数列极限解读课件.ppt

1、第二节 数列极限 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支了极限思想，并产生了微积分的两个分支-微分微分学和积分学。学和积分学。(Limits of Sequences)1

2、2/5/20221一一 问题的提出问题的提出二二 数列极限数列极限第二节 数列极限(Limits of Sequences)三三 数列极限的性质数列极限的性质五五 思考判断题思考判断题四四 内容及数学思想方法小结内容及数学思想方法小结12/5/202221 1 割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法利用圆内接正多边形计算圆面积的方法 割圆术割圆术，就是极限思想在几何上的应用。，就是极限思想在几何上的应用。一一 问题的提出问题的提出(Introduction)12/5/20223R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面

3、积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.141612/5/20224二 数列的极限1 1 数列数列,21nxxx数列的通项数列的通项nx例如例如;,21,81,41,21nn21xyO.)1(1 n;,)1(,1,1,11 n.(Limits of Sequences)12/5/20225注：注：1）数列对应着数轴上一个点列，可看作）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取一动点在数轴上依次取.,

4、21nxxx1x2x3x4xnx2）数列是以自然数为定义域）数列是以自然数为定义域的函数的函数).(nfxn)1(1nnn ,9999.0,9999.0,999.0,99.0,9.0)1011(n;,)1(,34,21,21nnn 12/5/202262 数列极限的定义数列极限的定义从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的属性属性-收敛性收敛性。正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAASnnX211 1抛开具体含义，抽象得到数学模型抛开具体含义，抽象得到数学模型-数列极限数

5、列极限。12/5/20227.)(时的变化趋势当观察数列nnn 112播放播放图形演示图形演示12/5/20228.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:极限的粗略定义极限的粗略定义).(n1xn12/5/20229,1001给定给定,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx一般地，

6、).(naxn,101给定,时只要10n,1011 nx有12/5/202210极限的精确定义极限的精确定义如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不等式不等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注注;)1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn .)2有有关关与与任任意意给给

7、定定的的正正数数 N但但N不是不是的函数的函数如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 12/5/202211具有任意性，确定性具有任意性，确定性N具有存在性，相应性具有存在性，相应性4）数列的极限与前面的有限项无关）数列的极限与前面的有限项无关。.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使3）:定义定义N 极限的精确定义极限的精确定义任意任意存在存在12/5/202212x1x2x2 Nx1 Nx3x3 几何解释几何解释 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn ,limaxnn

8、12/5/2022134 用数列极限的定义证明极限用数列极限的定义证明极限.例例1.2)1(2lim1 nnnn证证明明证证2nx2)1(21 nnnn1,0 任给任给,2 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 2)1(21nnn就有就有.2)1(2lim1 nnnn即即12/5/202214例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证明证明Cxn CC ,成立成立 ,0 任给任给所以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.12/5/202215例例3.1,0l

9、im qqnn其中其中证明证明证证,0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 12/5/2022161 唯一性唯一性定理定理1 1 收敛的数列只有一个极限收敛的数列只有一个极限.证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得.,021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当

10、上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.三三 数列极限的性质数列极限的性质12/5/202217例例4.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(,aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1,1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.发散发散因此数列因此数列nx12/5/2022182 有界性有界性例如例如,;1是有界的是有界的数列数列 nnxn数数轴轴上上对对应应于于有有界

11、界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn ,limaxnn 12/5/202219定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注注1 有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.注注2 2 无界数列必定发散无界数列必定发散.2

12、nnx 数列数列注注3 3 有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛.)1(nnx 数数列列12/5/202220定理定理3 3 收敛的数列的保号性收敛的数列的保号性.).0(0,0),0 (0,lim nnnnxxNnNaoraax都都有有时时当当那那么么存存在在正正整整数数且且设设证证,2,0aa 对对不不妨妨设设,2,aaxNnNn 时时恒恒有有使使得得当当则则.22aaxaan 即有即有.02 aaxn12/5/2022214 4 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系.称称为为原原数数列列的的子子数数列列。列列中中的的先先后后次次序序得得到到的的数数并并保保持持这这些些项项在在

13、原原数数列列中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项列列子子数数列列（子子列列）：在在数数nxknnnnxxxx,321记作记作,3,2,1 nxn 比如，自然数列比如，自然数列的子数列的子数列就是就是2nkxkn,6,4,212/5/202222定理定理4 4 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系.aaxn收收敛敛于于，那那么么它它的的任任一一子子列列也也收收敛敛于于如如果果数数列列.的的任任一一子子数数列列是是数数列列证证：设设数数列列nnxxk,limaxnn 由定义由定义,使得使得,0N ;axNnn时恒有时恒有当当,NK 取取.,NnnnKkNKk 有有时时则则当当.axkn

14、.limaxknk 这这就就证证明明了了12/5/202223四四 内容小结及数学思想方法内容小结及数学思想方法数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性，唯一性有界性，唯一性.思想方法思想方法 12/5/202224五五 思考判断题思考判断题下列定义是否可作为数列极限的定义；下列定义是否可作为数列极限的定义；1、对任意的对任意的 axNnNn时，成立时，成立当当,02、对任意的、对任意的 axxNnn满满足足存存在在无无限限多多个个,012/5/202225.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示

15、图形演示12/5/202226.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202227.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202228.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202229.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202230.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202231.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n

16、nn图形演示图形演示12/5/202232.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202233.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202234.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202235.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202236.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202237.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形演示图形演示12/5/202238