()13kkkF smnsss解：部分分解法（）100()10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其 中信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-343434页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换211(1)()10(2)(5)20(3)ssksFssss s 解：333(3)()10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 1002010()313(3)Fssss解：)(e310e203100)(3ttftt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-353535页页页电子教案4.3

30、4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例2:2:32597(),(1)(2)sssF sss已 知求 其 逆 变 换()F s解：长除法23277223795232223232ssssssssssssss信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-363636页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换12()212kkF ssss解：分 式 分 解 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其 中 21()212F ssss)()ee2()(2)()(2ttttftt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-

31、5-5-373737页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例3 3223(),(25)(2)sF ssss已知求其逆变换23()(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 1,2,(1,2)pj 2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其中信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-383838页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换12,(,)55AjBAB 1,2即 k2237(12)(12)5ssksjsj121275555()12125(2)jjF ssjsjs 解：1

32、,212,55AB)(e57)2sin(52)2cos(51e2)(2ttttftt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-393939页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例4：求象函数求象函数F(s)的原函数的原函数f(t)。)22)(1)(1(42)(2223sssssssssF解：解：A(s)=0有有6个单根，它们分别是个单根，它们分别是s1=0，s2=1，s3,4=j1，s5,6=1 j1，故，故 jsKjsKjsKjsKsKsKsF111)(654321 K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=1 K3

33、=(s j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1 j)F(s)|s=-1+j=43e21jK6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-404040页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根）若若A(s)=0在在s=p1处有处有r重根，重根，1,11111111111()()111111()!()()()()()()(),1,1rrrrr ir ikKkspspsprrdrsp

34、spdsrdispr idsF skspF sspF skspF sir r 1,r-1你 k111211111111()()111(1)!()()(),1,2,.rrriikkkspspsprdispidsF skspF sir或者信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-414141页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换举例举例:32(),(1)sFss s已 知求 其 逆 变 换131112232()(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312()(1)()sF ssF ss令11 111()23spskFsss 解：其 中11 2

35、121()(2)12spsdkFsd ssss 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-424242页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换1()11!11(1)!()()()()iiitsistiittttt1ii1pi-1111(i-1)!s（s-p）反变换：t e(t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-434343页页页电子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换121 312411()21422spsdkFsd sss 解：2030()22(1)ssksFsss 32()(1)(1)()Fs

36、ssss)()2e2e2e23()(2ttttfttt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-444444页页页电子教案4.4 4.4 连续系统的连续系统的S S域分析域分析4.4 4.4 连续系统的连续系统的S S域分析域分析一、连续信号的S域分解12()(),jstjjf tF s e ds t0st应用拉氏反变换，将f(t)分解为F(s)收敛域中不同S的基本信号e 的线形组合。()fytst二、基本信号e 激励下的()0()()*()()()sts tfsststyth tehedhedeH se式中 H(s)=LH(t)称为连续系统的系统函数。描述系统的

37、信号传输特性。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-454545页页页电子教案4.4 4.4 连续系统的连续系统的S S域分析域分析()tf三、一般信号f(t)激励下的yL T I()stH s este(0)0 x1122()()()ststjjF s e dsF s H s e ds （齐次性）112211()()()()()()()()jjststjjjjffF s e dsF s H s e dsf tytLH s F sLYs （叠加性）11()()()()()()()fffysH s F sytLysLH s F s结论：信号与系统信号与系统西安电

38、子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-464646页页页电子教案4.4 4.4 连续系统的连续系统的S S域分析域分析连续系统的连续系统的S域分解步骤：域分解步骤：1(1)()()(2)()()()(3)()()()()(4)()()ffF sL f tH sL h tsysH s F sF stLysff求求y计算 注意：H(s)=计算y信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-474747页页页电子教案4.4 4.4 复频域分析复频域分析例例1 已知当输入已知当输入f(t)=e-t(t)时，某时，某LTI系统的零状态响应系统的零状态响应 yf(t)=(

39、3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求该系统的冲激响应。求该系统的冲激响应。解解65823224)3)(2()4(2)()()(2sssssssssFsYsHfh(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-484848页页页电子教案4.4 4.4 连续系统的连续系统的S S域分析域分析2212()()()()().()()().tttftetyteetf tttt1f2例2：已知LTI系统，输入f时，其零状态响应求输入为时的零状态响应y11()1()21111112(1)(2)()()()fysF SSffssssH sys

40、L yt111s+1F（s）=Lf(t)=解：(1)33124332321222122(2)0.50.250.2512(2)()()()()()()sskkkkssssssssssFsL ftsH s Fsf2你 y22(1)1124(1)!()(221)()()tifiytttettt i1s 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-494949页页页电子教案4.4 4.4 连续系统的连续系统的S S域分析域分析 4.5 微分方程的变换解微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 nimjjiiitfbtya00)()

41、()()(系统的初始条件为系统的初始条件为y(0-),y(0-),，y(n-1)(0-)。取拉普拉斯变换取拉普拉斯变换)0()()()(101)(pippiiiyssYsty若若f(t)在在t=0时接入，则时接入，则f(j)(t)sjF(s)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-505050页页页电子教案4.4 4.4 复频域分析复频域分析niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()()()()()()()()()(sYsYsFsAsBsAsMsYfx例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t)+5

42、y(t)+6y(t)=2f(t)已知初始条件已知初始条件y(0-)=1，y(0-)=-1，激励，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)解：解：取拉氏变换得取拉氏变换得)(65265)0(5)0()0()(22sFssssyysysY15)(2sssF信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-515151页页页电子教案15)3)(2(2)3)(2(4)()()(2ssssssssYsYsYfxjsejsessssjj44212133243122y(t)=2e-2t-e-3t-4e-2t+3e-3t+)()4cos(2tt信号与系统信号与

43、系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-525252页页页电子教案4.5 4.5 系统微分方程的系统微分方程的S S域解域解B(p)设系统传输算子 H(p)=或微分算子方程A(p)A(p)y(t)=B(p)f(t)()()()0()()()()()()()()()()()()()xxffftA p y ty ttA p ytB p f tyttB P F ty ttytxffx则 y是齐次方程满足和初始条件的解。y是方程满足初始条件的解。y(t)是方程A(P)y满足初始条件的解，也可由y(t)=y计算求得。应用拉氏变换时域微分性质，可将时域微分方程转化为S域代数方程，从而简化系

44、统响应计算。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-535353页页页电子教案4.5 4.5 系统微分方程的系统微分方程的S S域解域解2,()(),(0)1,(56)(0)2,()()().txff tetyppy tyty t3p+1例：已知H(p)=y求、和()5()6()3()()ty ty tf tf t解：输入输出方程 y2237542356(1)()()5()6()0()0()7()()54,0 xxxttsssssy tty ty tssssteet x2-xxxxxx2xxx y sy(s)-sy(0)-y(0)+5sY(s)-y(0)+6Y

45、(s+5s+6)Y Y y信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-545454页页页电子教案4.5 4.5 系统微分方程的系统微分方程的S S域解域解223(2)()()5()6()3()()()5()6()3()()()(31)()311154()561123()54,0fffffftttyttytytf tf tYssYsYssF sF sssF sssssssssteeetf22ff f y s (s+5s+6)Y Y y信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-555555页页页电子教案4.5 4.5 系统微分方程的系统微分

46、方程的S S域解域解2222(3)()()5()6()3()()(0)3 173 1()()5 65 65 65 6()ytty tytf tf tsssFsFssssssssss Y 2-x y sY(s)-sy(0)-y(0)+5sY(s)-y(0)+6Y(s)=3sF(s)+F(s)(s+5)y(0)+y Y(s)=Y23()()()108,0ftttfsty teee tx y(t)=y信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-565656页页页电子教案4.64.6电路的电路的.电路的电路的s域求解域求解 对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻

47、、电阻 u(t)=R i(t)2、电感、电感 ttiLtuLd)(d)(U(s)=sLIL(s)LiL(0-)sisUsLsILL)0()(1)(i(t)u(t)RI(s)U(s)RLu(t)iL(t)U(s)=R I(s)U(s)sLIL(s)LiL(0-)IL(s)sLiL(0-)/sU(s)或信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-575757页页页电子教案4.4 4.4 复频域分析复频域分析3、电容、电容 ttuCtiCd)(d)(I(s)=s C UC(s)CuC(0-)susIsCsUCC)0()(1)(I(s)UC(s)CuC(0-)或sC1suC

48、)0(sC1I(s)UC(s)Ci(t)uC(t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-585858页页页电子教案4.4 4.4 复频域分析复频域分析例例 如图所示电路，已知如图所示电路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=(t)，起，起始状态始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压，求电压u(t)。0.51F1HuS(t)iS(t)iL(t)uC(t)u(t)(a)1/s1/s0.5IS(s)US(s)s2/sU(s)(b)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-595959页页页电子教案0101LCiAuV信号

49、与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-606060页页页电子教案 11221220110110CsCLuRIsIsUssCsCsuIsRsL IsLisCsCs 222211322cos4LtLsIsIsssitet信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-616161页页页电子教案 1121222011011021132cos04cXXcXLLXXtLXuRIsIssCsCsuIsRsLLisCsCssIsIssitett 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-626262页页页电子教案 22112

50、2222221111122411322 2cos4sfsLfLfsLfstLfRsLUssCIsZ sRZ sRsLsCUssCIsZ sRsLsCIsH sUsssIsH s Usssitett信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第5-5-5-636363页页页电子教案4.6 4.6 电路响应的电路响应的S S域分析域分析S域分析域分析：时域模时域模型型S域模型域模型应用方程法应用方程法/等效法建立等效法建立S域域电路方程（代数方程）电路方程（代数方程）求求S域解域解由反变换得到由反变换得到时时域解域解 1.S域元件模型域元件模型R：(a)i(t)Ru(t)(b)I(s