1、3.43.4基本不等式（一）基本不等式（一）会探索、理解不等式会探索、理解不等式 的证明的证明过程，应用此不等式求某些过程，应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题简单的实际问题.基本不等式基本不等式 的应用的应用.利用基本不等式求最大值、利用基本不等式求最大值、最小值最小值.重点重点难点难点目标目标 会标的设计源中国会标的设计源中国古代数学家古代数学家为了证为了证明发明于中国周代的勾明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世动的风车，欢
2、迎来自世界各地的数学精英们。界各地的数学精英们。20022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？abab22+问问2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三是全等三角形，它们的面积和是角形，它们的面积和是S=S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AF=a,BFAF=a,BF=b,=b,则正方形
3、的面积则正方形的面积为为S=S=，问3：S S与与SS有什么样的关系？有什么样的关系？22ab2ab2222a+b 2aba+b 2ab从图形中易得，从图形中易得，s s,s s,即即探究1问问4 4：S S与与S有相等的情况吗？何时有相等的情况吗？何时相等？相等？22=2abab图片说明：当直角三角形变为等腰直图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩缩为一个点，这时有为一个点，这时有探究2问题问题1 1：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，成立吗？成立吗？2 22 2a a+b b2 2a ab b问题问题2 2：特
4、别地，如果特别地，如果a0a0、b0,b0,abab用用和和代代替替、可可得得ab2ba(,)002ababab 当且仅当当且仅当“a=b”“a=b”时时“”号成号成立，立，此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式由“半径不小于半弦”得：几何解释RtACDRtDCBCD2=AC BCCD=ababba2(,)002abababABEDCab基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.注意：注意：不等式的不等式的 称为正数称为正数a a、b b的的 称为它们的称为它们的)0,0(2baabbaab2baabba222),(Rba当且仅当a=b时，等号成立.应用应用1：利用基本不等式判断代数式的大
5、小关系：利用基本不等式判断代数式的大小关系例例1.1.下列表达式中大于等于下列表达式中大于等于4 4的是的是()()（A A）x+x+（B B）sinxsinx+（0 x0 x0，b0，给出下列不等式，给出下列不等式其中恒成立的其中恒成立的 .21aa4)1)(1(bbaa4)11)(baba211122aa2.2.若若a.bRa.bR,且且a+ba+b=3,=3,则则2 2a a+2+2b b的最小值为的最小值为 知识小结 （1 1）两个正数积为定值，和有最小值）两个正数积为定值，和有最小值.（2 2）两个正数和为定值，积有最大值）两个正数和为定值，积有最大值.应用要点：应用要点：一正、二定一正、二定 、三相等、三相等重要重要不等式不等式基本不等式基本不等式2abba22 ab2ba (a(a、bRbR+)结论结论(a(a、bRbR)
