1、第四章第四章 与解析函数有关的与解析函数有关的若干应用问题若干应用问题 一.利用调和函数于解析函数的关系求调 和函数的稳定点 二.解析函数的Pade有理化逼近 三.平面静电场的复势的幂级数表示 一一 利用调和函数与解析函数的关系求调利用调和函数与解析函数的关系求调 和函数的稳定点和函数的稳定点 1 调和函数与解析函数的关系调和函数与解析函数的关系 2 利用解析函数求调和函数稳定点利用解析函数求调和函数稳定点 解解：(3 3)所所以以3(),0,0f zu ziv zz c (1 1)因因 为为6,6xxyyux ux，所所 以以0 xxyyuu，可可见见u为为调调和和函函数数。(2 2)由由于
2、于 (,)22(0,0)23 (,)6(33)6x yv x yxydxxy dy cx y yc 2 利用解析函数求调和函数稳定点利用解析函数求调和函数稳定点 下面求调和函数的稳定点。设下面求调和函数的稳定点。设(,)u x y是单连域上的调和函是单连域上的调和函数。数。由 前 面 的 讨 论，用 积 分 可 以 求 出 其 共 轭 调 和 函 数由 前 面 的 讨 论，用 积 分 可 以 求 出 其 共 轭 调 和 函 数00(,)(,)(,)x yx yuuv x ydxdy Cyx得得到到函数函数()f z u iv。由定理由定理 2 知道知道()f z是解析函数，满足是解析函数，满足
3、 C.R.条条件件，设设00(,)x y是是(,)u x y的稳定点，即的稳定点，即00(,)x y满足满足0000(,)(,)0 xyu x yux y，而而()xxxyfzuivuiu。135131()()6224zi,23331311()(),()622244zi zi,所所以以(,)uxy的的稳稳定定点点为为3331(,)2 42 4,3331(,)2 4 2 4，31(0,)4 最后代入式（最后代入式（4-12）得到）得到2x，3x。所以其稳定点为。所以其稳定点为 31(0,)4，3331(,)2 42 4,3331(,)2 4 2 4 通过比较可知用解析函数方法求解这类问题大大简化了计算过程。通过比较可知用解析函数方法求解这类问题大大简化了计算过程。二二 解析函数的解析函数的Pade有理化逼近有理化逼近 三三.静电场的复势的幂级数表示静电场的复势的幂级数表示
