高等数学集合及函数课件.ppt

1、高等院校非数学类本科数学课程授课教师：易学军 欢迎观看1 教学要求.答疑安排2相关竞赛3书籍选购4学科介绍.本学期内容第一章 集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（

2、这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念 ,。或，记为集合不属于；元素，记为属于集合元素。哪些元素不属于集合属于集合，也就是规定哪些元素定义一个集合放在一起就构成集合。简言之，把考察的对象AxAxAxAxAxAAA2.集合的表示法(1)列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。表示集合的方法有两种:)(|)()2(。具有特性来表示如下列出所具有的特性中元素将集合描述法：xpxxAxpxA注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）二、集合的基本运算。成的集合，称之为全集象（元素）的全体所构来表示所考虑的某种对或便

3、，我们常常用记号为了研究和叙述上的方 X 在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念 ，则，设有集合BA )(|。或记为的补集（或余集）：；且的差：与；且的交：与；或的并：与CAAAABxAxxBABABABxAxxBABABxAxxBABA?)(ABBA一般说来,ABB)(A ABAB ABB)(A AB=,ABAB ABB)(A 迪卡尔集1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必 n Z，使 n a n+1.实数与数轴上的点一一对应.三、实数、区间、邻域2.绝对值、距离任一实数 a 的绝对值|a|定义为：。0 ,0 ,|aaaaa数轴上任意两点

4、a，b 之间的距离为 d=|a b|。3.区间(1)闭区间 a,b=x|a x b abxO(2)开区间 (a,b)=x|a x b abOx。()(a,b=x|a x b (称为左开右闭区间)a,b)=x|a x a,(,b=x|x b,(,b)=x|x b,(,+)=x|x +=x|xR a(+)Oxa,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值左端点值 不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+U(x0,)=x|x x0|0 x0+o()x0 x0 x ),(U 00：邻域的点xx4.邻 域(x0,)=x|0|x x0|0 x0+o()x0 x0 x

5、 ),(U(),(U 000：或记为邻域的去心点xxx点 的某邻域，记为 U(x0).0 x点 的某去心邻域，记为 (x0).0 x点 x0=3 的 =0.1 邻域为点 x0=3 的去心 =0.1 邻域为例例1 1四、映射的基本概念1.映射，按照某种是两个非空集合，若，设AxBA fByf 与之对应，则称有唯一确定的确定的法则，或记为：的一个映射，记为到为从BAfBA 。，习惯上也记为，：AxxfyAxyxf)(下在映射称为下的像，在映射称为其中，fyxfxy中记为的定义域称为映射的一个原像AfDfA );(,的值域，为的全体所构成的集合称的像所有元素 fyx，即或记为)()(AffR ),(

6、|)()(;)(。AxxfyyAffRAfD注意：注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合 X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。如果 x X，存在唯一的 y=f(x)Y 与之对应；反过来,若 y Y,存在唯一的 x X 使得 y=f(x),则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。2.一一对应第二、三节 函 数一、函数的基本概念二、函

7、数的基本性质三、基本初等函数 四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义 )(,的定义域。称为函数其中，。，数，记为上的函为定义在则称对应，与，按照规则存在唯一的，使得一个规则为非空实数集。若存在设fAAxxfyAfxfRyAxfARAfxfy :)(就是映射实质上，函数函数的图形。为曲线的函数；称是为函数，或称习惯上，称)()(xfyxyxf处有定义。在点。此时，称函数函数值，记为处的在点称为函数所对应的 ),(00000000 xfyyxfyxfRyAxxx。，即或域，记为的值，称为函数时的全体函数值的集合 )(|)()()(AxxfyyfRAffRfAx2.函数的表示法解 析 法表 格

8、 法图 示 法 自己看书！3.求函数定义域举例 数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。.)1ln(14 2的定义域求函数xxy例例1 1例例2 20 0 0 ,1,0 ,1 sgnxxxxy求的定义域。,Rx将 x 表示为:函数y=x =“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例例3 3“整数”+“正的小数”或“零”xxyO。xy 12312312312344142.012125.015.015.03.037.237.20333303333想想取整函数的

9、图形是什么样子？例例4 4)1(xf已知，10 2 xx，21 2 xx )(的表达式。求xf 定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例例6 6是否相同？与函数 ln2)(ln)(2xxgxxf5.函数的图形称为函数 f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集,)(|),(fDxxfyyx是否所有的函数均可绘出几何图形？,0 ,1)(D为无理数为有理数xxxy例例7 7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet18051859 狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成

10、果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性,)(21IxxIxf，上有定义，在区间设函数上是单调增加的。间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx上是严格单调增加的。间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加,记为 。Ixf)(,)(21IxxIxf，上有定义，在区间设函数的。减少上是单调间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx的。减少上是严格单调间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx 在不

11、需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少,记为 。Ixf)(函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I 有关.画画图就一目了然.例例9 9 sin函数，但在其定义域内不是单调xy ;sin 2 ,2 x上，在 ;sin 23 ,2 x上，在我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性 有界性 有上界 有下界 有 界设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 A,B,使对一切 x I 恒有A f(x)B则称函数 y=f(x)在区间 I 上有界。否则,称函数 y=f(x)在区间 I 上无界。函数有界性的定义函数有界性的定义y=f(x)xxyyAAB

12、BOOy=f(x)函数有界示意图函数有界示意图 函数 y=f(x)在区间 I 上有界 ,|)(|0。，使IxMxfM你能理解吗?.|,max|即可根据有界性的定义，取BAMOx成立，则称函数 y =f(x)在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。设函数 y=f(x)在区间I 上有定义。若存在实数 M (可正，可负)，对一切 x I 恒有OxyMy=f(x)f(x)M Oxf(x)m在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 m (可正，可负),对一切 x I 恒有 成立，则称函数 y =f(x)Oxymy=f(x)函数 y=f(x)有界f(x)

13、既有上界又有下界.在区间 I 上:xyABO)(xfy 无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间 I 上有下界，则必有若函数 )(xfy 间 I 上的下确界，记为。)(infIxfx无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间 I 上有上界，则必有若函数)(xfy 间 I 上的上确界，记为。)(supIxfx有上有上(下下)界的函数是否必有上界的函数是否必有上(下下)确界？确界？可以证明可以证明：有上有上(下下)界的函数必有上界的函数必有上(下下)确界确界.如何证明或判断函数无界？提一个问题：例例1010 2。：讨论函数函数的有界性xy 3.奇偶性若 x Df,有f(x)=f(x)

14、成立，则称 f(x)为偶函数。偶函数的图形 关于 y 轴对称。若 x Df,有f(x)=f(x)成立，则称 f(x)为奇函数。奇函数的图形 关于坐标原点对称。设函数设函数 y=f(x)的定义域的定义域 Df 关于坐标原点对称。关于坐标原点对称。4.周期性三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！以下六种简单函数称为基本初等函数1.常值函数 y=C (C 为常数)2.幂函数 y=x (R 为常数)3.指数函数 y=a x (a 0,a 1)4.对数函数 y=loga x (a 0,a 1)5.三角函数 y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x y=sec x y=csc x

15、 6.反三角函数 y=arcsin x y=arccosx y=arctan x y=arccot x y=arcsec x y=arccsc x详详 情情 见见 书书 四、复合函数、反函数)(xgu gDfDgR)(ufy xufRy？如何描述gDfgDR 1 1.复合函数设有映射,)(xgu fDuufy,)(及,Dgx的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f(u)的定义域 Df，如果对于映射)(xg的定义域(或定义域的一部分)中那么，将)(xgu代入消去 u 后,就有)(ufy)()()(xgfxgfyggDDx其中，u 称为中间变量。与称之为函数复合而成的复合函数。)(ufy)(xg

16、u 由函数uy,),0u21xu),(x可构成复合函数21 xy1,1x函数复合后一般应重新验证它的定义域例例1313函数复合而成?uyarccos它是由以下几个函数复合而成:12 xwvu 例例1414复合函数分解到什么时候为止？以上过程称为 对复合函数的分解 分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.是由哪几个函数 )1(ln arccos 2xywvln 是一一对应(即映射 f 是一一对应),称 f 的 f 的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.)(xfy 与)(1yfx互为反函数.2。反函数的定义反函数的定义为逆映射 )(),(,:1fDxfRyxyf)(),(,:fRy

17、fDxyxf设函数例例1616的反函数。求函数),(,2xxy存在。在其定义域内反函数不 2xy 为时，它的反函数存在，),0 x),0 ,。yyx为时，它的反函数存在，0 ,(x 0 ,(,。yyx反函数的图形 将函数 y=f(x)的反函数写成 x=f 1(y)时，函数与其反函数的图形相同.将函数 y=f(x)的反函数记为 y=f 1(x)时，函数 y=f(x)与其反函数 y=f 1(x)的图形关于第、象限的角平分线 y=x 对称。Oxy)(xfy)(1yfx)(1xfyxy 反函数的图形例例1616的反函数。求分段函数xxxxxyx4 ,2 ,41 ,1 ,21 ,yyx161 ,yyx1

18、 ,xxy得由41 ,2xxy由得yyx16 ,log2由得xyx4 ,2综上所述，所求反函数为故所求反函数为yyyyyyx16 ,log161 ,1 ,2求分段函数的反函数是：先求出各段上函数的反函数，然后综合起来，得出原分段函数的反函数。增加的.定理减少减少 ,),(是严格单调增加的若函数fDxxf ,),(1且是严格存在则其反函数fRyyfx五、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数,称为初等函数。例如 都是初等函数.1523xxy112xxxyxxeey23xyxxxy22sin1 cos1 sin 一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如0 ,0 ,xxxxy因为它可以改写为初等函数2xy 的形式.0,1xxyx幂指函数是否为初等函数？该幂指函数是一个初等函数.例例1818六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处。双曲函数双曲正弦,2shxxeex双曲余弦,2chxxeex双曲正切,chshthxxx 双曲余切,shchcthxxx 双曲正割,ch1sechxx 双曲余割.sh1cschxx 作业：P17 1.7.8；P26 1（3），4(4),5(4)，9（4）