2020届高考冲刺理科数学小题增分必练：圆锥曲线.DOC

1、 第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - 小题专项训练小题专项训练 15 圆锥曲线圆锥曲线 一、选择题 1若抛物线 y22px(p0)上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为 ( ) Ay24x By26x Cy28x Dy210x 【答案】C 【解析】由题意可得p 224，解得 p4，所以抛物线的标准方程为 y 28x. 2若双曲线 C1：x 2 2 y2 81 与 C2： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线 C2的焦 距为 4 5，则 b( ) A2 B4 C6 D8 【答案】B 【解析】由题意得b a2b2a，C2的焦距 2c4 5c

2、 2a2b220，解得 a2，b4. 3已知 F1，F2为椭圆x 2 25 y2 91 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，|AB|8， 则|AF2|BF2|( ) A2 B10 C12 D14 【答案】C 【解析】由题意，椭圆的长半轴长 a5，由椭圆定义知|AB|AF2|BF2|4a20.|AB| 8，|AF2|BF2|20812. 4若函数 f(x)k(x1)(x2)的图象与坐标轴的交点是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的顶点或 焦点，则 k( ) A 3 B 3 C 3 2 D 3 2 【答案】D 【解析】由题意得 c1，a2，则 b 3，所以 32k，解得 k 3

3、 2 . 5 (2019 年重庆模拟)已知圆(x1)2y23 4的一条切线 ykx 与双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)有两个交点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( ) A(1， 3) B(1,2) 第 - 2 - 页 共 6 页 - 2 - C( 3，) D(2，) 【答案】D 【解析】 圆心到直线的距离 d |k| 12k2 3 2 ， 所以 k 3.由题意， 得b a 3， 所以 1 b2 a24， 所以 e2. 6(2019 年山东济南模拟)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP 4

4、FQ ，则|QF|( ) A7 2 B3 C5 2 D2 【答案】B 【解析】如图所示，因为FP 4FQ ，所以|PQ| |PF| 3 4.过点 Q 作 QMl，垂足为 M，则 MQ x 轴，所以|MQ| 4 |PQ| |PF| 3 4，所以|MQ|3，由抛物线定义知|QF|QM|3. 7已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，M 为抛物线 C 上一点，若OFM 的外接圆 与抛物线 C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为 9，则 p( ) A4 B3 C2 D1 【答案】A 【解析】OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，OFM 的外接圆的圆心到准线 的距离等于圆的半径由

5、外接圆的面积为 9，得外接圆半径为 3.又圆心在线段 OF 的垂直平 分线上，|OF|p 2， p 2 p 43，解得 p4. 8(2019 年广西南宁模拟)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的 垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于点 B，若FB 2FA，则此双曲线的离心率为( ) A 2 B 3 C2 D 5 【答案】C 【解析】如图，因为FB 2FA，所以 A 为线段 FB 的中点所以24.又13， 第 - 3 - 页 共 6 页 - 3 - 2390 ， 所以124223.故2390 32230 160 b a 3.所以 e 21 b a 24，

6、解得 e2. 9设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在椭圆上，且CBA 4.若|AB|4，|BC| 2，则椭圆的 两个焦点之间的距离为( ) A2 3 3 B2 6 3 C4 3 3 D4 6 3 【答案】D 【解析】如图，不妨设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，由题意知 2a4，则 a2. CBA 4，|BC| 2，点 C 的坐标为(1,1)点 C 在椭圆上， 1 4 1 b21.b 24 3，则 c2a2b244 3 8 3，解得 c 2 6 3 .椭圆的两个焦点之间的距离为4 6 3 . 10如图，已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且依次交抛物线及圆(

7、x1)2y2 1 4于点 A，B，C，D 四点，则 9|AB|CD|的最小值是( ) A10 B11 C12 D13 【答案】B 【解析】抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x1，由抛物线的定义得|AF|xA1. 第 - 4 - 页 共 6 页 - 4 - 又|AF|AB|1 2，|AB|xA 1 2.同理|CD|xD 1 2.当 lx 轴时，则 xAxD1，9|AB| |CD|15； 当 l 与 x 轴不垂直时， 设其方程为 yk(x1)， 代入抛物线方程， 化简得 k2x2(2k2 4)xk20，xAxD2k 24 k2 ，xAxD1， 9|AB|CD|59xAxD52 9x

8、AxD11.综上，9|AB|CD|的最小值为 11. 11(2019 年河南洛阳模拟)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，斜率为 1 的直线过双 曲线 C 的左焦点且与该双曲线交于 A，B 两点，若OA OB 与向量 n(3，1)共线，则双 曲线 C 的渐近线方程为( ) Ay 3 3 x By 3x Cy 6 3 x Dy 2 3 3 x 【答案】A 【解析】 由题意得直线方程为 yxc， 代入双曲线的方程， 整理得(b2a2)x22a2cxa2c2 a2b20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2a2c b2a2，y1y2x1x22c 2b2c b

9、2a2，OA OB 2a2c b2a2， 2b2c b2a2 .OA OB 与向量 n(3，1)共线， 2a2c b2a23 2b2c b2a2，得 a 23b2. C 的渐近线方程为 y b ax 3 3 x. 12已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(1,0)，且离心率为 1 2，ABC 的三个顶 点都在椭圆 C 上，设ABC 三条边 AB，BC，AC 的中点分别为 D，E，M，且三条边所在直 线的斜率分别为 k1，k2，k3，且 k1，k2，k3均不为 0，O 为坐标原点若直线 OD，OE，OM 的 斜率之和为 1，则1 k1 1 k2 1 k3( ) A12

10、 B3 C4 3 D 51 2 【答案】C 【解析】由 c1，ec a 1 2，得 a2，b 2a2c23，椭圆的方程为x 2 4 y2 31.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(s1，t1)，E(s2，t2)，M(s3，t3)，由 A，B 在椭圆上，得 3x214y21 12,3x224y2212，两式相减得y1y2 x1x2 3 4 x1x2 y1y2，k1 y1y2 x1x2 3 4 x1x2 y1y2 3 4 s1 t1 ，即 1 k1 4 3 t1 s1.同理 1 k2 4 3 t2 s2， 1 k3 4 3 t3 s3. 1 k1 1 k2 1 k3 第

11、 - 5 - 页 共 6 页 - 5 - 4 3 t1 s1 t2 s2 t3 s3 .直线 OD，OE，OM 的斜率之和为 1， 1 k1 1 k2 1 k3 4 3. 二、填空题 13已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的渐近线方程为 y 3 3 x，则其焦距为_ 【答案】4 【解析】由渐近线方程为 y 3 3 x，得1 a 3 3 ，解得 a 3，故 c 3212，所以 焦距为 4. 14 已知ABC 的顶点 A， B 坐标分别为(4,0)， (4,0)， C 为动点， 满足 sin Bsin A5 4sin C，则 C 点的轨迹方程为_ 【答案】x 2 25 y2 91(x 5) 【

12、解析】由 sin Bsin A5 4sin C，可知|AC|BC| 5 4|AB|108|AB|，满足椭圆定义令 椭圆方程为x 2 a2 y2 b21，则 a5，c4，b3，故轨迹方程为 x2 25 y2 91(x 5) 15(2019 年甘肃张掖模拟)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线 及其准线于点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_ 【答案】y23x 【解析】如图，分别过点 A，B 作准线的垂线 AE，BD，分别交准线于点 E，D，则|BF| |BD|.|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30 .又|AE|AF|

13、3，|AC|6，即点 F 是 AC 的中点根据题意得 p3 2，抛物线的方程是 y 23x. 16抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点若 x1x2 42 3 3 |AB|，则AFB 的最大值为_ 【答案】2 3 第 - 6 - 页 共 6 页 - 6 - 【解析】由抛物线的定义，得|AF|x12，|BF|x22.又 x1x242 3 3 |AB|，得|AF| |BF|2 3 3 |AB|，所以|AB| 3 2 (|AF|BF|) cos AFB|AF| 2|BF|2|AB|2 2|AF| |BF| |AF|2|BF|2 3 2 |AF|BF| 2 2|AF| |BF| 1 4|AF| 21 4|BF| 23 2|AF| |BF| 2|AF| |BF| 1 8 |AF| |BF| |BF| |AF| 3 4 1 82 |AF| |BF| |BF| |AF| 3 4 1 2.而 0AFB，AFB 的最大值为 2 3 .