人教版高中数学选修4-5-第一节不等式和绝对值不等式课件.ppt

1、选修4-5 不等式选讲第一节 不等式和绝对值不等式1.1.不等式的基本性质不等式的基本性质 对称性对称性ababb_ab_a传递性传递性ab,bcab,bca_ca_c可加性可加性ababa+c_b+ca+c_b+c可乘性可乘性ab,c0ab,c0ac_bcac_bcab,cb,cb0ab0a an n_b bn n(n(nN,nN,n2)2)可开方性可开方性ab0ab0 _ (n _ (nN,nN,n2)2)nanb2.2.基本不等式基本不等式(1)(1)定理定理1 1如果如果a,bRa,bR，那么，那么a a2 2+b+b2 2_2ab_2ab，当且仅当，当且仅当_时，等号成立时，等号成立

2、.(2)(2)算术平均与几何平均算术平均与几何平均如果如果a,ba,b都是正数，我们就称都是正数，我们就称_为为a a，b b的算术平均，的算术平均，_为为a,ba,b的几何平均的几何平均.(3)(3)定理定理2(2(基本不等式基本不等式)如果如果a,b0a,b0，那么，那么 _ _ ，当且，当且仅当仅当_时，等号成立时，等号成立.也可以表述为：两个正数的算术平均也可以表述为：两个正数的算术平均_它们的几何平均它们的几何平均.a=ba=bab2abab2aba=ba=b不小于不小于(即大于或等于即大于或等于)(4)(4)利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值对两个正实数对两个正实数x,y,x

3、,y,如果它们的和如果它们的和S S是定值，则当且仅当是定值，则当且仅当_时，它们的积时，它们的积P P取得取得最最_值值_；如果它们的积如果它们的积P P是定值，则当且仅当是定值，则当且仅当_时，它们的和时，它们的和S S取得取得最最_值值_._.x=yx=y大大2S4x=yx=y小小2P3.3.三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式(1)(1)定理定理3 3 如果如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么 _ ,_ ,当且仅当当且仅当_时，等号成立时，等号成立.即：三个正数的算术平均即：三个正数的算术平均_它们的几何平均它们的几何平均.(2)(2)基本不等式的推广基本不等式

4、的推广对于对于n n个正数个正数a a1 1,a,a2 2,a,an n，它们的算术平均，它们的算术平均_它们的它们的几何平均，即几何平均，即 _ _ 当且仅当当且仅当_时，等号成立时，等号成立.abc33abca=b=ca=b=c不小于不小于不小于不小于12naaan n12na aa,a a1 1=a=a2 2=a=an n4.4.绝对值三角不等式绝对值三角不等式定理定理形形 式式等号成立的条件等号成立的条件1 1|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|abab0 02 2|a-c|a-c|a-b|+|b-c|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)0 05.5.绝对

5、值不等式的解法绝对值不等式的解法(1)(1)含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a|x|a|x|a的解集：的解集：(2)|ax+b|c(c0)(2)|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(c0)|ax+b|c(c0)型不等式的解法：型不等式的解法：|ax+b|c|ax+b|c_;_;|ax+b|c|ax+b|c_._.不等式不等式a0a0a=0a=0a0a0|x|a|x|a|x|a_x|-ax|-ax xaa x|xx|xa a或或x x-a-axR|x0 xR|x0R R-cax+bc-cax+bcax+bcax+bc或或ax+b-cax+b-c判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(

6、请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”).”).(1)(1)若若ab,ab,则一定有则一定有 ()()(2)(2)若若 则则n1.()n1.()(3)|x-1|-|x-5|2(3)|x-1|-|x-5|b|.()|a|b|.()11.ababn,abab1ab【解析解析】(1)(1)错误错误.当当ab0ab0时，有时，有 当当ab0ab0 x0，求函数，求函数 的最大值的最大值.(2)(2)若若0 x3,0 x0,y0,x0,y0,且且9x+y-xy=0,9x+y-xy=0,求求x+yx+y的最小值的最小值.【思路点拨思路点拨】对于对于(1)(2)(1)(2)可根据题目条件，变形构造出可根据

7、题目条件，变形构造出“和和”或或“积积”为定值的形为定值的形式，利用基本不等式求解；对于式，利用基本不等式求解；对于(3)(3)应将已知条件变形并建立与应将已知条件变形并建立与x+yx+y的关系，然后再的关系，然后再利用基本不等式求解利用基本不等式求解.22xx3f xx【规范解答规范解答】(1)x0,f(x)=(1)x0,f(x)=当且仅当当且仅当 即即 时等号成立时等号成立,f(x)f(x)的最大值为的最大值为 此时此时(2)0 x0,(2)0 x0,f(x)=2x(3-x)=2f(x)=2x(3-x)=2x(3-x)x(3-x)当且仅当当且仅当x=3-x,x=3-x,即即 时等号成立时等

8、号成立.函数函数y=2x(3-x)y=2x(3-x)的最大值为的最大值为33312x1(2x)122x126,xxx32x,x6x2126,6x.22x3x92.223x29.2(3)x(3)x0,y0,y0,9x+y-xy=00,9x+y-xy=0，9x+y=xy,9x+y=xy,即即x+y=x+y=当且仅当当且仅当 时，时，“”成立成立.又又即即x=4,y=12x=4,y=12时，上式取等号时，上式取等号.故当故当x=4,y=12x=4,y=12时，时，x+yx+y取最小值取最小值16.16.191,xy19y9x(xy)10 xyxy（）y 9x21061016.xyy9xxy191,x

9、y【拓展提升拓展提升】基本不等式的一般形式及条件基本不等式的一般形式及条件基本不等式的一般形式为基本不等式的一般形式为a a1 1+a+a2 2+a+an n(其中其中a a1 1,a,a2 2,a,an n为正实数为正实数)当且仅当当且仅当a a1 1=a=a2 2=a=an n时取等号时取等号.利用式求最小值要求积为定值，利用式求最大值要求和为定值利用式求最小值要求积为定值，利用式求最大值要求和为定值.nn12n12nnaaaaaa或12naaan【变式训练变式训练】已知已知a,b,c(0,+),a,b,c(0,+),且且a+b+c=1,a+b+c=1,求求 的最小值的最小值.【解析解析】

10、a,b,c(0,+),a,b,c(0,+),(a+b)+(b+c)+(c+a)(a+b)+(b+c)+(c+a)()()即即2(a+b+c)2(a+b+c)()9.()9.111abbcac111abbcca331113(ab)(bc)(ca)39,ab bc ca111abbcca又又a+b+c=1a+b+c=1，当且仅当当且仅当a=b=c=a=b=c=时，时，“”成立，成立，的最小值为的最小值为1119,abbcca213111abbcac9.2考向考向 2 2 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法【典例典例2 2】解下列不等式：解下列不等式：(1)|4x+5|25.(1)|4x+5|25

11、.(2)|2x-1|2-3x.(2)|2x-1|2.(3)|2x+1|-|x-4|2.【思路点拨思路点拨】(1)(2)(1)(2)可利用绝对值的定义转化为不含绝对值的不等式求解可利用绝对值的定义转化为不含绝对值的不等式求解.对对(2)(2)也也可采用两边平方法求解可采用两边平方法求解.(3).(3)可采用可采用“零点分段法零点分段法”，也可构造函数，利用分段函数，也可构造函数，利用分段函数的图象进行求解的图象进行求解.【规范解答规范解答】(1)|4x+5|25,(1)|4x+5|25,4x+5254x+525或或4x+5-254x+5-254x204x20或或4x-30,x54x-30,x5或

12、或xx原不等式的解集为原不等式的解集为x|x5x|x5或或x .x .(2)(2)方法一：方法一：|2x-1|2-3x|2x-1|2-3x解得解得原不等式的解集为原不等式的解集为x|x .x|x .15.215211x,x,2212x23x2x123x,或113xx.225或35方法二：方法二：|2x-1|2-3x|2x-1|2-3x解得解得原不等式的解集为原不等式的解集为x|x .x|x2,(2x+1)-(x-4)2,解得解得x-3,x4x-3,x4；当当 x4x2,(2x+1)+(x-4)2,解得解得 x4x2-(2x+1)+(x-4)2，解得，解得x-7,x-7.x-7,x-7.综上可知

13、，不等式的解集为综上可知，不等式的解集为x|x-7x|x .x .125x,3531x2 53方法二：令方法二：令y=|2x+1|-|x-4|,y=|2x+1|-|x-4|,则则作出函数作出函数y=|2x+1|-|x-4|y=|2x+1|-|x-4|与函数与函数y=2y=2的图象如图的图象如图,它们的交点为它们的交点为(-7(-7，2)2)和和所以所以|2x+1|-|x-4|2|2x+1|-|x-4|2的解集为的解集为(-,-7)(-,-7)1x5x21y3x3x42x5x4，5,2.3（）5,.3（）【互动探究互动探究】将本例将本例(3)(3)的不等式改为的不等式改为“|2x+1|+|x-4

14、|2”|2x+1|+|x-4|2”，试求该不等式的解集试求该不等式的解集.【解析解析】当当x x 时，时，-(2x+1)+4-x2,-(2x+1)+4-x2,解得解得当当 时，时，2x+1+4-x22x+1+4-x2，解得解得x-3,x-3,当当x4x4时，时，2x+1+x-422x+1+x-42，解得解得 x4.x4.综上可知不等式的解集为综上可知不等式的解集为R.R.1211x,x;32 1x421x42；5x,3【拓展提升拓展提升】用用“零点分段法零点分段法”解解|x-a|+|x-b|c|x-a|+|x-b|c或或|x-a|+|x-b|c(c0)|x-a|+|x-b|c(c0)型不等型不

15、等式的一般步骤式的一般步骤(1)(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根.(2)(2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间.(3)(3)由所分区间去掉绝对值符号可得若干个不等式，解这些不等式，求出解集由所分区间去掉绝对值符号可得若干个不等式，解这些不等式，求出解集.(4)(4)取各个不等式解集的并集即原不等式的解集取各个不等式解集的并集即原不等式的解集.【变式备选变式备选】解下列不等式解下列不等式.(1)1|x-2|3.(1)18.(2)|x+3|+|x

16、-3|8.【解析解析】(1)(1)原不等式等价于不等式组原不等式等价于不等式组解得解得-1x1-1x1或或3x5,3x5,原不等式的解集为原不等式的解集为x|-1x1x|-1x1或或3x5.3x5.x21,x1x3,1x5,x23,或即(2)(2)当当x-3x8,-x-3-x+38,解得解得x-4,x-4,此时不等式的解集为此时不等式的解集为x|x-4;x|x-4;当当-3x3-3x8x+3-x+38，此时不等式无解，此时不等式无解;当当x3x3时，时，x+3+x-38x+3+x-38，即，即x4,x4,此时不等式的解集为此时不等式的解集为x|x4.x|x4.综上综上,不等式的解集为不等式的解

17、集为x|x-4x|x4.x4.考向考向 3 3 含有参数的绝对值不等式的解法含有参数的绝对值不等式的解法【典例典例3 3】(2012(2012新课标全国卷新课标全国卷)已知函数已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)(1)当当a=-3a=-3时，求不等式时，求不等式f(x)3f(x)3的解集的解集.(2)(2)若若f(x)|x-4|f(x)|x-4|的解集包含的解集包含1 1，2 2，求，求a a的取值范围的取值范围.【思路点拨思路点拨】(1)(1)将将a=-3a=-3代入函数代入函数f(x)f(x)，然后通过零点分区间讨论不等式，然后通过零点分区间讨

18、论不等式f(x)3f(x)3的的解集解集.(2).(2)解不等式解不等式f(x)|x-4|f(x)|x-4|的解集，由区间的解集，由区间1 1，2 2是解集的子集确立是解集的子集确立a a的取值的取值范围范围.【规范解答规范解答】(1)(1)当当a=-3a=-3时，时，当当x2x2时，由时，由f(x)3f(x)3，得，得-2x+53-2x+53，解得，解得x1.x1.当当2x32x3时，时，f(x)3f(x)3无解无解.当当x3x3时，由时，由f(x)3f(x)3，得，得2x-532x-53，解得，解得x4.x4.综上所述：不等式综上所述：不等式f(x)3f(x)3的解集为的解集为(-,1(-

19、,14,+).4,+).2x5,x2,f x1,2x3,2x5,x3.(2)(2)由由f(x)|x-4|f(x)|x-4|，得，得|x+a|+|x-2|x-4|x+a|+|x-2|x-4|即即|x-4|-|x-2|x+a|x-4|-|x-2|x+a|，当当xx1,21,2时，时，|x-4|-|x-2|x+a|x-4|-|x-2|x+a|4-x-(2-x)|x+a|4-x-(2-x)|x+a|-2-ax2-a.-2-ax2-a.由条件得由条件得-2-a1-2-a1且且2-a22-a2，即，即-3a0.-3a0.故满足条件的故满足条件的a a的取值范围为的取值范围为-3,0-3,0.【拓展提升拓展

20、提升】含有参数的不等式的解法含有参数的不等式的解法若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项，一般采用数形结合法若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项，一般采用数形结合法(包括包括几何法、图象法几何法、图象法)和区间讨论法，数形结合法是根据绝对值意义在数轴上找出满足和区间讨论法，数形结合法是根据绝对值意义在数轴上找出满足题意的数，直接写出解集，或构造函数画出图象，由图象直接写出未知数的取值范题意的数，直接写出解集，或构造函数画出图象，由图象直接写出未知数的取值范围得出解集围得出解集.区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数值等于零时未知数的值区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的

21、代数值等于零时未知数的值.将这些值依次标在数轴上，这样数轴被分成若干个区间，这些区间内的不等式的解将这些值依次标在数轴上，这样数轴被分成若干个区间，这些区间内的不等式的解集的并集即为不等式的解集集的并集即为不等式的解集.分段讨论时，注意不要遗漏区间的端点分段讨论时，注意不要遗漏区间的端点.【变式训练变式训练】设函数设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)(1)若若a=-1a=-1，解不等式，解不等式f(x)3.f(x)3.(2)(2)如果对于如果对于xRxR，f(x)2f(x)2恒成立，求恒成立，求a a的取值范围的取值范围.【解析解析】(1)(1)当当

22、a=-1a=-1时，时，f(x)=|x-1|+|x+1|f(x)=|x-1|+|x+1|，由由f(x)3f(x)3得得|x-1|+|x+1|3|x-1|+|x+1|3，当当x-1x-1时，不等式化为时，不等式化为1-x-1-x3,1-x-1-x3,即即-2x3,-2x3,不等式组不等式组 的解集为的解集为(-,(-,；x1f x3，32当当-1x1-11x1时，不等式化为时，不等式化为x-1+x+13,x-1+x+13,即即2x3,2x3,不等式组不等式组 的解集为的解集为综上得综上得f(x)3f(x)3的解集为的解集为 1x1,f x3 x1,f x33,).233,.22(2)(2)若若a

23、=1,f(x)=2|x-1|a=1,f(x)=2|x-1|，不满足条件，不满足条件;若若a1,a1a1，f(x)f(x)的最小值为的最小值为a-1,a-1,所以对于所以对于xRxR，f(x)2f(x)2恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是|a-1|2|a-1|2，即即a3a3或或a-1,a-1,aa的取值范围为的取值范围为(-,-1(-,-13,+).3,+).2xa1,x1,f xa1,1xa,2xa1,xa,考向考向 4 4 含绝对值不等式的恒成立问题含绝对值不等式的恒成立问题【典例典例4 4】(1)(1)若不等式若不等式|x+1|+|x-3|a|x+1|+|x-3|a的解集为的解集为R

24、R，求，求a a的取值范围的取值范围.(2)(2013(2)(2013济宁模拟济宁模拟)不等式不等式|x+3|-|x-1|a|x+3|-|x-1|a2 2-3a-3a对任意实数对任意实数x x恒成立，求实数恒成立，求实数a a的取的取值范围值范围.【思路点拨思路点拨】(1)(1)求出求出|x+1|+|x-3|x+1|+|x-3|的取值范围，只要的取值范围，只要a a小于小于|x+1|+|x-3|x+1|+|x-3|的最小值即的最小值即可可.(2)(2)求出求出|x+3|-|x-1|x+3|-|x-1|的取值范围，只要使其最大值小于或等于的取值范围，只要使其最大值小于或等于a a2 2-3a-3

25、a即可即可.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为|x+1|+|x-3|x+1|+|x-3|表示数轴上的点表示数轴上的点P(x)P(x)与两定点与两定点A(-1)A(-1)，B(3)B(3)距离距离的和，即的和，即|x+1|+|x-3|=|PA|+|PB|.|x+1|+|x-3|=|PA|+|PB|.由绝对值的几何意义知，由绝对值的几何意义知，|PA|+|PB|PA|+|PB|的最小值为的最小值为|AB|=4|AB|=4，无最大值，无最大值，不等式不等式|x+1|+|x-3|a|x+1|+|x-3|a的解集为的解集为R R，a a的取值范围为的取值范围为a4.amf(x)m的解集为的解集为

26、，则，则f(x)mf(x)m恒成立恒成立.【变式训练变式训练】(2013(2013福州模拟福州模拟)已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log2 2(|x+1|+|x-2|-m).(|x+1|+|x-2|-m).(1)(1)当当m=5m=5时，求函数时，求函数f(x)f(x)的定义域的定义域.(2)(2)若关于若关于x x的不等式的不等式f(x)1f(x)1的解集是的解集是R R，求，求m m的取值范围的取值范围.【解析解析】(1)(1)由题意由题意|x+1|+|x-2|-50.|x+1|+|x-2|-50.令令g(x)=|x+1|+|x-2|g(x)=|x+1|+|x-2|解解g(x)

27、-50g(x)-50得得x3x3或或x-2x3x|x3或或x-2.x-2.2x1,x1,3,1x2,2x1,x2,(2)f(x)1,(2)f(x)1,即即loglog2 2(|x+1|+|x-2|-m)1=log(|x+1|+|x-2|-m)1=log2 22,2,即即|x+1|+|x-2|-m2.|x+1|+|x-2|-m2.由题意，不等式由题意，不等式|x+1|+|x-2|-m2|x+1|+|x-2|-m2的解集是的解集是R R，则，则m|x+1|+|x-2|-2m|x+1|+|x-2|-2在在R R上恒成立上恒成立.而而|x+1|+|x-2|-23-2=1|x+1|+|x-2|-23-2=1，故，故m1.m1.