人教版《解直角三角形及其应用》课件.pptx

1、人教版九年级下册28.2 28.2 解直角三角形及其应用（解直角三角形及其应用（2 2）观看视频：观看视频：2012年年6月月18日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接一号目标飞行器成功实现交会对接这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是什么呢？什么呢？答：（答：（1）勾股定理；（）勾股定理；（2）直角三角形的两锐角互余；（）直角三角形的两锐角互余；（3）在直角三角形中，应用锐

2、角三角函数的知识）在直角三角形中，应用锐角三角函数的知识 新课讲解新课讲解把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们就学习就学习“解直角三角形的应用解直角三角形的应用”新课讲解新课讲解例例1 2012年年6月月18日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞九号载人航天飞船与船与“天宫天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接一号目标飞行器成功实现交会对接“神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体在离地球表面一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组

3、合体运行到地的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少点的距离是多少(地地球半径约为球半径约为6 400 km，取，结果取整数取，结果取整数)？新课讲解新课讲解（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？最远点？答：是视线与地球相切时的切点答：是视线与地球相切时的切点 新课讲解新课讲解（2）你能根据题意画出示意图吗？）你能根据题意画出示意图吗？答：如图，答：如图，FQ切切 O于点于点Q

4、，FO交交 O于点于点P（3）如上图，最远点）如上图，最远点Q与与P点的距离是线段点的距离是线段PQ的长吗？的长吗？为什么？为什么？新课讲解新课讲解答：不是，地球是圆的，最远点答：不是，地球是圆的，最远点Q与与P点的距离是点的距离是的长的长（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？）上述问题实质是已知什么？要求什么？答：已知答：已知RtFOQ中的中的FO和和OQ，求，求FOQ，并进而，并进而求求 O中中 的长的长 新课讲解新课讲解 解：设解：设POQ=，在图中，在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形6400cos0.949 16400343OQOF ，18.3618.

5、3618.36 3.1426 4006 4002 051 180180 的长为的长为 由此可知，当组合体在由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离面时的最远点距离P点约点约2 051 km 新课讲解新课讲解例例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为仰角为30，看这栋楼底部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与，热气球与楼的水平距离为楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数），这栋楼有多高（结果取整数）？新课讲解新课讲解解：由题意，得MN=EF，NF=6.（3）如上图，最远点

6、Q与P点的距离是线段PQ的长吗？为什么？的长为 观测点不同，所得的方向角也不同所以 (m)答：过点A作BC的垂线段AD，则线段AD的长即为120 m故334124，18266（4）你能用不同方法解决这个问题吗？在RtBPC中，B=34，观看视频：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接（3）得到数学问题的答案；PC=PAcos(90-65)2 m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2 m，并保持坝顶宽度不变，但背水坡的坡度由原来的1 2变成（有关数据在图上已注明），求加高后的坝底HD的长为多少？答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是（1）

7、如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？解：设POQ=，在图中，FQ是 O的切线，FOQ是直角三角形如下图，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的ABC称为坡角（3）如上图，最远点Q与P点的距离是线段PQ的长吗？为什么？解：由题意，得MN=EF，NF=6.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6 400 km，取，结果取整数)？HD=HN+NF+FDCD=ADtan=120tan60 如图，当我们进

8、行测量时，在视线与水平线所成如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角仰角，视线在水，视线在水平线下方的角叫做平线下方的角叫做俯角俯角 新课讲解新课讲解这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是什么呢？解：如图，在RtAPC中，1如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.（4）你能用不同方法解决这个问题吗？答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是HD=HN+NF+FD2如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60方向，前进6海

9、里到B点，测得该岛在北偏东30方向已知该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参考数据：）（3）得到数学问题的答案；方法2：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出BC的长故334124，18266例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）故334124，18266故334124，18266（2）“热气球与楼的水平距离”如何表示？，解：设POQ=，在图中，FQ是 O的切线，FOQ是直角三角形（2）你能根据题意画出示意图

10、吗？答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是方法2：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出BC的长答：已知=30，=60，AD=120 m，求BC的长解：如图，=30，=60，AD=120（1）如何根据题意画出示意图？）如何根据题意画出示意图？解：如下图解：如下图 新课讲解新课讲解如下图，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的ABC称为坡角解：由题意，得MN=EF，NF=6.方法2：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出BC的长（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？故334124，18266答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是HD=HN+NF+FD（

11、2）“热气球与楼的水平距离”如何表示？（2）你能根据题意画出示意图吗？方法2：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出BC的长观看视频：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接观测点不同，所得的方向角也不同答：是视线与地球相切时的切点故334124，18266故334124，18266（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2 051 km（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？（2）直角三角形的两锐角互余；观看视频：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与

12、“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？BD=（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？2 解直角三角形及其应用（2）（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？所以 (m)注意：（1）坡度i不是坡角的度数，它是坡角的正切值，即i=tan；一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅直高度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用i表示，记作i=hl，坡度通常写成hl的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作HD=HN+NF+FD利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：的长为 答：不是，地球是圆的，最远点Q

13、与P点的距离是答：已知=30，=60，AD=120 m，求BC的长由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2 051 km（3）结合示意图，问题已知什么？要求什么？答：如图，FQ切 O于点Q，FO交 O于点P（4）你能用不同方法解决这个问题吗？（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？解：如图，=30，=60，AD=120观测点不同，所得的方向角也不同故334124，18266（4）你能用不同方法解决这个问题吗？，例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取

14、整数）？（2）“热气球与楼的水平距离热气球与楼的水平距离”如何表示？如何表示？答：过点答：过点A作作BC的垂线段的垂线段AD，则线段，则线段AD的长即为的长即为120 m（3）结合示意图，问题已知什么？要求什么？）结合示意图，问题已知什么？要求什么？答：已知答：已知=30，=60，AD=120 m，求，求BC的长的长（4）你能用不同方法解决这个问题吗？）你能用不同方法解决这个问题吗？答：方法答：方法1：利用正切先求出：利用正切先求出BD的长，再求的长，再求CD的长；的长；方法方法2：先求出：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出BC的长的长 新课讲解新课讲解（5）联系

15、例）联系例1，例，例2在图形上有何变化？在图形上有何变化？答：答：例例1中只有一个直角三角形，而例中只有一个直角三角形，而例2中有两个直中有两个直角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的两侧两侧 新课讲解新课讲解 (m)解：解：如图，如图，=30，=60，AD=120 ，tanBDADtanCDADBD=ADtan=120tan30 ，312040 331203120 3CD=ADtan=120tan60 40 3120 3BCBDCD160 3277因此，这栋楼高约为因此，这栋楼高约为277 m 新课讲解新课讲解例例3 如图，一艘海轮位于灯塔如

16、图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，方向，距离灯塔距离灯塔80 n mile的的A处，它沿正南方向航行一段时处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔间后，到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处处这时，这时，B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？新课讲解新课讲解分析：分析：方向角通常是以南北方向线为主，一般习方向角通常是以南北方向线为主，一般习惯说成惯说成“南偏东（西）南偏东（西）”或或“北偏东（西）北偏东（西）”；观测；观测点不同，所得的方向角也不同点不同，所得的方向角也不同解：如图，在解：如图，在RtAPC中，中，PC=PAcos

17、(90-65)=80cos25 新课讲解新课讲解在在RtBPC中，中，B=34，sinPCBPB72.505130 n milesinsin34PCPBB（）因此，当海轮到达位于灯塔因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，方向时，它距离灯塔它距离灯塔P大约大约130 n mile 新课讲解新课讲解例例4 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度，斜面坡度i是指坡面的铅直高度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度与水平宽度BF的比，斜面坡的比，斜面坡度度i=13是指是指DE与与CE的比根据图中数据，求：（的比根据图中数据，求：（1）坡角）坡角和和的度数；的度

18、数；（2）斜坡）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）的长（结果保留小数点后一位）新课讲解新课讲解如下图，如下图，BC表示水平面，表示水平面，AB表示坡面，我们把表示坡面，我们把水平面水平面BC与坡面与坡面AB所形成的所形成的ABC称为称为坡角坡角一般地，线段一般地，线段BC的长度称为斜坡的长度称为斜坡AB的的水平宽度，线段水平宽度，线段AC的长度称为斜坡的长度称为斜坡AB的铅的铅直高度坡面的铅直高度直高度坡面的铅直高度h和水平宽度和水平宽度l的比的比叫做坡面的叫做坡面的坡度坡度（或坡比），用（或坡比），用i表示，记表示，记作作i=hl，坡度通常写成坡度通常写成hl的形式，坡面的形式，坡面与水平

19、面的夹角叫做坡角，记作与水平面的夹角叫做坡角，记作 新课讲解新课讲解于是于是 =tan显然，坡度越大，显然，坡度越大，越大越大hil注意：（注意：（1）坡度）坡度i不是坡角的度数，它是坡角不是坡角的度数，它是坡角的正的正切值，即切值，即i=tan；（2）坡度）坡度i也叫坡比，即也叫坡比，即，一般写成，一般写成1m的形式的形式 新课讲解新课讲解解：解：（1）由已知，得）由已知，得 ，12tan1.531tan3故故334124，18266（2）在）在RtABF中，因为中，因为 ，6sinAB6610.8sin0.5547AB所以所以 (m)新课讲解新课讲解1如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形如图，

20、某拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝，坝顶宽顶宽BC为为6 m，坝高为，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高能力，需要将水坝加高2 m，并保持坝顶宽度不变，并保持坝顶宽度不变，但背水坡的坡度由原来的但背水坡的坡度由原来的1 2变成（有关数据在图上变成（有关数据在图上已注明），求加高后的坝底已注明），求加高后的坝底HD的长为多少？的长为多少？巩固练习巩固练习解：解：由题意，得由题意，得MN=EF，NF=6.在在RtHNM与与RtEFD中，中，MN HN，EF FD=1 2，HN=13，DFHD=HN+NF+FD因此加高后的坝底因此加高后的坝底HD的长为米

21、的长为米 巩固练习巩固练习2如图，某船向正东方向航行，在如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛处望见某岛C在在北偏东北偏东60方向，前进方向，前进6海里到海里到B点，测得该岛在北点，测得该岛在北偏东偏东30方向已知该岛周围方向已知该岛周围6海里内有暗礁，若该海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参考数据：考数据：）3 巩固练习巩固练习解：解：该船继续向东行驶，有触礁的危险该船继续向东行驶，有触礁的危险过点过点C作作CD垂直垂直AB的延长线于点的延长线于点D，CAB=30，CBD=60，BCD=30.设设CD的长为的长为x，则，

22、则tanCBD=，CDxBDBD BD=33x 巩固练习巩固练习tanCAB=tan 30=，x=33363CDxADx3 3而而x6，继续向东行驶，有触礁的危险继续向东行驶，有触礁的危险 巩固练习巩固练习 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；角形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案课堂小结课堂小结