《解析几何》(第四版)第3章平面与空间直线3.7空间两直线的相关位置.ppt

1、解析几何(第四版)第3章平面与空间直线3.,1212121的相互关系的相关位置决定于与易见分析：从图vvMMll1v2v1l2l1M2M ;,212121异面与面时异当且仅当llvvMM;,212121共面与面时共当且仅当llvvMM,/,/,21212121MMvvllvv若相交与则若在共面时.,/,/21212121重合则若则llMMvvll图图1 1件为的相关位置的充要条与判定直线定理(2)(1)3.7.1:1 异面;0222111121212ZYXZYXzzyyxx(3.7-1)(3.7-1):2 相交;:,0222111ZYXZYX(3.7-2)(3.7-2):3 平行);(:)(:

2、)(:121212222111zzyyxxZYXZYX(3.7-3)(3.7-3):4 重合);(:)(:)(:121212222111zzyyxxZYXZYX(3.7-4)(3.7-4).,1并求出交点求证如下两直线相交例.4632,23:1tztytxl，.441,5:2tztytxl，证两直线相交解(1)，0141432461253而1:)4(:1)4(:3:2.3.7.1知两直线相交由定理求两直线交点(2)故方程组所确定上由参数线在直所确定上由参数设两直线交点在直线,2211ttlttl.446,4132,523212121tttttt,2,3,2121tttt解得必有解对,)6,(3

3、,731点在第一直线上所确定的经验算由t故它们有点在第二直线上所确定的正是由,22t).6,7,3(交点2.2.空间两空间两直线的夹角直线的夹角).,(.,3.7.12121llll间的夹角记为与空间两直线的夹角叫向量间的角平行于空间两直线的两定义),(),(,2121vvll就是间的角表示若用两直线的方向向量),(),(2121vvll或的夹角与两直线在直角坐标系里定理(2)(1),3.7.2的余弦为),(cos21ll.222222212121212121ZYXZYXZZYYXX(3.7-5)(3.7-5)两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll,0212121ZZYYXX21/

4、)2(ll.212121ZZYYXX(3.7-6)(3.7-6),(,),(,2cbaMcbaMdd分别是原点到点设例.,点通过原直线时证明当的距离MMddccbbaa三点、可证通过原点分析：证直线MOMMM,.共线,MOdOMd由题设证,cbaMOcbaOMccbbaaMOOMddMOOM且故,ddccbbaa,1),cos(MOOMMOOMMOOM.,三点共线、故共线与即MMOMOOM.通过原点所以直线MM 注意注意 以上关于平面间的关系以上关于平面间的关系,平面与平面与直线间的关系直线间的关系直线间的关系以及它们的夹角问题的结论有许多相似直线间的关系以及它们的夹角问题的结论有许多相似之处

5、之处,这是因为它们都归结为两向量间的相应关系与这是因为它们都归结为两向量间的相应关系与夹角进行讨论夹角进行讨论,记住这一点记住这一点,对理解与区分各种不同关对理解与区分各种不同关系以及掌握它们之间的联系是有帮助的系以及掌握它们之间的联系是有帮助的.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns ,1,3,4.153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程解解先作一过点先作一过点M且与已知且与已知直线垂直的平面直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 1

6、2131.1213 tztytx MNL 代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN)373,1713,272(),724,76,712(所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx3.3.两异面两异面直线间的距离与公垂线方程直线间的距离与公垂线方程以下讨论仍在直角坐标系下进行以下讨论仍在直角坐标系下进行.,3.7.2做这两条直线间的距离叫的最短距离空间两直线上的点之间定义特别：，线间的距离为两相交直线或重合的直0.距离的任一点到另一直线的其中一条直线上两平行线间的距离等于.,3.7.3的长公垂线两个交点间

7、的线段长叫异面直线的公垂线叫两交的直线与两异面直线都垂直相定义.3.7.3的长于它们公垂线两异面直线间的距离等定理1v2v1l2l1M2M ,101021Nlllll且公垂线设两异面直线证0l 1N,202Nll2N上，分别为2121,llMM.的任意两点故公垂线的长为),(cosPr2102121210MMlMMMMjNNl.21MM图图2 2.2121间的距离与为故llNN间的距离为：与两异面直线定理(2)(1)3.7.4.)(212121vvvvMMd知由定理证3.7.3212121210PrPrMMjMMjNNdvvl.)(212121vvvvMM.)2,1(),(上的已知点分别为il

8、zyxMiiiii(3.7-7)(3.7-7).21为公垂线的方向向量vv间的距离为与用坐标表示直线)2()1(.YZ222112221122211222111121212YXXXZXZZYYZYXZYXzzyyxxd(3.7-8)(3.7-8)距离公式的几何意义：2121,vvMMd恰为三向量两异面直线间的距离.,21形底面上的高构成的平行四边两向量构成的平行六面体的在vv异面直线的公垂线方程异面直线的公垂线方程如图如图2,2,可看作而的方向向量为0210,lvvl为方位向量的平面与过以上的点由过21111,vvvMl.,21222线为方位向量的平面的交以上的点vvvMl:)41.3(0的方

9、程得由点位式方程l0.0,222222111111ZYXZYXzzyyxxZYXZYXzzyyxx(3.7-9)(3.7-9)221122112211YXYXZXZXZYZYZYX，式中.,021的方向数即的分量是lvv且与两直线求过点例)1,1,1(5P,321:1zyxl431221:2zyxl.都相交的直线方程,/,/,1212121llllllllllll说明的方向数都不成比例方向数与的再验证的方程两平面方程联立得决定的平面与决定的平面和由与作出由解题思想解法.),(则相交不平行在同一平面内的直线.的方程即为所求l：设所求直线解法l2.1,1,1ZtzYtyXtx,),(,2121的方

10、程将上式分别代入都相交与lllll.1)32(1)2(.2233,221tYZtYXZtYtXtYt，(1)(1).2)4(,2)2(.442,22tYZtYXYtZtYtXt(2)(2).2,0(2)(1),YZX得由方程组.21,1,1:tztyx故所求直线方程,2,0,1ZXY则令注注直线凡条件中提及直线与直求直线方程时,成参数一般将所求直线方程设线与平面相交的问题,.,有时也用其一般式式简便.,262121210130NNdNNlllP则的交点与已知直线求公垂线再后也可先求出公垂线方程再求公垂线方程距离的距离公式求中是直接用异面直线间例例练习题练习题2.251P5(2).4;(2);)1(3311P9(2).;7321P