1、1.2独立性检验的独立性检验的基本思想及其初基本思想及其初步应用步应用定量变量定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义.如身高、体重、考试成绩、温度等等如身高、体重、考试成绩、温度等等.变量变量定量变量定量变量分类变量分类变量两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、相关指数相关指数R2、残差分析）、残差分析）（定性变量）（定性变量）对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变
2、量的不同同“值值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为为分类变量分类变量.在日常生活中，主要考虑在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系：如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等.例如，吸烟是否与患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等.分类变量也称为分类变量也称为属性变量属性变量或或定性变量定性变量，它们的取值一，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，定是离散的，而且不同的取值仅表示个
3、体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值如性别变量，只取男、女两个值两个分类变量的相关关两个分类变量的相关关系的分析：系的分析：通过图形直观判断两通过图形直观判断两个分类变量是否相关；个分类变量是否相关；独立性检验独立性检验.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有0.54%0.54%患患有肺癌；在吸烟者中，有有肺癌；在吸烟者中，有2.28%2.28%患有肺癌。因此，直观
4、患有肺癌。因此，直观上可以得到结论：上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异存在差异.与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况映出相关数据的总体状况.为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：人，得到如下结果（单位：人）：吸烟与患肺癌吸烟与患肺癌列联表列联表（列出两个分类变量的频数表）：（列出两个分类变量的频数表）：0%20%40%60%80%100%不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌
5、患肺癌患肺癌比例比例不患肺癌不患肺癌比例比例等高等高条形图条形图4 4、等高条形图、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例.问题1：判断的标准是什么？吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大吸烟者患肺癌的可能性大问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患病有关”的判断？问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？现在想要知道能够以多大的把握认为现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌吸烟与患肺癌有关有关”，为此先
6、假设：，为此先假设：H H0 0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b吸烟吸烟c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b吸烟吸烟c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d吸烟与患肺癌的列联表：吸烟与患肺癌的列联表：如果如果“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸
7、烟者中不患，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多，肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多，即即|ad-bc|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量上述分析，我们构造一个随机变量 若若H H0 0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则，则K K2 2应很小应很小.由列联表中数据，利
8、用公式（由列联表中数据，利用公式（1 1）计算得）计算得K K2 2的观测值为：的观测值为：22()()()()()n adbcKab cdac bd （1 1）29965(7775 4942 2099)56.632.78172148 9874 91k其中其中n=a+b+c+d为样本容量为样本容量.P(k2k0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.0050.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.7063.8415.024 6.635 7.879 10.828828.102k635.62k706.22k706.22k0.1%0.1%
9、把握认把握认为为A A与与B B无关无关1%1%把握认为把握认为A A与与B B无关无关99.9%99.9%把握认把握认为为A A与与B B有关有关99%99%把握认把握认为为A A与与B B有关有关90%90%把握认把握认为为A A与与B B有关有关10%10%把握认为把握认为 A A与与B B无关无关没有充分的依据显示没有充分的依据显示A A与与B B有关，有关，但也不能显示但也不能显示A A与与B B无关无关在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：2(6.635)0.01P K 也就是说，在也就是说，在H H0 0成立的情况下，对随机变量成
10、立的情况下，对随机变量K K2 2进行多次进行多次观测，观测值超过观测，观测值超过6.6356.635的频率约为的频率约为0.010.01，是一个小概，是一个小概率事件率事件.现在现在K K2 2的观测值为的观测值为56.63256.632，远远大于，远远大于6.6356.635，所，所以有理由断定以有理由断定H H0 0不成立不成立，即认为，即认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系”56.632k 但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即，即我们有我们有99的把握认为的把握认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系”.利用随机变量利用随
11、机变量K K2 2来确定在多大程度上可以认为来确定在多大程度上可以认为“两个两个分类变量有关系分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性的方法称为两个分类变量的独立性检验检验.独立性检验：独立性检验：如果如果 ，就判断，就判断H0不成立；否则就判断不成立；否则就判断H0成立成立.6.635k (6.635)0.01P k 反证法原理与假设检验原理反证法原理：反证法原理：在一个已知假设在一个已知假设下，如果下，如果推出一推出一个矛盾个矛盾，就，就证明证明了这个假设不成了这个假设不成立。立。假设检验原理：假设检验原理：在一个已知假设在一个已知假设下，如果下，如果一个与一个与该假设矛盾的小该假设
12、矛盾的小概率事件发生概率事件发生，就就推断推断这个假设这个假设不成立。不成立。独立性检验的基本思想：独立性检验的基本思想：类似于数学上的反证法，对类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度的判断：这一结论成立的可信程度的判断：（1 1）假设该结论不成立，即假设结论）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量两个分类变量没有关系没有关系”成立成立.（2 2）在假设条件下，计算构造的随机变量）在假设条件下，计算构造的随机变量K K2 2，如果由，如果由观测数据计算得到的观测数据计算得到的K K2 2很大，则在一定程度上说明假很大，则在一定程度上说明假设不
13、合理设不合理.（3 3）根据随机变量）根据随机变量K K2 2的含义，可以通过（的含义，可以通过（2 2）式评价假）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的设不合理的程度，由实际计算出的k6.635k6.635，说明假设，说明假设不合理的程度约为不合理的程度约为99%99%，即，即“两个分类有关系两个分类有关系”这一结这一结论成立的可信程度约为论成立的可信程度约为99%.99%.y y1 1y y2 2总计总计x x1 1a ab ba+ba+bx x2 2c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d一般地，假设有两个分类变量一般地，假设有两个分类变量X
14、X和和Y Y，它们的可能取值，它们的可能取值分别为分别为xx1 1,x,x2 2 和和yy1 1,y,y2 2,其样本频数列联表（称为其样本频数列联表（称为2x22x2列联表）为：列联表）为：利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度较精确地给出这种判断的可靠程度.具体作法是：具体作法是：（1 1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k k0 0；（2）由观测数据计算得到随机变量）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值的观测值k；（3）如果）如果k6.635，就以，就以 1-P
15、(K26.635)100%的的把握认为把握认为“X与与Y有关系有关系”；否则就说样本观测数据没；否则就说样本观测数据没有提供有提供“X与与Y有关系有关系”的充分证据的充分证据.10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445 k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.502()P Kk（1 1）如果）如果k10.828k10.828，就有，就有99.9%99.9%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（2 2）如果）如果k7.879k7.879，就有，就有99.5%99.5%的把握认
16、为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（3 3）如果）如果k6.635k6.635，就有，就有99%99%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（4 4）如果）如果k5.024k5.024，就有，就有97.5%97.5%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（5 5）如果）如果k3.841k3.841，就有，就有95%95%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（6 6）如果）如果k2.706k2.706，就有，就有90%90%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（7 7）如果）如果k=2.706kk50.0)455.0
17、(2KP100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%优秀优秀不优秀不优秀列联表的条形图：列联表的条形图：P16 第1,2题不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计987498749191996599651 1、列联表、列联表2 2、三维柱形图、三维柱形图3 3、二维条形图、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能清晰看出各从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小个频数的相对大小.从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.
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