2022年中考数学复习专题　几何压轴题题型分类整理.docx

1、专题训练一 平移问题基本模型经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等，因此可以通过平移构造平行四边形，转移线段和角.（基本模型图1） （基本模型图2）如图1，将线段CD进行平移可得到线段EA，连接EC，AD.根据平移的性质，得CDEA.四边形CDAE是平行四边形.ECAD.同理，四边形CDFA、四边形CDBG和四边形CDHB均为平行四边形.如图2，平移线段AB，即可得到ABCP、ABDM、ABND和ABQC.典型题在RtBAC中，A=90，D,E分别为AB，AC上的点.（1） 如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CFEB，且CF=EB，连接

2、DF交EB于点G，连接BF，求EBDC的值;（2） 如图2,若CE=kAB，BD=kAE，EBDC=12，求k的值.（典型题图1） （典型题图2）拓展题1.如图，在四边形ABCD中，ADBC，BAC=9012CAD，AC与BD相交于点E，且BEC=60,若AD=5，BD=15，求AC的长.（1题图）2.如图,在ABC中，点D在AB的延长线上，点E在BC上，AC=BC=AD=DE，BE=BD，求BAC的度数.（2题图）3.阅读下面材料:数学课上，老师出示了下列问题:（1）如图1，过点B作AB的垂线BD，延长AB到点C,使AC=BD，延长BD到点E，使ED=CB，连接AE，CD，且CD的延长线交A

3、E于点F，求AFC的度数;（2）如图2,在ABC中,AB=AC=5m，D是边BC上一点，连接AD，延长CB到点E，使BE=kAD，过点E作EFAD，交AD的延长线于点F.若AF=kCD,tanC= 34，求EF的长.(用含m，k的式子表示)（3题图1） （3题图2）同学们经过思考后，交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量，发现AFC的度数等于45”小伟:“通过平移线段AC，BD，ED，BC中的一条线段，可以构造两个全等三角形，进而可以获得等腰直角三角形,那么AFC的度数等于45这一结论也就显而易见了.”老师:“只要类比小伟平移线段构造全等三角形的思路与方法，那么（2）的问题就能迎刃而解.”请

4、你根据上面的材料，完成上面的两个问题的解答过程.4.如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD+BC=BD,AC与BD 相交于点F。（1）求证：BCF为等腰三角形；（2）如图2，若BAC=45，且AF：FC=1：2。求证：DBC=2ABD；（3）如图3，若BAC=60，点E在AD上，ACE=ABD，AD=2，CE=5，求线段BD的长；专题训练二 作平行线构造全等或相似基本模型如图1：在ABC中，D为AB边上一点。 过点D作DEBC交AC于点E。 ADE=B，AED=C,ADEABC.如图2：在ABC中，D为BA的延长线上一点。 过点D作DEBC交CA的延长线于点E。D=B，E=C,ADEABC.

5、典型题（1）如图1，在ABC中，D是BC的中点，E是AC上的一点，AEEC=13，连接AD与BE相交于点F，求AFFD的值。小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法，从而解决了问题。下面是小明的解法：解：过点C作CHBE交AD的延长线于点H（如图1-1）CHBE，D是BC的中点，FHFD=BCBD=21. CHFE,AEEC=13,AFFH=AEEC=13. AFFD=AFFH*FHFD=13*21=23. 小英添加的辅助性是：过点D作DGBE交AC于点G（如图1-2）小聪添加的辅助性是：过点A作AMBE交CB的延长线于点M（如图1-3）.请你在小英和小聪添加的辅助线中选

6、择一种完成解答；拓展题1.（1）如图1，在ABC中，D为边BA的延长线上的点，过点D作DEBC交CA的延长线于点E，若ADAB=12,DE=5 ,求线段BC的长；（2）如图2，在ABC中，D是边AB上的一点，E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F，若ADBD=12，求EFBF的值；（3）如图3，在ABC中，D是边AB上的一点，E为CA的延长线上的点，连接BE、CD交于点F。若ADBD=12,AEAC=13,ACD的面积为2，求CEF的面积。2.如图1，在ABC中，AB=AC，D是AC边的中点，过点A作AEBD于点E,AE的延长线交BC于点F.（1）若AF=CF,求证：AC2=CFBC；（2）

7、若，求的值；（3）如图2，若BAC=90，求证：BF=2CF.3.如图，O是ABC的边BC上一点，过点O的直线分别交射线AB，线段AC于点M，N，且=m，=n.（1）_（用含m的式子表示）；_（用含n的式子表示）；（2）若O是线段BC的中点，求证：m+n=2；（3）若k（k0），求m，n之间的数量关系.（用含k的式子表示）4.在ABC中，ACB=90，E为AC上一点，连接BE.（1）如图1，当AC=BC时，将BCE绕点C逆时针旋转90得到ACF，点E的对应点F落在BC的延长线上.求证：BEAF；（2）过点C作CPBE，垂足为P，连接AP并延长交BC于点Q.如图2，若AC=BC，求证：；如图3，

8、若AC=3a，AE=2EC，BC=kAC，求线段AP的长.（用含a，k的式子表示）专题训练三 角平分线问题模型一.如图，遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时，一般过该店作另一边的垂线，构造双垂直，运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求解。模型二.如图，当题目中有垂直于角平分线的线段PA时，通过延长AP交ON于点B，构造OPBOPA，进而将一些线段和角进行等量代换来求解。模型三.如图，若P是MON的平分线上一点，A是边OM上任意一点，可考虑在边ON上截取OB=OA，连接PB，构造OPBOPA，进而将一些线段和角进行等量代换。模型四.如图，当题目中同时出现角平分线和平行线时，注意找等腰三角形，

9、即OP平分MON，PQON，则OPQ为等腰三角形，一般地，角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件存在，即可得到第三个条件。模型五.如图，OP是MON的平分线，点A，B分别在OM，ON上，若MON+APB=180，则PA=PB，PAB=PBA.典型题如图，在ABC中，ABAC，BAC90如图1，k=1，BD平分ABC交AC于点D，CEBD，垂足E在BD的延长线上，探究线段CE和BD之间的数量关系，并证明；如图2，k=1，F为BC上一点，EFC=12B，CEEF，垂足为E，EF与AC交于点D，探究线段CE和FD之间的数量关系，并证明；如图3，F为BC上一点，EFC=12B，CEEF，垂足为E，

10、EF与AC交于点D请直接写出线段CE和FD的数量关系。拓展题46.如图1，在ABC中，AD为角平分线，点E在边AC上，ABEC，AD、BE交于F，FGAC交BC于G（1）求证：BDBF；（2）在图中找到一条与CD相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；（3）如图2，当AFAE，且cosAEF=k时，求CDFG的值（用含有k的式子表示）47阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，ACB90，点D在AB上，且BAC2DCB，求证：ACAD小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分CAB，与CD相交于点E方法2：如图3，作DCFDCB，

11、与AB相交于点F（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明ACAD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、BD上，BDE2ABC，AFEBAC，延长DC、FE相交于点G，且DGFBDE在图中找出与DEF相等的角，并证明；若ABkDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想48.如图1，在四边形ABCD中，ADBC，BCCD，点E在CD上，且ABEC（1）求证：BEDABC；（2）在图1中找出与AB相等的线段，并证明；（3）将BCE沿BE翻折，得到BFE，BF与CD相交于点O若点F恰好落在AD的延长线上（如图2），ADm，ECn（其

12、中mn），求DF的长（用含m、n的代数式表示）49.（1）如图1，在ABC中，AC=BC，过点A作ADBC，点E、F分别在BC、AC上，DE与BF相交于点G，且DEB+BFA=180. 求证：C=EGB 在图1中找出与DE相等的线段并证明.（2）如图2，在ABC中，AC=BC，D为BC边上一点，将BCD沿直线BD翻折，点C的对应点为点E，AEBC，且EBA=22.5，求BCDC的值.50.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OBOD，OCOAAB，ADm，BCn，ABD+ADB=ACB.（1）填空：BAD与ACB之间的数量关系为 ；（2）求 mn 的值；（3）如图2，将ACD沿

13、CD翻折，得到ACD，连接BA，与CD相交于点P若CD1+52，求PC的长.51.如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，D45，E是BD上一点，且BAECBD,AE交BC于点M，将CBD沿BC翻折得到BCF，BF交AE于点G，交AC于点H.（1）AGF的度数为 ;（2）探究BG与CD之间的数量关系，并证明;（3）若AGkGM，求 CHAG 的值.52.如图1，在RtABC中，A90，ABAC，点D在线段BC上，EDB12C，DE交AB于点F，BEDE于点E，探究线段BE与DF之间的数量关系，并证明。小白的想法是，将BDE以直线DE为对称轴翻折（如图2），再通过证明GBHFDH得到

14、结论。请按照小白的想法解答此题：（2）如图3，在ABC中，ACB2ABC，E是线段BC的延长线上一点，CEkBC，AD平分BAC交BC于点D，EFAD于点F，交AC于点G，求 CDCG 的值.53.小明遇到这样一个问题：如图，在ABC中，BAC120，ADBC于点D，且ABBDDC，求C的度数小明通过探究发现，如图2，在CD上取一点E，使EDBD，再证明ADBADE，可使问题得到解决.（1）根据阅读材料回答，ADB ADE的条件是 ：（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，在ABC中，过点B任意作一条射线l，在l上取一点D，使

15、ABDACD，AMBD于点M，且BMMDCD，探究AB与AC之间的数量关系，并证明；（3）如图4，在RtABC中，ACB90，BC4，D，E分别是BC，AC上的点，ACCD，BAC4512DEC，连接BE，若CE1，求SABE专题训练四二倍角问题基本方法1.二倍角等腰法：小角等腰法：以二倍角为外角构造等腰三角形：大角等腰法：以二倍角为底角构造等腰三角形.2.二倍角角分线法：作二倍角的角分线，平分二倍角.3.二倍角对称角法：小角或大角的对称角.4.二倍角加倍法：以小角的一边为对称轴作二倍角5.二倍角顶角法：2与90-，以2为顶角构造等腰三角形.典型题【问题原型】有这样一个问题：如图1，在ABC中

16、，BCA=2A，BD为边AC上的中线，且.求证：BCD为等边三角形.小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE=BC，如图2，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题【解决问题】(1)请你利用小聪的办法解决此问题；【应用拓展】(2)如图3，在ABC中，ABC=2ACB，AB=3，BC=5，求线段AC的长.拓展题1.如图，在ABC中，C=2B，点F在AB上，点G在AC上，CD=CG，FDBC于点D，且FD平分BFG，FD=kDG，探究AB与AC之间的数量关系，并证明.（用含k的式子表示）2.如图，在ABC中，A=90，AB=AC，D为BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且满足AEF=2F

17、DC，若EF=5，AC=6，求线段DF的长.3.如图，在ABC中，ADBC于点D，E是AD上一点，B=2DCE，AD=kDC，BD=mDE，求的值.（用含m，k的式子表示）4.如图，在ABC中，ADBC于点D，点E在AD上，ABE=，C=2DBE，AE=10，AC=15，求线段DE的长。5.如图1，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE=CE，点G在线段CD上，CG=CA，GF=DE，AFG=CDE，连接AG。（1） 填空：与CAG相等的角是 ;（2） 探究线段AD与BD之间的数量关系，并证明；（3） 如图2，若BAC=，ABC=2ACD，求的值。6.如图1，在ABC中，AC

18、B=90，CDAB于点D，延长CD至点E，使得CE=AB，连接AE，且BAE+2BAC=90，连接EB并延长交AC的延长线于点F。（1） 填空：AEC与BAC之间的数量关系为 ；（2） 求的值；（3） 如图2，连接FD，求的值；7.如图，在ABD中, ,，E是BA边上一点,连接DE，过点C作交ED的延长线于点F,交BD的延长线于点G，.(1)求的度数;(2)若,求线段CF的长.(用含k,m的式子表示)专题训练五旋转问题基本模型模型1. 遇到60旋转60，构造等边三角形（如图1）模型2. 遇到90旋转90，构造等腰直角三角形（如图2，3）或全等三角形（如图4，5）模型3. 遇到等腰三角形旋转顶点

19、，构造全等三角形（如图6，7，8模型4. 遇到中点旋转180，构造中心对称（如图9）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若ACB=ACD=ABD=ADB=60，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到点E，使BE=CD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC绕着点A逆时针旋转60，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD在此基础上，同学们作了进一步的研

20、究：（1）小颖提出：如图4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=45”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并证明（2）小华提出：如图5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，并证明拓展题1. 如图1，在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是线段BC上一点，过点B作BE/AC，过点D作DEAD，垂足为D，BE，DE两线相交于点E，连接AE，交BD

21、于点M（1）求证：DAE=45（2）如图2，延长AD，BE交于点F，若BD=kCD，求EFAB的值（用含k的式子表示）2. 如图1，在ABC中，BAC=60，点D在BC边上，连接AD，AD=DC，点E，F分别在AC，AD上，且DEF为等边三角形（1）填空：与B相等的角是（2）求证：BD=AF（3）若BC=kBD（k2），求ACAB的值（用含k的式子表示）3. 阅读下列材料:数学课上，,老师出示了这样一个问题:如图1.在ABC中,AC= BC,ACB=90,点D,E在AB上,且AD= BE,DGCE ,垂足为G,DG的延长线与BC相交于点F ，探究线段AD ,BD ,DF之间的数量关系,并证明。

22、某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量，发现BCE与BDF存在某种数量关系。”小强：“通过观察和度量,发现图1中有一条线段与CE相等。”小伟：“通过构造三角形,证明三角形全等,可以得到线段AD,BD ,DF之间的数量关系。”. .老师:“保留原题条件,再过点D作DHBC ,垂足为H,DH与CE相交于点M(如图2).如果给出DGCG的值,那么可以求出DMCM的值。”(1)在图1中找出与线段CE相等的线段,并证明; (2)探究线段AD ,BD ,DF之间的数量关系,并证明;(3)若DGGF=n,求DMCM的值. (用含n的式子表示)4. 在RtACB中，ACB=90，B

23、=30，M为AB的中点,P为BC的延长线上一点，CP BC，连接PM，AC=n，CP=m.(1)如图1，将射线MP绕点M逆时针旋转60，,交CA的延长线于点D，且BC=AD+CP.在图中找出与MDC相等的角，并证明；求mn的值.(2) 如图2，若将射线MP绕点M顺时针旋转60，交AC的延长线于点H，求CH的长. (用含m，n的式子表示)5. 阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在RtABC中，ACB=90，AC= BC，点D在BC上，点E在AC上，ADC =2EBC，若CD = mCE ，求CEAD的值. (用含m的式子表示)小明通过探究发现：将ACD绕点C逆时针旋转90得到BCF(如

24、图2)，再证出EF= BF，问题就可以解决。(1)请你根据小明的思路，解决这个问题；(2)如图3，在等边ABC中，点D在AB上,点E在CD上，EBC=2ACD，点F在BE上FDC=60，若EF=kBF ，求DEDF的值. (用含k的式子表示)6. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=AC，CBAC=90，D是线段BC上一点，连接AD，点D作DEDA，过点B作BE/AC，BE与DE相交于点E，.求证：DA = DE.小明通过探究发现，要证明AD= DE，可以考虑将BDE通过旋转，使DE与DA重合，由此得到辅助线：过点D作BC的垂线，交BA的延长线于点F(如图2)，从而可

25、证FDABDE，使问题得到解决。(1)根据阅读材料回答：FDA与BDE全等的条件是_；(填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”)(2)证明小明发现的结论；参考小明思考问题的方法,解决下面的问题：(3)如图3，在ABC和ADE，BAC =DAE=90，AB = mAC，AE =kAD，连接BE，CD，作AGBE，直线AG交CD于点F，求AFEB的值. (用含k，m的式子表示)7. 阅读理解：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,ACB=60-ADB,若BC=2，BD=3，求线段AB的长。小明通过探究发现，如图2，以点 A 为旋转中心构造ACEABD，通

26、过计算可求得线段BE的长，进而使问题得到解决。（1） 参考小明思考问题的方法，继续添加必要的辅助线完成上面的问题；（2） 如图3,在四边形 ABCD 中，BAC=90，E为BD的中点，且DBC=BAE，AC=kAB BCAB= _；（用含k的式子表示） 参考小明思考问题的方法或用其他方法，求CDAD的值。8.在RtABC中，ACB=90，BC=kAC，CDAB于点D，E是AD上的一点，连接CE，将射线EC绕着点E顺时针旋转ACD的度数，交BC于点G，过点C作CFEG于点F。如图1，找到与FCG相等的角，并证明；如图2，连接BF并延长，交AC 于点H，探究HC与DE之间的数量关系，并证明（用含k

27、的式子表示）9阅读下面材料.小明遇到这样一个问题，如图1，是ABC等边三角形，D是ABC内一点，AD=2，BD=1，CD=3，求ADB的度数小明通过探究，为同学们提供了解题的想法：想法1：将BDC绕着点B逆时针旋转60，得到BEA，连接DE（如图2），分别计算ADE与BDE的度数即可；想法 2：将BAD绕着 点B 顺时针旋转60， 得到BCF，连接DF（如图3），分别计算BFD与DFC的度数即可；请回答：（1）选择其中的一种想法，求ADB的度数；参考小明的思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图4，正方形ABCD的边长为1，点E，F在正方形内，EAF=ECF=45，若AEF的面积为15，求SB

28、EC+SDFC的值；（3）如图5，在ABC中，AB=AC=2，BAC=90，D是ABC内一点，则AD、BD、CD三条线段的和的最小值为_专题训练六一边一角问题基本模型满足“一边一角”的条件：AB=DE，A=D(如图1，图2)，或AB=DE，A十EDG=180（如图1，图3）.“一边一角”构造分为以下两种模型：模型1：一边一等角(1)如图1，将相等的边（已知相等的边或所求相等的边）和相等的角（即AB=DE，A=D)放在一个三角形（即ABC)中；(2)如图2，以相等的一条线段(DE)的另一个端点（点E)为顶点，作E=B，则ABCDEF.模型2：一边一互补角(1)如图1，将相等的边和互补的角（即AB

29、=DE，A+EDG=180)放在一个三角形（即ABC)中；(2)如图3，延长GD，得到A=FDE，即将“一边一互补角”转化为“一边一等角”，以相等的一条线段(DE)的另一个端点（点E)为顶点，作E=B，则ABCDEF.典型题阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点F，CE=BE，且BEC+BDC=180.求证：BF=CA.小明经探究发现，在AB上取一点G(不与点E重合)，使CE=CG，连接CG(如图2)，从而可证BEFCGA，使问题得到解决，(1)请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：(

30、2)如图3，在等腰ABC中，AB=AC，点D，F在直线BC上，DE=BF，连接AD，过点E作EGAC交FG于点G，DFG+D=BAC，请在图中找出一条和线段AD相等的线段，并证明.拓展题1.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1，在ABC中，AB = AC，E是BC上一点，点D在AE上，BDE = BAC = 2CDE，连接BD，CD.求证:BD = 2AD.小明通过探究发现，由已知条件，能够证明ABD = CAD，然后考虑将ACD通过旋转，使BA与AC重合，ABD和CAD重合，因此得到辅助线:在BD上截取BF = AD，连接AF，从而可证BAFACD（如图2），使问题得到解决.（1）根据

31、阅读材料回答:BAF与ACD全等的依据是 _ ；（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）（2）证明小明发现的结论；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题:（3）如图3，在ABC和ADE中，BAC = DAE = 90，AB = AC，AB = AD，连接BE，作AGBE交BE的延长线于点G，交CD于点F，BE = kAF，求k的值.2.如图，在ABC中，AB = AC，BAC = 90，点D在AC上，点E在BA的延长线上，且CD = AE，过点A作AFCE，垂足为F，过点D作BC的平行线，交AB于点G，交FA的延长线于点H.（1）求证:ACE = BAH；（2）在图中找

32、出与CE相等的线段，并证明；（3）若GH = kDH，求 AH AF 的值.（用含k的式子表示）3.如图1，在ABC中，AB = AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE = DC，F是DE与AC的交点，且DF = FE.（1）图1中是否存在与BDE相等的角?若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由；（2）求证:BE = EC；（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“F是DE与AC的交点，且DF = FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“F是ED的延长线与AC的交点，其他条件不变（如图2）”当DF = kFE，AB = 1，ABC = 时，求线段BE

33、的长；（用含k，a的式子表示）若DE = 4DF，请直接写出的值.4.如图1，在ABC中，点D，E分别在BC，AC上，BD=BA，点F在BE上，.（1）在图1中找出与相等的角，并证明；（2）求证：；（3）如图2，连接FD，点M在EF上，求的值.（用含k的式子表示）5.如图，在四边形ABCD中，垂足为E，过点C作CFAD，交对角线BD于点F.（1）求证：；（2）若，求的值.（用含k的式子表示）专题训练七 中点问题模型1. 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质。 等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”的性质得到：

34、BAD=CAD，ADBC，BD=CD，进而解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题。模型2. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常考虑构造斜边上的中线。 直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”，可得CD=AD=BD=12AB，有时有直角无中点，要找中点，可简记“直角+中点，等腰必呈现”。 作用：证明线段相等或求线段长；构造角相等进行等量代换。模型3. 遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等三角形。当遇到中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系，该类型经常会与中位线定理一起综合应用。模型4.

35、遇见三角形一边的中点，常考虑构造中位线。 在三角形中，如果有中点，可构造三角形中位线，利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且DE=12BC，ADEABC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题。典型类题（1） 如图1，若D为等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点，点E，F分别在AB、AC上，且EDF=90，连接AD，EF，当BC=，FC=2时，求线段EF的长度。（2） 如图2，若D为等边三角形ABC的边BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上， 且EDF=90，M为EF的中点，连接CM，当DFAB时，探究ED与CM之间的数量关系并证明。（3）如图3，若D为等边三角形ABC的边BC的中点，点E，

36、F分别在AB，AC边上， 且EDF=90，当BE=6，CF=0.8时，请直接写出线段EF的长度。1在ABC中，ABAC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作MEAM（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，BACm，则求DEC的度数（用含m的式子表示）；（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DEBC，若tanABCk，则求CECD的值（用含k的式子表示）2小明遇到这样一个问题；如图1，点E是BC中点，BAECDE，求证：ABDC小明通过探究发现，如图2，过点B作BFCD，交DE的延长线于点F再证明CDEBEF，使问题得到解决（1）根据阅读材料回答CDEBEF的条件是 （填“SSS”“AA

37、S”“ASA”或“HL”）；（2）写出小明的证明过程，参考小明思考问题的方法，解答下列问题；（3）已知，ABC中，M是BC边上一点，CMBM，E，F分别在是AB，AC上连接EF，点N是线段EF上一点FNEN，连接MN并延长交AB于点P，BAC2BPM2，如图3，当60时，探究BEMN的值，并说明理由3已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，CDBC，DECE，DECE，连接AE，点M是AE的中点（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB4时，求CM的长；（2）如图2，若点D在ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MNAE；（3）如图3，将图2中的CDE绕点C逆时针

38、旋转，使BCD30，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索MNAC的值并直接写出结果4阅读下面材料：小明遇到这样两个问题：（1）如图1，AB是O的直径，C是O上一点，ODAC，垂足为D，BC6，求OD的长；（2）如图2ABC中，AB6，AC4，点D为BC的中点，求AD的取值范围对于问题（1），小明发现根据垂径定理，可以得出点D是AC的中点，利用三角形中位线定理可以解决；对于问题（2），小明发现延长AD到E，使DEAD，连接BE，可以得到全等三角形，通过计算可以解决请回答：问题（1）中OD长为 ；问题（2）中AD的取值范围是 ；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（3）如图3，ABC中，B

39、AC90，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，ACmEC，AB2EC，ADnDB当n1时，如图4，在图中找出与CE相等的线段，并加以证明；直接写出CEEF的值（用含m、n的代数式表示）5阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABC中，ABAC，点D在BC边上，DABABD，BEAD，垂足为E，求证：BC2AE小明经探究发现，过点A作AFBC，垂足为F，得到AFBBEA，从而可证ABFBAE（如图2），使问题得到解决（1）根据阅读材料回答：ABF与BAE全等的条件是 （填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（

40、2）如图3，ABC中，ABAC，BAC90，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且CDFEAC，若CF2，求AB的长；（3）如图4，ABC中，ABAC，BAC120，点D、E分别在AB、AC边上，且ADkDB（其中0k），AEDBCD，求AEEC的值（用含k的式子表示）6如图1，在ABC中，点D为BC中点，点E在AC上，AD、BE交于点F，ADCBEC（1）写出与EBC相等的角： ；（2）若ADBF，求ADDF的值；（3）如图2，若ADBF，BCA90，BCm，求BE2（用含m的式子表示）专题八一线三等角问题【问题背景】（1）如图1，ABC是等腰直角三角形，ACBC，直线l过点C，AMl，BNl，垂足分别为M，N。求证：AMCCNB；【尝试应用】（2）如图2，ACBC，ACB90，N，B，E三点共线，CNNE，E45，CN1，BN2。求AE的长；【拓展创新】（3）如图3，在DCE中，CDE45，点A，B分别在DE，CE上，ACBC，ACB90，若tanDCA12，直接写出的值为。1.小明遇到这样一个问题：如图1，ABC