2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 18 页 2020 届北京市西城区高三上学期期末数学试题届北京市西城区高三上学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1设集合设集合,3,0,1|,5Ax xaB ,若集合若集合AB有且仅有有且仅有2个元素个元素,则实数则实数a的的 取值范围为（取值范围为（ ） A3, B 0,1 C1, D1,5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据集合的交集运算，由题意知3,0AB ，由此可得，01a 【详解】 因为集合AB有且仅有2个元素，所以3,0AB ，即有01a 故选：B 【点睛】 本题主要考查集合的交集运算，属于基础题 2已知复数已知复数 3 1 i z i ，则复数，则复数z

2、在复平面内对应的点位于（在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据复数的运算法则，化简复数1 2zi ，再利用复数的表示，即可判定， 得到答案. 【详解】 由题意，复数 31324 1 2 1112 iiii zi iii ， 所以复数z对应的点(1, 2)位于第四象限. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则， 准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3在在ABC中中,若若 6,60 ,75a

3、AB,则则c （ ） A4 B2 2 C2 3 D2 6 【答案】【答案】D 第 2 页 共 18 页 【解析】【解析】根据三角形内角和求出角C，再根据正弦定理即可求出边c 【详解】 因为180756045C ，所以根据正弦定理知， sinsin ac AC ，即 6 sin60sin45 c ，解得 2 6c 故选：D 【点睛】 本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题 4设设x y ,且且0,xy 则下列不等式中一定成立的是（则下列不等式中一定成立的是（ ） ） A 11 xy Blnlnxy C2 2 xy D 22 xy 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根

4、据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假 【详解】 对 A，若0xy，则 11 xy ，错误； 对 B，当x y 时，取x1,y2 ，根据对数函数的单调性可知，lnlnxy，错 误； 对 C，因为x y ，所以 xy ，根据指数函数的单调性可知，2 2 xy ，正确； 对 D，当x y 时，取x1,y2 ， 22 xy，错误 故选：C 【点睛】 本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题 5 已知直线 已知直线20xy与圆与圆 22 220xyxya有公共点有公共点,则实数则实数 a 的取值范围的取值范围 为（为（ ） A,0 B 0, C0,2 D,

5、2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径， 即可求出 第 3 页 共 18 页 【详解】 依题意可知，直线与圆相交或相切 22 220xyxya即为 22 112xya 由 1 1 2 2 2 a ，解得0a 故选：A 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题 6设三个向量设三个向量, ,a b c互不共线互不共线,则则 “ 0abc ”是是 “以以,a b c为边长的三角形存为边长的三角形存 在在”的（的（ ） A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充要条件充要条件 D既不

6、充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】 因为三个向量, ,a b c互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设,aAB bBC， 而, ,a b c互不共线，所以, ,A B C三点不共线 当 0abc 时，c CA ， 因为, ,A B C三点不共线， ,aAB bBCcCA， 所以以,a b c为边长的三角形存在； 若以,a b c为边长的三角形存在， 但是,aAB bBC，c AC ， 0abc 故“ 0abc ”是 “以,a b c为边长的三角形存在”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】 本题主要考查充分条件

7、、必要条件的理解与判断，属于基础题 7 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众紫砂壶的壶型众 多多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一石瓢壶的壶体可以近似看成一 个个 圆台圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关下图给出了一个石瓢壶的相关 数据数据(单位单位:cm),那么该壶的容量约为（那么该壶的容量约为（ ） 第 4 页 共 18 页

8、A100 3 cm B 3 200cm C300 3 cm D400 3 cm 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出 【详解】 设大圆锥的高为h，所以 46 10 h h ，解得10h 故 22 11196 51036200 333 V 3 cm 故选：B 【点睛】 本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题 8已知函数已知函数 1f xxk ,若存在区间若存在区间 ,1,a b ,使得函数使得函数 f(x)在区间在区间 , a b上的值域为上的值域为1,1 ,ab则实数则实数k的取值范围为（的取值范围为（ ） A1, B 1,0

9、 C 1 , 4 D 1 ,0 4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据函数的单调性可知， 1 1 f aa f bb ，即得 110 110 aak bbk ，故可 知1,1ab是方程 2 0xxk的两个不同非负实根， 由根与系数的关系即可求 出 【详解】 根据函数的单调性可知， 1 1 f aa f bb ，即可得到 110 110 aak bbk ，即可知 第 5 页 共 18 页 1,1ab是方程 2 0xxk 的两个不同非负实根，所以 12 140 0 k x xk ，解得 1 0 4 k 故选：D 【点睛】 本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，

10、意在考查 学生的转化能力，属于中档题 二、填空题二、填空题 9在在 5 1x的展开式中的展开式中, 2 x的系数为 的系数为_. 【答案】【答案】10 【解析】【解析】根据二项展开式的通项，赋值即可求出 【详解】 5 1x的展开式通项为 15 r r r TCx ，令2x ，所以 2 x的系数为 2 2 5 110C 故答案为：10 【点睛】 本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属 于基础题 10已知向量已知向量4,6 ,2,abx 满足满足 / /ab,其中 其中xR,那么那么b _ 【答案】【答案】13 【解析】【解析】根据向量平行的坐标表示求出x，再

11、根据向量模的坐标计算公式即可求出 【详解】 因为 / /ab，所以4 2 60x ，解得3x 因此 2 2 2313b 故答案为：13 【点睛】 本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题 11在公差为在公差为 0dd 的等差数列的等差数列 n a中中, 1 1a ,且且 2412 ,a a a成等比数列成等比数列, 则则 d _ 第 6 页 共 18 页 【答案】【答案】3 【解析】【解析】根据等差数列的通项公式，用d表示出 2412 ,a a a，再根据 2412 ,a a a成等比数 列，列式即可求解 【详解】 因为 1 (1)1(1) n aandnd ，

12、 所以 2412 1,1 3 ,1 11ad ad ad ， 而 2412 ,a a a成等比数列，所以 1 31 11 11 3 dd dd ，解得3d 或0d (舍去) 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题 12某四棱锥的三视图如图所示某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有直角三角形有_个个 【答案】【答案】3 【解析】【解析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出 【详解】 如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱 PA 垂直于底面的四棱锥 由三视图可知，2

13、,1PAADABBC，,ADAB BCAB 因为PA 面ABCD，所以,PABPADVV都是直角三角形 第 7 页 共 18 页 在PBC中， 2222 2 2,1,44 19PBBCPCPAABBC ，所以 222 PBBCPC ，PBC也是直角三角形 在PDC中， 2222 448,125PDCD，而 2 9PC ，所以PDC不是 直角三角形因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有 3 个 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意 在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题 13对于双曲线对于双曲线,给出下列三个条件给出下

14、列三个条件: 离心率为离心率为2; 一条渐近线的倾斜角为一条渐近线的倾斜角为30; 实轴长为实轴长为8,且焦点在且焦点在x轴上轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 _ 【答案】【答案】 22 1 1648 xy ,答案不唯一 【解析】【解析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出, ,a b c，即可得到满足题意的一 个的双曲线标准方程 【详解】 若选择，所以2,28 c ea a =，解得4,8ac=，所以 22222 8448bca=-=-=， 因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为 22 1 1648 xy 若选择其它，可以得到

15、其它的双曲线的标准方程 故答案为： 22 1 1648 xy ，答案不唯一 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题 14某商贸公司售卖某种水果某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知经市场调研可知:在未来在未来20天内天内,这种水果每箱的销售利这种水果每箱的销售利 润润r(单位单位:元元)与时间与时间120(,tttN ,单位单位:天天)之间的函数关系式为之间的函数关系式为 1 10 4 rt, 且且 第 8 页 共 18 页 日销售量日销售量y (单位单位:箱箱)与时间与时间t之间的函数关系式为之间的函数关系式为1202yt 第第4天的销售利润为天的销售利润为_元元; 在未来

16、的这在未来的这20天中天中,公司决定每销售公司决定每销售1箱该水果就捐赠箱该水果就捐赠) ( *m mN元给元给 “精准扶精准扶 贫贫”对象对象.为保证销售积极性为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大的增大而增大,则则m的最的最 小值是小值是_ 【答案】【答案】1232 5 【解析】【解析】先求出第 4 天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利 润； 先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出 【详解】 因为 1 44 1011 4 r ， 41202 4112y ，所以该天的销售利润为 11 1121

17、232； 设捐赠后的利润为W元，则 1 120210 4 Wy rmttm ， 化简可得， 2 1 2101200 120 2 Wtmtm 令 Wf t，因为二次函数的开口向下，对称轴为210tm，为满足题意所以， * 21020 10 m f nN ，解得5m 故答案为：1232；5 【点睛】 本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的 理解和函数模型的建立，属于基础题 三、解答题三、解答题 15已知函数已知函数 2 . 6 f xcosx sin x （1）求函数）求函数 f x的最小正周期的最小正周期; （2）求函数）求函数 f x在区间在区间 ,0 2

18、 上的最小值和最大值上的最小值和最大值. 第 9 页 共 18 页 【答案】【答案】 （1）（2）最大值0最小值 3 2 . 【解析】【解析】 （1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角 差的正弦公式)合并成sinyAxk的形式，即可求出函数 f x的最小正周 期. （2）由 ,0 2 x ，求出 7 2, 666 tx ，再根据sinyt的单调性可 求出函数 f x的最大最小值 【详解】 （1）因为 31 ( )2cos(sincos ) 22 f xxxx 2 3sin coscosxxx 311 sin2cos2 222 xx 1 sin(2) 62 x 所以

19、函数 ( )f x的最小正周期为 2 2 T （2）因为 0 2 x，所以 7 2 666 tx ，而sinyt在 7 , 62 上单 调递减，在, 26 上单调递增，而 7 sinsin 66 ， 所以当 2 62 tx ，即 6 x 时，( )f x取得最小值 3 2 ， 当 7 2 66 tx ，即 2 x 时，( )f x取得最大值0 【点睛】 本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭 区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题 16高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨

20、大发展更带动了我国经济的巨大发展.据统据统 计计,在在 2018 年这一年内从年这一年内从A 市到市到B市市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次万人次.为为 了了 解乘客出行的满意度解乘客出行的满意度,现从中随机抽取现从中随机抽取100人次作为样本人次作为样本,得到下表得到下表(单位单位:人次人次): 满意度满意度 老年人老年人 中年人中年人 青年人青年人 乘坐高铁乘坐高铁 乘坐飞机乘坐飞机 乘坐高铁乘坐高铁 乘坐飞机乘坐飞机 乘坐高铁乘坐高铁 乘坐飞机乘坐飞机 第 10 页 共 18 页 10 分分(满满 意意) 12 1 20 2 20 1 5 分分(一般

21、一般) 2 3 6 2 4 9 0 分分(不满不满 意意) 1 0 6 3 4 4 （1）在样本中任取）在样本中任取1个个,求这个出行人恰好不是青年人的概率求这个出行人恰好不是青年人的概率; （2）在）在 2018 年从年从A市到市到B市乘坐高铁的所有成年人中市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取随机选取2人次人次,记其中老年人记其中老年人 出行的人次为出行的人次为X.以频率作为概率以频率作为概率,求求X的分布列和数学期望的分布列和数学期望; （3）如果甲将要从）如果甲将要从A市出发到市出发到B市市,那么根据表格中的数据那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是你建议甲是乘坐高铁还是 飞机飞机?

22、 并说明理由并说明理由. 【答案】【答案】 （1） 29 50 （2）分布列见解析，数学期望 2 5 （3）建议甲乘坐高铁从A市到B市. 见解析 【解析】【解析】 （1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人 次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出； （2）依题意可知X服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是 151 755 ，所以 1 2, 5 XB :，即 2 2 11 1 55 kk k P xkC ，即可求出X的分布 列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机 【详解】 （1）设事件：“在样本中任取

23、1个，这个出行人恰好不是青年人”为M， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率 193929 () 10050 P M （2）由题意，X的所有可能取值为：012.， ， 因为在 2018 年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是 151 755 ， 所以 02 2 116 (0)C(1) 525 P X ， 第 11 页 共 18 页 1 2 118 (1)C(1) 5525 P X ， 22 2 11 (2)C( ) 525 P X ， 所以随机变量X的分布列为： 0 1

24、 2 16 25 8 25 1 25 故 16812 ()012 2525255 E X （3）答案不唯一，言之有理即可 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为： 52 1012 511 0116 52121115 乘坐飞机的人满意度均值为： 4 1014 57022 41475 因为 11622 155 ， 所以建议甲乘坐高铁从A市到B市 【点睛】 本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列 和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题 17如图如图,在三棱柱在三棱柱 111 ABCABC中中,

25、 1 BB 平面平面 ,ABCABC为正三角形为正三角形, 侧面侧面 11 ABB A是边长为是边长为2的正方形的正方形,D为为BC的中点的中点. （1）求证）求证 1 :/ /AB平面平面 1 AC D; （2）求二面角）求二面角 1 CACD的余弦值的余弦值; 第 12 页 共 18 页 （3）试判断直线）试判断直线 11 A B与平面与平面 1 AC D的位置关系的位置关系,并加以证明并加以证明. 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2） 15 5 （3）直线 11 A B与平面 1 AC D相交.证明见解析 【解析】【解析】 （1）根据线面平行的判定定理,在面 1 AC D内找一条直线

26、平行于 1 AB即可所 以连接 1 AC交AC与点E，再连接DE，由中位线定理可得 1 /DEA B，即可得证； （2）取 11 BC的中点F，连接DF分别以DC，DF，DA为x轴，y轴，z轴，如 图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出； （3）根据平面 1 AC D的法向量与直线 11 A B的方向向量的关系， 即可判断直线 11 A B与平 面 1 AC D的位置关系 【详解】 （1）由题意，三棱柱 111 ABCABC为正三棱柱 连接 1 AC 设 11 ACACE，则E是 1 AC的中点连接DE， 由D，E分别为BC 和 1 AC的中点，得 1 /DEA B又因为DE 平

27、面 1 AC D， 1 AB 平面 1 AC D， 所以 1 /AB平面 1 AC D （2）取 11 BC的中点F，连接DF 因为ABC为正三角形，且D为BC中点，所以ADBC 由D，F分别为BC和 11 BC的中点，得 1 /DFBB， 又因为 1 BB 平面ABC， 所以DF 平面ABC，即有DF AD，DFBC 分别以DC，DF，DA为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则(0,0, 3)A， 1(1,2,0) C，(1,0,0)C，(0,0,0)D，( 1,0,0)B ， 所以 1 (1,2,0)DC ，(0,0, 3)DA，( 1,0, 3)CA ， 1 (0,2,0)CC

28、 ， 设平面 1 AC D的法向量 1111 ( ,)nx y z u r ， 第 13 页 共 18 页 由 1 0DA n， 11 0DCn，得 1 11 30, 20, z xy 令 1 1y ，得 1 ( 2,1,0) n 设平面 1 AC C的法向量 2222 (,)nxyz， 由 2 0CA n， 12 0CCn，得 22 2 30, 20, xz y 令 2 1z ，得 2 ( 3,0,1)n 设二面角 1 CACD的平面角为，则 12 12 15 |cos| | 5| | nn nn 由图可得二面角 1 CACD为锐二面角， 所以二面角 1 CACD的余弦值为 15 5 （3）

29、结论：直线 11 A B与平面 1 AC D相交 证明：因为( 1,0,3)AB ， 11/ ABAB，且 11= ABAB， 所以 11 ( 1,0,3)A B 又因为平面 1 AC D的法向量 1 ( 2,1,0)n ，且 111 20A Bn， 所以 11 AB与 1 n u r 不垂直， 因为 11 AB 平面 1 AC D，且 11 A B与平面 1 AC D不平行， 故直线 11 A B与平面 1 AC D相交 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系 判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题 第 14

30、页 共 18 页 18 已知椭圆 已知椭圆 2 2 : 1 4 x Wy的右焦点为的右焦点为F,过点过点F且斜率为且斜率为 0k k 的直线的直线l与椭圆与椭圆 W交于交于,A B两点两点,线段线段AB的中点为的中点为 ,M O为坐标原点为坐标原点. （1）证明）证明:点点M在在y轴的右侧轴的右侧; （2）设线段）设线段AB的垂直平分线与的垂直平分线与x轴、轴、y轴分别相交于点轴分别相交于点,C D.若若ODC与与CMF的的 面积相等面积相等,求直线求直线l的斜率的斜率k 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2） 2 4 【解析】【解析】 （1）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的

31、关系求出点M的 横坐标即可证出； （2）根据线段AB的垂直平分线求出点,C D的坐标，即可求出ODC的面积，再表 示出CMF的面积，由ODC与CMF的面积相等列式，即可解出直线l的斜率k 【详解】 （1）由题意，得( 3,0)F，直线(3)lyk x：（0k ） 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 联立 2 2 (3), 1, 4 yk x x y 消去y，得 2222 (41)8 3(124)0kxk xk， 显然， 2 12 2 8 3 41 k xx k ， 则点M的横坐标 2 12 2 4 3 241 M xxk x k ， 因为 2 2 4 3 0 41 M k

32、x k ， 所以点M在y轴的右侧 （2）由（1）得点M的纵坐标 2 3 (3) 41 MM k yk x k 即 2 22 4 33 (,) 4141 kk M kk 所以线段AB的垂直平分线方程为： 2 22 314 3 () 4141 kk yx kkk 第 15 页 共 18 页 令0x ，得 2 3 3 (0,) 41 k D k ；令0y ，得 2 2 3 3 (,0) 41 k C k 所以ODC的面积 22 2222 13 33 327| | |= 241412(41) ODC kkkk S kkk ， CMF的面积 22 2222 13 333(1) | |3| | 24141

33、2(41) CMF kkkk S kkk 因为ODC与CMF的面积相等， 所以 22 2222 27|3(1) | 2(41)2(41) kkkk kk ，解得 2 4 k 所以当ODC与CMF的面积相等时，直线l的斜率 2 4 k 【点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积 的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题 19已知函数已知函数 2 1 , 2 x f xeaxx其中其中1a （1）当）当0a 时时,求曲线求曲线 yf x在点在点 0,0f处的切线方程处的切线方程; （2）当）当1a 时时,求函数求函数 f x的单调区间的单调区间;

34、（3）若）若 2 1 2 f xxxb对于对于xR恒成立恒成立,求求ba的最大值的最大值. 【答案】【答案】（1）10xy （2）( ) f x的单调递增区间为(0,)， 单调递减区间为(,0). （3） 1 1 e 【解析】【解析】 （1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程； （2）求出导数，依据( )e1 x fxx 在, 上单调递增，且(0)0 f ，分别解 不等式( )0fx 以及( )0fx ，即可求出函数 f x的单调增区间和减区间； （3）由题意得e(1)0 x axb 在xR上恒成立，设( )e(1) x g xaxb，用导 数讨论函数的单调性，求出

35、最小值(ln(1)0ga ，可得1(1)ln(1)baaa再 设 ( )1ln(0)h xxx x ，求出函数 h x的最大值，即为ba的最大值 【详解】 （1）由 2 1 ( )e 2 x f xx，得( )exfxx， 第 16 页 共 18 页 所以(0)1f，(0)1 f 所以曲线( )yf x在点(0, (0)f 处的切线方程为10xy （2）由 2 1 ( )e 2 x f xxx，得( )e1 x fxx 因为(0)0 f ，且 ( )e1 x fxx 在, 上单调递增，所以 由( )e10 x fxx 得，0x ， 所以函数 ( )f x在(0,)上单调递增 ， 由( )e10

36、 x fxx 得，0x 所以函数 ( )f x在(,0) 上单调递减 综上，函数 ( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) （3）由 2 1 ( ) 2 f xxxb，得e(1)0 x axb 在xR上恒成立 设( )e(1) x g xaxb， 则( )e(1) x g xa 由( )e(1)0 x g xa，得ln(1)xa， （1a ） 随着x变化，( )g x 与( )g x的变化情况如下表所示： x (,ln(1)a ln(1)a (ln(1),)a ( )g x 0 ( )g x 极小值 所以( )g x在( ,ln(1)a 上单调递减，在(ln( 1),)a

37、上单调递增 所以函数( )g x的最小值为 (ln(1)(1)(1)ln(1)gaaaab 由题意，得(ln(1)0ga ，即 1(1)ln(1)baaa 设 ( )1ln(0)h xxx x ，则( )ln1h xx 因为当 1 0 e x时，ln10x ； 当 1 e x 时，ln10x ， 第 17 页 共 18 页 所以( )h x在 1 (0, ) e 上单调递增，在 1 ( ,) e 上单调递减 所以当 1 e x 时， max 11 ( )( )1 ee h xh 所以当 1 1 e a ，1 (1)ln(1)baaa ，即 1 1 e a ， 2 e b 时，ba有最大值为 1

38、 1 e 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不 等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题 20设整数集合设整数集合 12100 ,Aa aa,其中其中 12100 1? 205aaa ，且对于任意，且对于任意 ,1100i jij ，若，若ijA ，则，则 . ij aaA （1）请写出一个满足条件的集合）请写出一个满足条件的集合A; （2）证明）证明:任意任意101,102,200 ,xxA; （3）若）若 100 205a,求满足条件的集合求满足条件的集合A的个数的个数. 【答案】【答案】 （1） 1,2,

39、3,100A （2）证明见解析 （3）16 个 【解析】【解析】 （1）根据题目条件，令 n an，即可写出一个集合1,2,3,100A； （2）由反证法即可证明； （3）因为任意的101,102,200 ,xxA，所以集合201, 202, 205A中至 多 5 个元素.设 100 100 m ab ，先通过判断集合A中前100 m个元素的最大值可以推 出(1100) i aiim，故集合A的个数与集合201,202,203,204的子集个数相同，即 可求出 【详解】 （1）答案不唯一 如 1,2,3,100A ； （2）假设存在一个 0 101,102, 200x 使得 0 xA， 令 0

40、 100xs，其中sN且100s 1， 由题意，得 100s aaA， 由 s a为正整数，得 100100s aaa，这与 100 a为集合A中的最大元素矛盾， 所以任意 101,102, 200x ，xA 第 18 页 共 18 页 （3）设集合201, 202, 205A中有(15)mm 个元素， 100 m ab ， 由题意，得 12100 200 m aaa ， 10011002100 200 mm aaa ， 由（2）知， 100 100 m ab 假设100bm，则1000bm 因为100100 10055100bmm， 由题设条件，得 100100mbm aaA ， 因为 10

41、0100 100100200 mbm aa ， 所以由（2）可得 100100 100 mbm aa ， 这与 100 m a 为A中不超过100的最大元素矛盾， 所以 100 100 m am ， 又因为 12100 1 m aaa ， i a N， 所以(1100) i aiim 任给集合201,202,203,204的1m元子集B，令 0 1,2,100205AmB， 以下证明集合 0 A符合题意： 对于任意, i j00)(1 ij 1，则200ij 若 0 ijA，则有mij100-， 所以 i ai， j aj ，从而 0ij aaijA 故集合 0 A符合题意， 所以满足条件的集合A的个数与集合201,202,203,204的子集个数相同， 故满足条件的集合A有 4 216 个 【点睛】 本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系， 找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题