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2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版).doc

1、第 1 页 共 24 页 2020 届百校联盟届百校联盟 TOP20 高三上学期高三上学期 11 月联考数学(理)试月联考数学(理)试 题题 一、单选题一、单选题 1复数复数 3 1 21 12 ii i 的模为(的模为( ) A1 B3 C5 D5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】对复数进行计算化简,然后根据复数的模长公式,得到答案. 【详解】 根据题意, 3 121121 1212 iiii ii (12 )(1)1 22 iii 31 22 ii 2i, 所以 22 |2|215i . 故选:C. 【点睛】 本题考查复数的四则运算,求复数的模长,属于简单题. 2集合集合 |3Ax x

2、, 2 2 |log2,Bx yxxxR,则,则 AB ( ) A | 0x x B |23 0xxx或 C |2 3xx D |03xx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】对集合B进行化简,然后根据集合的补集运算,得到答案. 【详解】 因为 2 2 |log2,Bx yxxxR 2 |20,xxxxR |02,xxxR, 因为集合 |3Ax x 第 2 页 共 24 页 所以 |23 0 AB xxx或. 故选:B. 【点睛】 本题考查解对数不等式,一元二次不等式,集合的补集运算,属于简单题. 3已知向量已知向量(3,4)a ,则实数,则实数1是是| 5a的(的( ) A充分而不必要条件充

3、分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先求出a r ,然后分别判断由1能否得到| 5a,和由| 5a能否得到 1,从而得到答案. 【详解】 因为向量(3,4)a ,所以 22 345a 因为1,所以可得5aa, 所以1是| 5a的充分条件. 因为| 5a,所以| 5a | 1即1 . 所以1是| 5a的不必要条件. 综上所述,实数1是| 5a的充分而不必要条件. 故选:A. 【点睛】 本题考查根据向量的坐标求向量的模长,判断充分而不必要条件,属于简单题. 4已知函数已知函数

4、 3 2 ,0 ( ) log,0 xx g x xx ,则不等式,则不等式( )1g x 的解集为(的解集为( ) A(0,2) B( ,2) C( 1,2) D(1,2) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】按0x和0x ,分别解不等式 1g x ,从而得到答案. 【详解】 第 3 页 共 24 页 根据题意, 3 2 ,0, ( ) log,0, xx g x x x , 由不等式( )1g x 得 3 1 0 x x 或 2 log1 0 x x , , 所以10x 或02x. 即12x 所以不等式( )1g x 的解集为( 1,2). 故选:C. 【点睛】 本题考查解分段函数不等式,

5、解对数不等式,属于简单题. 5某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 A43 B23 C 3 2 3 D 3 4 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据三视图还原出几何体的直观图,将几何体分为三棱锥EABC和三棱锥 EACD两部分,根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高,求出 几何体的体积. 【详解】 该几何体的直观图如下图, 第 4 页 共 24 页 平面ACD 平面ABC,DE平面ABC, ACD与ACB均是边长为2的等边三角形,2BE , 点E在平面ABC上的射影落在A

6、BC的平分线上, 所以DE 平面ACD, 所以 1 31 3 E ABCABC VS , 1 3 E ACDACD VSDE 1 3 ( 3 1) 3 3 1 3 , 所以几何体的体积为 3 2 3 . 故选:C. 【点睛】 本题考查三视图还原结合体,根据三视图求几何体的体积,属于中档题. 6函数函数 1 ( ) 1 x f x x 的图象在点的图象在点(3,2)处的切线与函数处的切线与函数 2 ( )2g xx的图象围成的封的图象围成的封 闭图形的面积为(闭图形的面积为( ) A 11 12 B 33 16 C 35 16 D 125 48 【答案】【答案】D 【解析】【解析】对 f x求导

7、, 利用导数的几何意义,求出切线方程,然后求出切线与 g x的 交点坐标,利用定积分求出围成的封闭图形的面积,得到答案. 【详解】 由题意, 2 2 ( ) (1) fx x , 2 21 (3) (3 1)2 f , 所以切线方程为270xy, 与 2 ( )2g xx的交点横坐标为 1 3 2 x , 2 1x . 第 5 页 共 24 页 故封闭图形的面积 1 3 2 2 7 2 22 x Sxdx 3 1 2 223 1 3 2 3311 d 22243 x xxxxx 125 48 故选:D. 【点睛】 本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程,定积分求封闭图形的面积,属于中 档

8、题. 7已知数列满足已知数列满足 1 1a , 1 21 nn aa ,设数列,设数列 2 log1 n a的前的前 n 项和为项和为 n S,若,若 12 111 n n T SSS ,则与,则与 9 T最接近的整数是(最接近的整数是( ) A5 B4 C2 D1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据递推关系式 1 21 nn aa ,得到 1 1 2 1 n n a a ,得到1 n a 的通项,从而 得到 2 log1 n a的通项和前n项和 n S,从而求出 n T,再得到 9 T,从而得到答案. 【详解】 由题意, 1 12221 nnn aaa , 所以 1 1 2 1 n n

9、 a a , 所以 n a为以 1 12a 为首项,2为公比的等比数列, 所以 1 1 11 2n n aa 2n , 因此 2 log1 n an, 数列 2 log1 n a的前 n 项和为 (1) 2 n n n S , 1211 2 (1)1 n Sn nnn , 12 111 n n T SSS 第 6 页 共 24 页 11111 2 1 2231nn 1 2 1 1n 所以 9 9 5 T . 所以与 9 T最接近的整数是2. 故选:C. 【点睛】 本题考查构造法求数列的通项,等差数列前n项和公式,裂项相消法求数列的和,属于 中档题. 8已知函数已知函数 2 211,1 ( )

10、1, 1 x x f x x x x ,若函数,若函数( )( )g xf xm有两个零点,则实数有两个零点,则实数 m 的取值范围为(的取值范围为( ) A2,) B( 1,0) (2,) C( 1,2 D( 1,0) 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 画出 yf x的图像, 然后得到 yf x的图像和y m 的图像有两个交点, 从而得到m的取值范围. 【详解】 根据函数 2 211,1 ( ) 1, 1 x x f x x x x , 画出 ( )f x的图象如图所示, 函数( )( )g xf xm有两个零点 则函数( )yf x的图象与y m 的图象有 2 个交点, 所以10m ,

11、 第 7 页 共 24 页 所以实数m的取值范围为( 1,0). 故选:D. 【点睛】 本题考查画分段函数的图像,函数与方程,属于简单题. 9如果函数如果函数 2 1 ( )(2)1 2 f xmxnx(0,0)mn的单调递增区间为的单调递增区间为1,), 则则 14 mn 的最小值为(的最小值为( ) A 9 2 B2 C1 D 3 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由 f x单调递增区间为1,),得到对称轴方程 2 1 n m ,即2mn, 再根据基本不等式求出 14 mn 的最小值,得到答案. 【详解】 因为函数 2 1 ( )(2)1 2 f xmxnx(0,0)mn的单调递增区

12、间为1,) 所以对称轴为: 2 1 n m ,即2mn, 所以 14114 () 2 mn mnmn 14 5 2 mn nm 14 (52) 2 m n nm 9 2 , 当且仅当 2 , 3 m 4 3 n 时,等号成立. 故选:A. 【点睛】 本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系,基本不等式求和的最小值,属于 简单题. 10已知已知 3 sin(), 1223 则则sin(2 ) 6 ( ) A 7 10 B 7 10 C 7 9 D 7 9 【答案】【答案】C 第 8 页 共 24 页 【解析】【解析】利用倍角公式,结合函数名的转换求解. 【详解】 2 1 cos()1 2s

13、in () 61223 , (2)cos(2)cos(2 ) 6263 sin 2 7 2() 1 69 cos ,故选 C. 【点睛】 本题主要考查三角函数的给值求值问题,首先从角入手,寻求已知角和所求角的关系, 再利用三角恒等变换公式求解. 11如图,在三角形如图,在三角形ABC中,中,AC上有一点上有一点D满足满足4BD ,将,将ABD沿沿BD折起使折起使 得得5AC ,若平面,若平面EFGH分别交边分别交边AB,BC,CD,DA于点于点E,F,G,H, 且且AC平面平面EFGH,BD平面平面EFGH则当四边形则当四边形EFGH对角线的平方和取最小对角线的平方和取最小 值时,值时, DH

14、 DA ( ) A 1 4 B 16 41 C 20 41 D 32 41 【答案】【答案】B 【解析】【解析】易得HGAC,EFAC,设 DHGH k DAAC , 易得EHBD,FGBD, 得1 AHEH k DABD ,从而得到5GHk,4(1)EHk,平行四边形EFGH中, 222 2 413216EGHFkk,从而得到 22 EGHF 最小时的k值,得到答案. 【详解】 AC平面EFGH,AC 平面ACD, 平面ACD平面EFGHHG, 所以ACHG,同理ACEF 设 DHGH k DAAC (01)k, 第 9 页 共 24 页 BD平面EFGH,BD 平面ABD, 平面ABD平面

15、EFGHHE, 所以BDHE,同理FGBD 所以1 AHEH k DABD , 因为4BD ,5AC 所以5GHk,4(1)EHk, 在平行四边形EFGH中, 2222 2 2516(1)EGHFkk 2 2 413216)kk, 又01kQ, 当 16 41 k 时, 22 EGHF 取得最小值. 故选:B. 【点睛】 本题考查线面平行证明线线平行,平行四边形对角线的性质,二次函数求最值,属于中 档题. 12 定义在 定义在R上的函数上的函数 ( )f x满足 满足(2)( )0f xf x,(2018)2f, 任意的, 任意的1,2t, 函数函数 32 (2) ( )(2) 2 fm g

16、xxxf x 在区间在区间( ,3)t上存在极值点, 则实数上存在极值点, 则实数 m 的取值的取值 范围为(范围为( ) A 37 , 5 3 B( 9, 5) C 37 , 9 3 D 37 , 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据(2)( )0f xf x得到 f x周期为4,再求得 220182ff, 得到 g x,求导得到 gx ,判断出 0gx 的两根一正一负,则 g x在区间( ,3)t 上存在极值点,且1,2t,得到 gx 在,3t上有且只有一个根,从而得到关于t的 不等式组,再根据二次函数保号性,得到关于m不等式组,解得m的范围. 【详解】 由题意知,(2)( )f

17、xf x , 第 10 页 共 24 页 (4)( )f xf x, 所以 ( )f x是以 4 为周期的函数, (2018)(2)2ff, 所以 32 2 ( )2 2 m g xxx x 32 22 2 m xxx , 求导得 2 ( )3(4)2g xxmx, 令( )0g x , 2 3(4)20xmx, 2 (4)240m , 由 12 2 0 3 x x , 知( )0g x 有一正一负的两个实根. 又1,2,t( ,3)xt, 根据( )g x在( ,3)t上存在极值点, 得到( )0g x 在( ,3)t上有且只有一个正实根. 从而有 ( )0 (3)0 g t g ,即 2

18、3(4)20 27(4) 320 tmt m 恒成立, 又对任意1,2t,上述不等式组恒成立, 进一步得到 2 3 1 1 (4)20, 3 22 (4)20, 273 (4)20, m m m 所以 5 9 37 3 m m m 故满足要求的m的取值范围为: 37 9 3 m . 故选:C. 【点睛】 本题考查函数的周期性的应用,根据函数的极值点求参数的范围,二次函数根的分布和 保号性,属于中档题. 第 11 页 共 24 页 二、填空题二、填空题 13在平面直角坐标系中,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,为坐标原点, ( 1,1)A , (0,3)B , (3,0)C , 3BDDC ,

19、 则则OA OD _. 【答案】【答案】 3 2 【解析】【解析】将 3BDDC 转化为3()ODOBOCOD,从而得到OD uuu r 的坐标,然后 根据向量数量积的坐标运算,得到答案. 【详解】 因为 3BDDC ,所以3()ODOBOCOD, 所以 1 3 4 ODOCOB 9 3 , 4 4 , 1,1OA 所以 93 44 OA OD 3 2 . 故答案为: 3 2 . 【点睛】 本题考查向量线性运算的坐标表示,数量积的坐标表示,属于简单题. 14已知已知 x,y 满足不等式组满足不等式组 0,0 10 240 xy xy xy ,则,则 1 1 y z x 的最小值为的最小值为_.

20、 【答案】【答案】 1 3 【解析】【解析】根据约束条件,画出可行域,将目标函数看成点( , ) x y与点( 1, 1) 两点连线的 斜率,从而得到斜率的最小值,得到答案. 【详解】 因为已知 x,y 满足不等式组 0,0 10 240 xy xy xy , 画出可行域,如图所示, 1 1 y x 表示点( , ) x y与点( 1, 1) 两点连线的斜率, 第 12 页 共 24 页 所以可得当直线过点A时,z最小, 由 0 240 y xy 得 2, 0, x y 所以z的最小值为 0 11 2 13 . 故答案为: 1 3 . 【点睛】 本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值,属于

21、简单题. 15如图,底面如图,底面ABCD为正方形,四边形为正方形,四边形DBEF为直角梯形,为直角梯形,DBEF,BE 平平 面面ABCD,2ABBE,2BDEF,则异面直线,则异面直线DF与与AE所成的角为所成的角为_. 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】设正方形ABCD的中心为O,可得OEDF,得到直线DF与AE所成角为 AEO(或其补角) ,根据余弦定理,可得cosAEO的值,从而得到答案. 【详解】 如图, 设正方形ABCD的中心为O,连接AO,EO, 则 1 2 ODBD 因为DBEF,2BDEF 第 13 页 共 24 页 所以EFOD,EFOD 所以DFEO为平行四边形,

22、所以OEDF, 所以直线DF与AE所成角等于OE与AE所成的角,即AEO(或其补角) , 因为2 2,AE 2,OA6OE , 在三角形AEO中,根据余弦定理,可知 222 3 cos 22 EOEAAO AEO EO EA , 所以 6 AEO . 故答案为: 6 . 【点睛】 本题考查求异面直线所成的角的大小,属于简单题. 16已知函数已知函数( )4cossin 3 3 f xxx (0)在区间在区间, 6 3 上有最小值上有最小值 4 f ,无最大值,则,无最大值,则_. 【答案】【答案】 7 3 【解析】【解析】先对 f x进行整理,得到 2sin 2 3 f xx ,根据最小值 4

23、 f , 得到 7 4 3 k,然后根据 f x在区间, 6 3 无最大值,得到周期的范围,从而得 到的范围,确定出的值. 【详解】 ( )4cossin3 3 f xxx 13 4cossincos3 22 xxx 2 2sincos3 2cos1xxx sin23cos2xx 第 14 页 共 24 页 2sin 2 3 x , 依题意,则 3 22, 432 k kZ, 所以 7 4 3 k()kZ. 因为 ( )f x在区间, 6 3 上有最小值,无最大值, 所以 342 ,即6, 令0k ,得 7 3 . 故答案为: 7 3 . 【点睛】 本题考查二倍角公式,辅助角公式化简,根据正弦

24、型函数的最值和周期求参数的值,属 于中档题. 三、解答题三、解答题 17已知递增的等比数列已知递增的等比数列 n a的前的前 n 项和为项和为 n S, 14 9aa, 23 8a a . (1)求数列)求数列 n a的通项公式;的通项公式; (2)求数列)求数列 n n S的前的前 n 项和项和 n T . 【答案】【答案】 (1) 1 2n n a - =; (2) 1 (1) (1) 22 2 n n n n Tn 【解析】【解析】 (1)根据等比数列 2314 8a aa a,解出 1 a和 4 a的值,从而得到公比q,得到 n a的通项公式; (2)根据(1)得到 n S,再利用错位

25、相减法和分组求和的方法求出 n n S的前 n 项和 n T. 【详解】 (1)由题意, 14 2314 9, 8, aa a aa a 解得 1 1,a 4 8a 或 1 8,a 4 1a ; 而等比数列 n a递增,所以 1 1,a 4 8a , 第 15 页 共 24 页 故公比 4 3 1 2 a q a =,所以 1 2n n a - =. (2)由(1)得到12 n S 1 221 nn , 所以 * 21 n n Sn 2nnn , 23 1 22 23 2 n T 2(12 n n )n, 设 23 1 22 23 2t 2nn , 234 21 22 23 2t 1 2nn

26、, 两式相减可得, 23 222t 1 22 nn n 1 2 1 2 2 1 2 n n n 故 1 (1) 22 n tn , 所以 1 (1) (1) 22 2 n n n n Tn . 【点睛】 本题考查等比数列通项基本量的计算,分组求和的方法,错位相减法求数列的前n项的 和,属于简单题. 18已知函数已知函数 32 1 ( ) 3 f xxaxbx(), a bR在区间在区间( 1,2)上为单调递减函数上为单调递减函数. (1)求)求ab的最大值;的最大值; (2)当)当2ab时,方程时,方程 2 135 ( ) 32 b f xx 有三个实根,求有三个实根,求b的取值范围的取值范围

27、. 【答案】【答案】 (1) 3 2 ; (2) 12 3, 5 【解析】【解析】 (1)先求得 fx ,根据 ( )f x在区间( 1,2) 上为减函数,得到 ( 1)0 (2)0 f f 在 区间( 1,2)上恒成立,从而得到关于a,b的约束条件,画出可行域,利用线性规划, 得到ab的最大值; (2)根据2ab,得到b的范围,设 2 135 ( )( ) 32 b h xf xx ,求导得到 h x ,令 0h x 得到xb或1x ,从而 得到 h x的极值点,根据 h x有3个零点,得到b的不等式组,解得b的范围. 【详解】 (1) 2 ( )2fxxaxb, 第 16 页 共 24 页

28、 因为 ( )f x在区间( 1,2) 上为减函数, 所以 ( 1)0 (2)0 f f 在区间( 1,2)上恒成立 即 120, 440, ab ab , 画出可行域如图所示: 设zab,所以baz , z表示直线l,b az 在纵轴上的截距. 当直线: l baz 经过A点时,z最大, 由 120, 440, ab ab 所以 1 2 a ,2b 故zab的最大值为 13 2 22 . (2)由2ab得2ab 代入 120, 440, ab ab 可得 12 3 5 b , 令 2 135 ( )( ) 32 b h xf xx 32 111 323 b xxbx , 故由 2 ( )(1

29、)h xxbxb(1)()0xxb, 得xb或1x , 所以得到( )h x和( )h x 随 x 的变化情况如下表: 第 17 页 共 24 页 x (, )b b ( ,1)b 1 (1,) ( )h x 0 0 ( )h x 极大值 32 111 623 bb 极小值 1 2 b 要使( )h x有三个零点, 故需 32 111 0, 623 1 0, 2 bb b 即 2 (1)220, 1, bbb b 解得13b , 而 12 13 5 所以b的取值范围是 12 3, 5 . 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点,根据函数的单调性求参数的取值范 围,根据函数零点个

30、数求参数的取值范围,属于中档题. 19已知已知ABC的内角的内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b ,c满满足足 coscos 2cos c aBbA C ,且,且BC边上一点边上一点P使得使得PAPC . (1)求角)求角C的大小;的大小; (2)若)若3PB , 3 57 sin 38 BAP,求,求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 (1) 3 C ; (2) 5 3 2 【解析】【解析】根据正弦定理,将边化成角,然后整理化简,得到cosC的值,从而得到C的 值; (2)根据条件得到APC为等边三角形,从而得到 2 3 APB ,根据正弦定理, 得到AB的值,根据余弦定理,

31、得到AP的长,根据三角形面积公式,得到答案. 第 18 页 共 24 页 【详解】 (1)因为coscos 2cos c aBbA C 在ABC,由正弦定理 sinsinsin abc ABC 所以得2cos(sincossincos )CABBAsinC. 所以2cos sin()sinCABC. 即2cos1C 所以 1 cos 2 C , 因为0,C,所以 3 C (2)由(1)知 3 C ,而PAPC APC为等边三角形. 由于APB是APC的外角, 所以 2 3 APB . 在APB中,由正弦定理得2 sin sin 3 PBAB BAP , 即 3 2 3 57 sin 3 38

32、AB ,所以19AB . 所以由余弦定理得, 222 2co 2 3 sABPAPBPA PB , 即 2 1993PAPA , 所以2PA , 故235BC ,2AC , 所以 1135 3 sin2 5 2222 ABC SCA CBC . 【点睛】 本题考查正弦定理的边角互化,正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面积公式,属于 简单题. 20 如图, 在四棱锥 如图, 在四棱锥 1 AABCD中, 底面中, 底面ABCD为直角梯形,为直角梯形, 90BAD ,AB DC, 2DCAB24AD, 1 2AA ,且,且O为为BD的中点,延长的中点,延长AO交交CD于点于点E, 第 19 页 共

33、 24 页 且且 1 A在底在底ABCD内的射影恰为内的射影恰为OA的中点的中点H,F为为BC的中点,的中点,Q为为 1 AB上任意一点上任意一点. (1)证明:平面)证明:平面EFQ 平面平面 1 AOE; (2)求)求平面平面 1 AOE与平面与平面 1 ADC所成锐角二面角的余弦值所成锐角二面角的余弦值. 【答案】【答案】 (1)证明见解析; (2) 5 5 【解析】【解析】(1) 根据 1 AH 平面 ABCD, 得到 1 AHEF, 由平面几何知识得到EF AE, 从而得到EF 平面 1 AOE,所以所以平面EFQ 平面 1 AOE; (2)以O为原点建立 空间直角坐标系,得到平面

34、1 ADC和平面 1 AOE的法向量,利用向量的夹角公式,得到 这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】 (1)由题意,E 为 CD 的中点, 因为 1 AH 平面 ABCD,EE 平面 ABCD, 所以 1 AHEF,又因为DB EF, ABAD,OBOD, 所以AE垂直平分BD, 所以DEBE 又因ABDE,90BAD 所以ADEB为正方形, 所以DEECAB 因为F为BC的中点, 所以EFBD 而DBAE,所以EFAE, 又 1 AHAEH,所以EF 平面 1 AOE, 又EF 平面EFQ, 第 20 页 共 24 页 所以平面EFQ 平面 1 AOE. (2)因为 1 A在底面 A

35、BCD 内的射影恰为 OA 的中点 H, 所以 112 242 OHOABD . 因为ABAD,所以过点 O 分别作 AD,AB 的平行线(如图) , 并以它们分别为 x,y 轴, 以过 O 点且垂直于xOy平面的直线为 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 所以( 1, 1,0)A ,( 1,1,0)B ,(1,3,0)C,(1, 1,0)D, 1 116 , 222 A , 所以 1 316 , 222 AD , 1 3 76 , 2 22 AC , 设平面 1 ADC的一个法向量为( , , )nx y z, 则 1 1 0 0 n AD n AC ,所以 316 0 222 376

36、 0 222 xyz xyz 令6z ,则(2,0, 6)n , 由(1)知,BD 平面 1 AOE,所以OD 平面 1 AOE, 所以(1, 1,0)OD 为平面 1 AOE的一个法向量, 则 |25 |cos,| 5|102 n OD n OD n OD . 故平面 1 AOE与平面 1 ADC所成锐二面角的余弦值为 5 5 . 【点睛】 本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定,利用空间向量求二面角的余弦值, 第 21 页 共 24 页 属于中档题. 21已知函数已知函数 1 ( )1ln 1 mx f xx x (0)m 与满足与满足()2( )gxg x()xR的函数的函数 (

37、)g x具有相同的对称中心具有相同的对称中心. (1)求)求 ( )f x的解析式; 的解析式; (2)当)当(, xa a ,期中,期中(0,1)a,a是常数时,函数是常数时,函数 ( )f x是否存在最小值若存在, 是否存在最小值若存在, 求出求出 ( )f x的最小值;若不存在,请说明理由; 的最小值;若不存在,请说明理由; (3)若)若(21)(1)2faf b,求,求 22 21 1 ab ab 的最小值的最小值. 【答案】【答案】 (1) 1 ( )1ln 1 x f xx x ; (2) 1 1ln 1 a a a (3) 9 4 【解析】【解析】 (1)根据 g x关于0,1对

38、称,从而得到 2f xfx,整理化简,得 到m的值; (2)判断出 f x的单调性,得到当(0,1),a(, xa a 时, ( )f x单调递 减,从而得到 f x最小值; (3)由(21)(1)2faf b得到a,b关系,然后将 22ba代入到 22 21 1 ab ab ,利用基本不等式,得到其最小值. 【详解】 (1)因为()2( )gxg x,所以()( )2gxg x, 所以( )yg x图象关于(0,1)对称, 所以 11 ( )()1ln1ln 11 mxmx f xfxxx xx 22 2 1 2ln2 1 m x x 所以 22 2 1 1, 1 m x x 0m 解得1m

39、, 所以 1 ( )1ln 1 x f xx x . (2) ( )f x的定义域为( 1,1) , 1 ( )1ln 1 x f xx x 2 1ln1 1 x x , 当 12 xx且 12 ,( 1,1)x x 时,( )f x为减函数, 第 22 页 共 24 页 所以当(0,1),a(, xa a 时, ( )f x单调递减, 所以当x a 时, min 1 ( )1ln 1 a f xa a . (3)由(21)(1)2faf b, 得 2110, 121 1, 11 1, ab a b 解得01,a02,b22ab, 所以 22222 2121 1(1) aba babba ab

40、ab 21 (1) ba ab 2 53 2 1 a a 令5 3ta ,则 5 , 3 t a (2,5)t, 22 539 2 121016 at att 9 16 210t t 99 416 2(210)t t 当且仅当4t 时,等号成立, 即当 1 3 a , 4 3 b 时, 22 21 1 ab ab 的最小值为 9 4 . 【点睛】 本题考查根据函数的对称性求参数的值,根据函数的单调性求最值,基本不等式求和的 最小值,属于中档题. 22已知函数已知函数 1 ( )ln 2 f xmxx()mR,函数,函数( )F x的图象经过的图象经过 1 0, 2 ,其导函数,其导函数 ( )

41、F x 的图象是斜率为的图象是斜率为 a ,过定点,过定点( 1,1)的一条直线的一条直线. (1)讨论)讨论 1 ( )ln 2 f xmxx()mR的单调性;的单调性; (2)当)当0m 时,不等式时,不等式( )( )F xf x恒成立,求整数恒成立,求整数a的最小值的最小值. 【答案】【答案】 (1)当0m时, ( )f x在(0,)上为减函数; 第 23 页 共 24 页 当0m 时, ( )f x在 1 0, m 上为减函数,在 1 , m 上为增函数. (2)2 【解析】【解析】对 f x求导,得到 fx ,按0m和0m 进行分类讨论,利用导函数的 正负,得到 f x的单调性; (2)根据题意先得到( )F x ,然后得到 F x的解析式

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