1、第第43讲不等式恒成立问题讲不等式恒成立问题考试要求1.不等式包含两个元的情况(C级要求);2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.1.设y(log2x)2(t2)log2xt1,若t在2,2上变化时y恒取正值,则实数x的取值范围为_.解析设f(t)y(log2x1)t(log2x)22log2x1,t2,2,诊诊 断断 自自 测测对一切实数x恒成立,从而原不等式等价于2x22mxm4x26x3(xR),即2x2(62m)x(3m)0对一切实数x恒成立.则(62m)28(3m)0,解得1m3,故实数m的取值范围是(1,3).答案
2、(1,3)g(x)ming(1)3a,3a0 a3.即所求实数a的取值范围为(3,).(x)max(1)3,a3,即所求实数a的取值范围为(3,).答案(3,)1.恒成立问题转化成最值处理af(x)对xD恒成立af(x)max,af(x)对xD恒成立 af(x)min.知知 识识 梳梳 理理2.恒成立问题处理方法:图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等.3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)A成立_(xD);若f(x)在区间D上存在最小
3、值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D;不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.f(x)maxAf(x)min2xa1在a1,1上恒成立.设f(a)(x1)ax22x1,则f(a)是a的一次函数或常数函数,要使f(a)0在a1,1上恒成立,则须满足故实数的取值范围是(,0)(2,).考点二一元二次不等式恒成立问题【例2】已知x时,不等式12x(aa2)4x0恒成立,求实数a的取值范围.考点三高次不等式恒成立问题考点四绝对值不等式恒成立问题解()当x0时,显然f(x)0成立,此时aR.此时a的范围是(1,3).综合()()得a的范围是(1,3).规律方法(1)当f(x)含有绝对值时,先去掉绝对值号,(2)这种思路是:首先是分离变量,其次用极端值原理.把问题转化为求函数的最值,若f(x)不存在最值,可求出f(x)的范围,问题同样可以解出.考点五线性规划恒成立问题考点六基本不等式恒成立问题【例6】已知对满足xy42xy的任意正实数x,y,都有x22xyy2axay10,则实数a的取值范围是_.