1、微专题16-解析几何中的“隐形圆”问题真 题 感 悟(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0).因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，故直线l的方程为2xy50或2xy150.
2、因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.法二设P(x1，y1)，Q(x2，y2).于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，考 点 整 合高考中圆的方程是C级考点，其重要性不言而喻.但在一些题目中，条件没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题，课本习题给出的“阿波罗尼斯圆”是“隐形圆”典型的例子.1.问题背景2.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希
3、腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A，B为两定点，动点P满足PAPB.则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.热点一轨迹问题解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(2，0)，O2(2，0)，因为两圆的半径均为1，设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21.即(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233.探究提高动点的轨迹问题是高考的热点之一，解决轨迹问题的关键是通过建立
4、直角坐标系，寻找动点满足的条件，列式化简得所求轨迹方程.【训练1】设A(c，0)，B(c，0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹.解设动点P的坐标为(x，y)，化简得(1a2)x22c(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20.当a1时，化简得x0.当a1时，P点的轨迹为y轴.热点二含“隐形圆”的范围与最值问题【例2】(2013江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C
5、的横坐标a的取值范围.切线的斜率存在，设切线方程为ykx3.故所求切线方程为y3或3x4y120.化简得x2(y1)24.即点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切.故1CD3，又C(a，2a4)，D(0，1)，策略五：两定点A，B，动点P满足APBP(0，1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆).(2)“隐形圆”发掘出来以后常考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系等相关知识点，一般解决思路可从“代数角度”或“几何角度”入手.热点三含“隐形圆”的定点与定值问题解法一假设存在满足条件的点B(t，0)，设P(x，y)，则y29x2，法二假设
6、存在满足条件的点B(t，0)，所以(xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入得，x22xtt29x22(x210 x259x2)，即2(52t)x342t290对x3，3恒成立，探究提高本题以阿波罗尼斯圆为背景构建定点问题，体现了阿波罗尼斯圆在解析几何中的经典地位.解(1)直线l的斜率存在，设切线l的方程为y2k(x4)，M的方程为(x4)2(y2)29.即x2y212(x2y22ax2bya2b2).(*)又点P在圆M上，(x4)2(y2)29，即x2y28x4y11，代入(*)式得8x4y122(82a)x(42b)y(a2b211).若系数对应相等，则等式恒成立，(3)假设存在满足条件的点R(a，b)，设点P的坐标为(x，y)，相应的定值为(0).【新题感悟】(2019南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(5，0).若圆M：(x4)2(ym)24上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为_.
