高考数学二轮复习课件第10讲-三角函数的图像与性质.ppt

1、一、三角函数图象的作法一、三角函数图象的作法1.几何法几何法 y=sinx 作图步骤作图步骤:(2)平移三角函数线平移三角函数线;(3)用光滑的曲线连结各点用光滑的曲线连结各点.(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线等分单位圆作出特殊角的三角函数线;xyoPMA xyoy=sinx-1 1 o1 A2 23 2 2.五点法作函数五点法作函数 y=Asin(x+)的图象的步骤的图象的步骤:(1)令相位令相位 x+=0,2,解出相应的解出相应的 x 的值的值;23 2 (3)用光滑的曲线连结用光滑的曲线连结(2)中五点中五点.(2)求求(1)中中 x 对应的对应的 y 的值的值,并描出相应五点并描

2、出相应五点;3.变换法变换法:函数函数 y=Asin(x+)+k 与与 y=sinx 图象间的关系图象间的关系:函数函数 y=sinx 的图象纵坐标不变的图象纵坐标不变,横坐标向左横坐标向左(0)或向右或向右(0)或向下或向下(k0)平移平移|k|个单位得个单位得 y=Asin(x+)+k 的图象的图象.要要特别注意特别注意,若由若由 y=sin(x)得到得到 y=sin(x+)的图象的图象,则向左则向左或向右平移应平移或向右平移应平移|个单位个单位.二、三角函数图象的性质二、三角函数图象的性质 注注 正正切切函数的对称中心有两类函数的对称中心有两类:一类是图象与一类是图象与 x 轴的交点轴的

3、交点,另一类是渐近线与另一类是渐近线与 x 轴的交点轴的交点,但无对称轴但无对称轴,这是与正弦、余这是与正弦、余弦函数的不同之处弦函数的不同之处.1.正弦函数正弦函数 y=sinx(x R)是奇函数是奇函数,对称中心是对称中心是(k,0)(k Z),对称轴是直线对称轴是直线 x=k+(k Z);余弦函数余弦函数 y=cosx(x R)是偶函数是偶函数,对称中心是对称中心是(k+,0)(k Z),对称轴是直线对称轴是直线 x=k (k Z)(正正,余余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线轴的直线,对对称中心为图象与称中心为图象与 x 轴的

4、交点轴的交点).2 2 2.正切函数正切函数 y=tanx(x R,x +k,k Z)是奇函数是奇函数,对称中心对称中心是是(,0)(k Z).2k 2 三、正、余弦函数的性质三、正、余弦函数的性质1.定义域定义域:都是都是 R.2.值域值域:都是都是-1,1.对对 y=sinx,当当 x=2k+(k Z)时时,y 取最大值取最大值 1;当当 x=2k+(k Z)时时,y 取最小值取最小值-1;对对 y=cosx,当当 x=2k(k Z)时时,y 取最大取最大值值 1,当当 x=2k+(k Z)时时,y 取最小值取最小值-1.2 23 3.周期性周期性:y=sinx、y=cosx 的最小正周期

5、都是的最小正周期都是 2;f(x)=Asin(x+)和和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是的最小正周期都是 T=.|2 4.奇偶性与对称性奇偶性与对称性:正弦函数正弦函数y=sinx(x R)是奇函数是奇函数,对称中心对称中心是是(k,0)(k Z),对称轴是直线对称轴是直线 x=k+(k Z);余弦函数余弦函数 y=cosx(x R)是偶函数是偶函数,对称中心是对称中心是(k+,0)(k Z),对称轴是直线对称轴是直线 x=k (k Z)(正正(余余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于直于 x 轴的直线轴的直线,对称中心为图象与对称中心

6、为图象与 x 轴的交点轴的交点).2 2 5.单调性单调性:y=sinx 在在 2k-,2k+(k Z)上单调递增上单调递增,在在2k+,2k+(k Z)上单调递减上单调递减;y=cosx 在在 2k,2k+(k Z)上单调递减上单调递减,在在 2k+,2k+2(k Z)上单调递增上单调递增.2 2 2 23 2.值域值域是是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值在上面定义域上无最大值也无最小值.1.定义域定义域:x|x +k,k Z.2 3.周期性周期性:是周期函数且周期是是周期函数且周期是 ,它与直线它与直线 y=a 的两个相邻的两个相邻交点之间的距离是一个周期交点之间的距离是一个周期 .

7、注注 一般说来一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期其周期性是性是:弦减半、切不变弦减半、切不变.四、正切函数的性质四、正切函数的性质1.给出四个函数给出四个函数:(A)y=cos(2x+/6)(B)y=sin(2x+/6)(C)y=sin(x/2+/6)(D)y=tan(x+/6)则同时具有以下两个性质的函数是则同时具有以下两个性质的函数是()最小正周期是最小正周期是 图象关于点图象关于点(/6，0)对称对称.2.已知已知f(x)=sin(x+/2)，g(x)=cos(x-/2)，则下列结论，则下列结论中正确的是中正确的是()(A)函数函数y=f(

8、x)g(x)的周期为的周期为2 (B)函数函数y=f(x)g(x)的最大值为的最大值为1 (C)将将f(x)的图象向左平移的图象向左平移/2单位后得单位后得g(x)的图象的图象 (D)将将f(x)的图象向右平移的图象向右平移/2单位后得单位后得g(x)的图象的图象 AD3.将函数将函数y=f(x)sinx的图象向右平移的图象向右平移/4个单个单位后再作关于位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则，则f(x)是是()(A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx B4.函数函数y=|tgx|cosx(0 x3/2，且，且x/2)的图象

9、是的图象是()C【解题回顾解题回顾】这类问题的求解难点是这类问题的求解难点是的确定，除的确定，除以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为x=x+/6，y=y，则易知函数在新坐标系中的方程，则易知函数在新坐标系中的方程是是y=3sin2x，而，而x=x-/6，故所求函数，故所求函数y=3sin2(x-/6)5.如下图，函数如下图，函数y=Asin(x+)(A0，0)的图像上的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5/12，3)和和(11/12，-3)求该函数的解析式求该函数的解析式 6.如果函数如果函数 y=sin

10、2x+acos2x 的图象关于直线的图象关于直线 x=-对称对称,求求 a 的值的值.8 例例3:在在ABC中中,已知内角已知内角,3A32BC边yxB周长为设内角,的解析式和定义域；求函数)()1(xfy 的最大值。求y)2(（2）xxcos1cos2cos，又又 223,2cos1cosxx，1,322cos ，0min，322arccosmax.三角形中的有关公式三角形中的有关公式 1.内角和定理内角和定理:三角形三内角之和为三角形三内角之和为,即即 A+B+C=.注注 任意两角和与第三个角总互补任意两角和与第三个角总互补;任意两半角和与第三个角的半角总互余任意两半角和与第三个角的半角总

11、互余;锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角都是锐角任两角和都是钝角任两角和都是钝角设设 ABC 中中,角角 A、B、C 的对边为的对边为 a、b、c,任意两边的平方和大于第三边的平方任意两边的平方和大于第三边的平方.三内角的余弦值为正值三内角的余弦值为正值 2.正弦定理正弦定理:=2R(R 为三角形外接圆的半为三角形外接圆的半径径).sinC csinA asinB b注注 正弦定理的一些变式正弦定理的一些变式:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时已知三角形两边一对角运用正弦定理求

12、解时,务必注意可务必注意可能有两解能有两解.3.余弦定理余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=等等,常选用余常选用余弦定理鉴定三角形的形状弦定理鉴定三角形的形状.b2+c2-a2 2bc4.射影定理射影定理:a=bcosC+ccosB.5.面积公式面积公式:S=aha=absinC=r(a+b+c)(其中其中 r 为三角形内为三角形内切圆半径切圆半径).121212 特别提醒特别提醒:(1)求解三角形中的问题时求解三角形中的问题时,一定要注意一定要注意 A+B+C=这一特性这一特性:A+B=-C,sin(A+B)=sinC,sin =cos ;(2)求解求解三角形中含有边角混合

13、关系的问题时三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化定理实现边角互化.A+B2 C2(2)sinA=,sinB=,sinC=;c2Ra2Rb2R判断三角形的形状判断三角形的形状1 ABC 中中,若若 sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C,判断判断 ABC 的形状的形状.直角三角形直角三角形 3 在在 ABC 中中,已知已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,试判断三角形的形状试判断三角形的形状.4 在在ABC中中,若若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB,试试判断三角形的形状判断三角形的

14、形状;正三角形正三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形直角三角形 2 在在 ABC 中中,已知已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,sinA+sinB=,试判断三角形的形状试判断三角形的形状.3解解:(1)(a+c)(a-c)=b(b-c),b2+c2-a2=bc.1.锐角锐角 ABC 中中,a、b、c 分别是角分别是角 A、B、C 的对边的对边.(1)若若(a+c)(a-c)=b(b-c),求求 A 的大小的大小;(2)y=2sin2B+sin(2B+)取最取最大值时大值时,求求 B 的大小的大小.6 故由余弦定理得故由余弦定理得 cosA=b2+c2-a2 2bc

15、 12=.(2)y=2sin2B+sin(2B+)=1-cos2B+sin2Bcos +cos2Bsin 6 6 6 =1-cos2B+sin2B 1232=1+sin(2B-)6 A 是锐角三角形的内角是锐角三角形的内角,0A .2 A=.3 当且仅当当且仅当 B=时取等号时取等号.3 B=.3 2.已知已知 ABC 的三个内角的三个内角 A,B,C 成等差数列成等差数列,求求 cosAcosC 的的取值范围取值范围.解解:ABC 的三个内角的三个内角 A,B,C 成等差数列成等差数列,2B=A+C 且且 A+B+C=180.B=60,C=120-A.cosAcosC=cosAcos(120-A)=cosAcos120cosA+cosAsin120sinA=-cos2A+sinAcosA 3212=-(1+cos2A)+sin2A 3414=sin(2A-30)-.12140A120,-302A-30210.-sin(2A-30)1.12-cosAcosC .12141412即即 cosAcosC 的取值范围是的取值范围是(-,.