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1、理论力学理论力学 练习题练习题仅供参考tlAPLABROA,sin)(coscoslLylRxppsinsinLR sin)(sincos222LRlLyRLLlRxpp解：解：1 1、P 点运动方程点运动方程例：例：求求 P 点的运动方程，点的运动方程，P 点的速度和加速度点的速度和加速度OxyABP2 2、P 点的速度和加速度点的速度和加速度列车沿铁轨行驶列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点若将列车视为质点且运动轨迹已知。且运动轨迹已知。问题问题:质点质点M沿椭圆轨道匀沿椭圆轨道匀速率运动，如何确定其加速速率运动，如何确定其加速度的大小和方向？度的大小和方向？问题问题:如果已知点的运动轨迹和点

2、的速度的大小随时间的变如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变化规律，如何确定点的加速度化规律，如何确定点的加速度?过山车过山车 车辆转弯时，为什车辆转弯时，为什么要限速？高速路坡度拐弯？卫星变轨时从近地轨道转移到么要限速？高速路坡度拐弯？卫星变轨时从近地轨道转移到远地轨道时，速度的增量是多少？远地轨道时，速度的增量是多少？例：例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。CtztRytRx ,sin,cos运动方程运动方程:解：解：222zyxv 222zyxa ntaaa 2nt,s

3、asa as2 zvyvxvzyx zayaxazyx const.222 CRs2R RCR22 例：例：半径为半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u（常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。（常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。)sin(Rxsin)cos1(uyvuxvyx cossin uyauxayx 解：解：建立建立M M点的运动方程点的运动方程Ruaayx2,0,0vRu),1,0(2 kk当当)cos1(Ry例：例：已知图示瞬时动点已知图示瞬时动点A的速度和加速度，的速度和加速度，求该瞬时动点求该瞬时动点A的的 。已知：已知：2m/s

4、10m/s,10 av,yxyx zvyvxvzyx zayaxazyx m/s)(30cos100 xvx 解：解：m/s)(30sin100 yvy)m/s(02 xax )m/s(102 yay n2av 0230cosavm320vaxyO030A(x,y)内力的性质内力的性质对任何一对质点间的相互作用力对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知由牛顿第三定律知:证明证明:表示第表示第j个质点对第个质点对第i个质点的作用力个质点的作用力.质点组中所有内力的矢量和等于零质点组中所有内力的矢量和等于零。011)(ninijjijifFjiijff0jiijffijf011)(ninij

5、jijifF由于内力是成对出现的由于内力是成对出现的第二章质点组的所有内力对任一参考点的力 矩的矢量和恒为零.jiijfrfrjiijijfrfrjioxyijijfjifirjrijfrrji)(ijijfr0对上式求和就是对上式求和就是质点组的所质点组的所有内力对有内力对o点的力矩的矢量和点的力矩的矢量和0内M第二章求半径为求半径为R的均质半球的质心。的均质半球的质心。oxyRrdzrdm2dzzR)(22332RMRRdzzRzzdmzRRc8332)(03022ozz例题：例题：第二章质点水平方向的加速度 ;劈的加速度 ;劈对质点的反作用力R1;水平面对劈的反作用力R2.1x2x例：例

6、：质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上 自由滑动。试求第二章 1122 m x+m x=0 a:水平方向动量守恒 解 1211212112cosab:xcos x c mvmmmvmm由知 121 x=x-v cos b 令 为沿斜面下滑的速度（相对），则1v第二章（非惯性系）对m1有 12 =gsin+x cos dv 11211 m gsin+m x cos=m v 12221sincos:xsinmgmm代入 c 得2112221sincos x=x-v cos sinmgmm 第二章2212122221y:RR cos0 Rsinm gm

7、mmgmm对劈向 11121121221y:Rx sincos0cos Rsinmmm gm mgmm对向 第二章例题：例题：雨点开始自由下落时的质量为雨点开始自由下落时的质量为 ，在下，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为质量为 ，略去空气阻力，试求雨点在，略去空气阻力，试求雨点在t秒后所下落的距离。秒后所下落的距离。M解：解：因为因为0uFvmdtd)(tMmgtMF)(第二章gtMvtMdtd)()(积分得：积分得：12)21()(cgtMvtM00,01cvtgtMtMdtdsv221再积分得：再积分得：2222)ln(22)21(2c

8、tMgMtMgtgsMgMcstln20,0222)1ln(2212222tMMtMtgs第二章xyz1F2F3FabcO例：例：求力系求力系Fi向向O点简化的结果。点简化的结果。kjirkjiFiiiiiiziyixzyxFFF解：解：1 1、2、niiiOnii11RFrMFF3、根据主矢和主矩的计算结果根据主矢和主矩的计算结果 判断该力系的简化结果判断该力系的简化结果。第三章证明：证明：设三个力不平行且平衡设三个力不平行且平衡,则：三力共面且作用线交于一点则：三力共面且作用线交于一点AAFBFCFBCBACAFBFCFBArCArAAFBFCFBCDBFCFBCFAAFBCD若三力平衡，

9、有：若三力平衡，有：0CACBABFrFr由此得：由此得：共面共面CBFF,因为因为 不平行，相交于不平行，相交于D点点CBFF,合成为力合成为力CBFF,BCF由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点第三章例：例：已知已知ABAB梁长为梁长为l，其上受有均布载荷，其上受有均布载荷q，求，求A处的约束力处的约束力ABAMAxFAyF0,0AxxFF解：研究解：研究AB梁，画受力图。梁，画受力图。qlFxqFFAylAyy,0d,002021,0d,0qlMxxqMMAlAAAB第三章例例 题题一根均匀的棍子，重为一根均匀的棍子，重为P，长为，长为 。

10、今将其一端置于粗。今将其一端置于粗糙地面上，又一其上的糙地面上，又一其上的c点靠在墙上，墙离地面的高度为点靠在墙上，墙离地面的高度为h,当棍子与地面的角度当棍子与地面的角度 为最小值为最小值 时，棍子在上述时，棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。l 20解：解：是共面力系的是共面力系的平衡问题平衡问题00第三章解出解出2200200sincossincosfNlhl0 xF0)90cos(01fN0yF0)90sin(201PNN0zM0sincos010hNPl2Nf00第三章例例 题题 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均

11、匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为 crc)2(422第三章解：1N,2NG均质棒受到碗的弹力分别为均质棒受到碗的弹力分别为棒自身重力为棒自身重力为。l棒与水平方向的夹角为棒与水平方向的夹角为设棒的长度为设棒的长度为xy 由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零 0sin2cos21NNFx0cos2sin21GNNFy第三章Az沿过点且与轴平行的合力矩为0。即：0cos22lGcNMi由式得：22cos1cos22cl又由于,cos2crrc2cos将代入得：crcl2224第三章例题：设质量为例题：设质量为m的复摆绕通过某点的复摆绕通过某点o的水

12、的水平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动周期，并加以讨论。周期，并加以讨论。思路:根据转动定律求出振动动力学方程02xx 求其运动方程及其振动周期求其运动方程及其振动周期第三章解解 运动微分方程运动微分方程zzzMI200sinmglImk由转动方程由转动方程220Cglkl22sinCglAtkl22022CklIglmgl周期周期222lkkco第三章22sinCglAtkl22022CklIglmgl周期周期与单摆所具有的形式很类似，所以说单摆是复摆的一个特例。第三章Omgl211sin032mlmgl302gl32gl223lTg 例例 每个人行

13、走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。zzzzMI由转动方程由转动方程第三章OAB例：例：已知已知OA杆的角速度杆的角速度，求图示瞬时滑块，求图示瞬时滑块B的的速度速度和和 AB杆的杆的角速度角速度。OAABROA ,60,0解：解：研究研究AB杆，取杆，取A为基点为基点ABAvBvBAv)1(BAABvvv332cosRRvB（1）式在）式在AB

14、杆上投影杆上投影RvvAB cos（1）式在）式在OA杆上投影杆上投影BABvv sinAv31ABvBAABABBAABv 第三章ABORvA解：解：Av例例：曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转动。求当转动。求当 =60时，时，滑块滑块B的速度及连杆的速度及连杆AB的角速度。的角速度。RAB3ROA BvPABAP研究连杆研究连杆AB：ABBBPvR332333 RRAB（1 1）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，也可以位于其延展体上。也可以位于其延展体上。第三章ABOBv研究研究连杆连杆AB：（2）当）当 =90时，滑块时，滑块B的速度及连的速度及连杆

15、杆AB的角速度为多少？的角速度为多少？Av 该瞬时，连该瞬时，连杆杆AB的的在无穷远处，在无穷远处，0ABMAAMvvvA为基点，为基点，杆杆AB上任一点上任一点M的速度的速度AvMMv 图形上各点的速度分布如同图形作图形上各点的速度分布如同图形作故图形在故图形在的运动称为的运动称为。平移时的一样。平移时的一样。第三章OOv例例:沿直线沿直线作纯滚动的车轮，其半径为作纯滚动的车轮，其半径为R，轮心的速度为，轮心的速度为u，求轮上求轮上A、B、C、D的速度。的速度。解：解：)(P车轮与轨道的接触点车轮与轨道的接触点A为为速度瞬心速度瞬心。0PAvv车轮的角速度为车轮的角速度为RuBvDvCv,2

16、uvB,2uvCODvv2ABCD速度瞬心法的特点：速度瞬心法的特点：（1 1）计算简便；）计算简便；（2 2）直观解了平面运动图形上各点的速度分布）直观解了平面运动图形上各点的速度分布。第三章例题长为 的直杆，A端搁在水平地面上，B端靠在墙上，已知A端的水平速度为 ，求杆与竖直方向成 角时B端的速度和杆的角速度。l 2Av解：BBv瞬心法：AvAOxyCACAlvcos2lvlvAACABcBlvtgvllvvAABsin2cos2方向y轴负方向第三章基点法求速度 ACAlvcos2lvlvAACAjtgvivjtgvkivjlilivlvvAAAAAABAB)()()cos2sin2(Av

17、AOxy第三章例例 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。COmgNfOyxC解解 （A）机械能守恒定律）机械能守恒定律.(1)Cxa约束方程：22222112211.(2)2CzzCTmxIkmxa动能动能sin.(3)CVmgx 势能势能机械能机械能22211sin.(4)2CCkEmxmgxa求微商，得求微商，得22sin1/.(5)Cgxka实心圆柱体实心圆柱体2sin3Cxg空心圆柱体空心圆柱体1sin2Cxg不能求约束反力不能求约束反力第三章.(1)Cxa约束方程：sin.(2)0cos.(3)CxmgfNmgmg质心质心C点的平动方程：点的平动方程：

18、绕质心绕质心C点的转动方程：点的转动方程：2.(4)mkfa联立方程可求得：联立方程可求得：22222sinCkmgkfmxaakcosNmg222fk tgNak无滑滚动的条件：COmgNfOyxC解解 （B）运动定理）运动定理第三章这个是一般运动问题这个是一般运动问题AAdrvvvrdtAvVj1VjkRsincosrlilk 例例 当飞机在空中以定值速度当飞机在空中以定值速度V沿半径为沿半径为R的水平圆形的水平圆形轨道轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心与中心A的联线和沿垂线成的联线和沿垂线成角时，角时，B点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度点的速度及加速度。已知螺旋

19、桨的长度AB l，螺，螺旋桨自身旋转的角速度为旋桨自身旋转的角速度为1。因此，因此，B点的速度为：点的速度为：1sincosBVvVjjklilkR11cos1sinsinBlvliVjlkR第三章BAdaarrdtAvVj1VjkRsincosrlilk iRVaA2dtkRVjddtd)(1iRVjdtj ddtjd)(10111iRVdtd1k为恒矢量所以第三章2222211121111sincoscoscos2sinsincoscossinAVdVaarriililkdtRRVVVljklijllVV llijlkkRRRRR 12222222211122sinsincoscosVlV

20、V lallRRR第三章AB 例：例：物块物块A、B放在半径为放在半径为R处于静止的水平圆处于静止的水平圆盘的边缘，两者间的静滑动摩擦因数为盘的边缘，两者间的静滑动摩擦因数为f，物块，物块的质量分别为的质量分别为mA mB，将物块视为质点，圆盘，将物块视为质点，圆盘以角速度以角速度t 绕铅垂轴转动。试绕铅垂轴转动。试确定圆盘转确定圆盘转动后，物块开始滑动的时间。动后，物块开始滑动的时间。gf R RNFgm解：受力分析与运动分析解：受力分析与运动分析0eNFFmgFf neateaneFteF在圆盘面内：在圆盘面内：eFFf0e FFf)(neteFF 2ne2teeN)()(FFFFfFf2

21、22)()(RmRmmgf222)()(tRgffFt 例例 在一光滑水平直管中，有一质量为在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定的小球，此管以恒定角速度角速度绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转动轴的距离为动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反作用力。动规律及管对小球的约束反作用力。解解 非惯性参照系非惯性参照系小球运动微分方程小球运动微分方程2020yzmxmxmyRmgmzmxR,ttttxAeBexA eB e0,0/2txa xABach

22、2ttaxeeat222yzRmgRm xmash tAB090 OF二、虚功二、虚功 虚功虚功（virtual work)：作用于质点作用于质点(系系)上的力在虚位移上所作的功。上的力在虚位移上所作的功。rF WkjirkjiFzyxFFFzyx zFyFxFWzyx Br例：例：若若OAOA杆的虚位移为杆的虚位移为 ，OAR，求力，求力F 的虚功。的虚功。BWrF ArF FR ABrr Ar例题：例题：若斜块若斜块A A和滑块和滑块B B之间之间 （1 1）：）：有摩擦；有摩擦；（2 2）：无摩擦。）：无摩擦。则则该系统是否是理想约束该系统是否是理想约束AB地面光滑地面光滑?01Nnii

23、irF（1）：有摩擦）：有摩擦是非理想约束是非理想约束01 rFSB（2）：无摩擦）：无摩擦是理想约束是理想约束01NniiirF)()(21rrFF SBNB21)()(rFFrFFSBNBSBNB1)(rFF SBNB212)(rFrFF NSANA212)(rFrFF NSANANBFSBFNAFSAF1NF2r1r例：例：已知已知 OA=L，求，求系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡时，力偶矩时，力偶矩M与力与力F的关系（不计摩擦）的关系（不计摩擦）g1mABg2mFMO1C2C090 g3m基本步骤：基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主

24、动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 01niiirF g1mBg2mFMOg3mBArr LFM Br2Cr 0W0 MrFB MFL0)(MFL0 ABBABArr LrrBA 0 MLFAAr1Crg1mAMO1COxFOyFxFAAyF研究研究OA杆杆0 OM)1(0 MLFAx研究研究AB 杆和滑块杆和滑块B0 xF)2(0 FFAx)1()()2(L0 MFLg1mABg2mFMO1C2C090 g3mxFAAyFNBFABg2mF2Cg3m平衡方程的求解方法平衡方程的求解方法 kjjjqQW1 nijiizjiiyjiixjqzFqy

25、FqxFQ1)(jQ其中：其中：称为对应于称为对应于 的广义力的广义力jqAyBAxylo例题：例题：套筒套筒A和小球和小球B的重力分别为的重力分别为W1和和W2，求系统对应于坐标求系统对应于坐标yA的广义力。的广义力。211QyQqQWAkjjjAyQW10,0AyAAyWyWW21211WWQAyWW)(211W2WAy例：例：求系统的平衡位置。求系统的平衡位置。若已知：若已知：mgFmmmlll ,2121yx1l2lg1mg2mFOcoscoscos21211llxlxsinsinsin21211llylymgFmgFmgFFyxyx 2211002121jjjiiyiixiqQyFx

26、F0)cossin()cossin2(mglmglmglmgl0cossin0cossin2 mglmglmglmgl1tan21tan 解：方法一解：方法一、根据 独立性yx1l2lg1mg2mFO0,01r022211rFrgrgmm0)cossin2(mglmgl21tan,0解：方法二解：方法二)2,1(,0jQj021jjjqQW21rr2ryx1l2lg1mg2mFO2r0,00222rFrgm0)cossin(mglmgl1tan例例 题题 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为 crc)2(422解：1

27、个自由度qsin)2/(lcyDiDymgrFW00sincos)2/(clcyDcos2rc sin2rc0sin2cos)2/(2rlcyD0sin2cos)2/(2rlccrcl)2(422B ByxoA2 2N N1 1N NG G图题1.3.1yxoA2 2N N1 1N N解：1N,2NG均质棒受到碗的弹力分别为均质棒受到碗的弹力分别为棒自身重力为棒自身重力为。l棒与水平方向的夹角为棒与水平方向的夹角为设棒的长度为设棒的长度为xy 由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零 0sin2cos21NNFx0cos2sin21GNNFyAz沿过点且与轴平行的合力矩为0。即：0cos

28、22lGcNMi由式得：22cos1cos22cl又由于,cos2crrc2cos将代入得：crcl2224平衡的稳定性平衡的稳定性解：取解：取 =0=0 为系统的零势位为系统的零势位221sin21LkV 0sincos)(dd22221 mgLLkLkkV0dd22 V若：若：平衡位置是稳定的。平衡位置是稳定的。cos)(2cos)(dd2222122mgLLkLkkV LkkmgLk)(cosor 0sin 122平衡位置)cos1(mgL222)cos1(21 Lk 1kLgm2k例：例：系统如图所示，滑块的质量为系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为杆长为L(不计质量不计质量)，当，当

29、杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性。21kk gmgmABC L 5-3 5-3 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 动静法动静法AxFAyFBxFI2F例：例：已知：已知：，求，求A、B 的约束力。的约束力。mLhAChAB,2/,解：解：研究整体研究整体,受力分析与运动分析受力分析与运动分析sin2I2I1mLmaFF0sin)cos5.0(sin)cos5.0(0I2I1mgLLhFmgLLhFhFMBxA00I2I1FFFFFAxBxx020mgFFAyyhmLFFBxAx2sin2附加动反力：附加动反力：由于运动引起的约束力由于

30、运动引起的约束力I1F 5-3 5-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化1、将惯性力向质心、将惯性力向质心C简化简化2、将惯性力向转轴、将惯性力向转轴A简化简化3、将惯性力向杆上、将惯性力向杆上B点简化点简化AB 惯性力向质心惯性力向质心C简化：简化：2II121,2mLMLmFCCaIFCIMCaAB惯性力向转轴惯性力向转轴A简化：简化：2II31,2mLMLmFA思考题：思考题：已知均质杆长为已知均质杆长为 L，质量为，质量为m，角速度为零，角加速度为，角速度为零，角加速度为 ，CaAB2II61,2mLMLmFB惯性力向转轴惯性力向转轴B简化：简化：如何确定惯性力合力的作用线？如何确

31、定惯性力合力的作用线？IFAIMBIMIFgmAB动静法的应用动静法的应用例：例：已知已知 L,m,初始时无初速度，求初始时杆的初始时无初速度，求初始时杆的角加速角加速度和度和约束力约束力问题：问题：求解该题有几种方法？求解该题有几种方法？xFyF方法一：方法一：动静法动静法2II31,2mLMLmFA0002IIA FmgFFFFLmgMMyyxxAmgFFLgyx41,0,23 解：受力分析、运动分析、添加惯性力解：受力分析、运动分析、添加惯性力建立建立“平衡平衡”方程方程求解方程求解方程CIMIF动静法的应用动静法的应用方法三：方法三：应用动能定理应用动能定理和质心运动定理和质心运动定理

32、mgFmaFmatmJyCyxCxCAd)21(d2vg方法二：方法二：应用动量矩定理和质心运动定理应用动量矩定理和质心运动定理mgFmaFmaLmgJyCyxCxA 220LaaCyCx 运动学关系：运动学关系：gmAB xFyF例：例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为，圆盘的半径为R，圆盘在地面上纯滚动，若板上作用在一个力圆盘在地面上纯滚动，若板上作用在一个力F。求板的加速度。求板的加速度。FIF aCMIIF CMIIF应用动力学普遍方程应用动力学普遍方程0)(1IniiiirFFRaxF 解：解：运动分析运动分析系统自

33、由度系统自由度k=1受力分析受力分析maF I2I21mRMCRx x 虚位移分析虚位移分析xFI3由动力学普遍方程得：由动力学普遍方程得：02ICM03xmaxmaxF04,0maFx0)4(xmaF ABxCABC例：例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为，圆盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C 的角加速度。的角加速度。AaCaBC受力分析受力分析gmgmgmAIFBIMCIMCIFRaABRaaCAC解：解：运动分析运动分析应用动力学普遍方程应用动力学普遍方程

34、0)(1IniiiirFFAAmaFIBBBJMICCmaFICCCJMICAmRma自由度自由度K=2 ABxCxCr系统的虚位移系统的虚位移RxRxrC0IIIICCCCBArmgMrFMxF动力学普遍方程：动力学普遍方程：02325mRgRaxmgRaCACA025gRaCA023gRaCACAa00 xABCgmgmgmAIFBIMCIMCIF问题：问题：1、系统有几个自由度、系统有几个自由度2、系统的广义坐标是什么、系统的广义坐标是什么3、如何建立运动微分方程、如何建立运动微分方程4、系统存在哪些守恒量、系统存在哪些守恒量 图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，物图示机构在

35、铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，物体间用光滑铰链连接。已知各物体的质量和几何量。体间用光滑铰链连接。已知各物体的质量和几何量。xABC例题质点在主动力质点在主动力F的作用下作平面曲的作用下作平面曲线运动，求其平面极坐标下动力学线运动，求其平面极坐标下动力学方程表达式。方程表达式。解：2srq 1)(21222rrmT2qrmrT2mrT2mrrT0T令0则11qQrFWrrFQ 2令0则令0r2QrFrFWrFQ 1代入基本形式的拉格郎日方程1,2,dTTQsdtqqrFmrdtdFmrrmdtdr0)2()(2FmrdtdrFmrrmr)2(12 例求质点在单摆中的动力学方程例求质点在

36、单摆中的动力学方程广义坐标为S=1221mvT lv 2221mlT)cos1(mglVl0)cos1(2122mglmlVTL22mlLsinmglL0)(qLqldtd代入 0sin)2(2mglmldtd0sin22mglml 022mglml 动力学方程例求质点在重力场中的动力学方程例求质点在重力场中的动力学方程广义坐标为x,y.z S=3222221212121zmymxmmvTmgzV mgzzmymxmVTL)212121(222xmxL0 xLymyL0yLzmzLmgyL0)(qLqldtd代入 0 xm 0ym 0 mgzm 例求质点在重力场中的运动例求质点在重力场中的运动

37、广义坐标为x,y.z S=3222221212121zmymxmmvTmgzV mgzzmymxmVTL)212121(222xmxL0 xLymyL0yLzmzLmgyL拉氏函数不显含拉氏函数不显含yx,循环坐标yx,:iLbq有循环积分常数）(xmxL常数）(ymyL物理含义：抛体运动中，物理含义：抛体运动中，x，y方向动量守恒。方向动量守恒。2.如图所示，轴为竖直而顶点在下的抛物线如图所示，轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速金属丝，以匀角速 绕轴转动，一质量为绕轴转动，一质量为 的小环的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动，试用分析力学的方法求出

38、小环在丝滑动，试用分析力学的方法求出小环在 方向的运动微分方程。已知抛物线的方程方向的运动微分方程。已知抛物线的方程为为 ，式中，式中 为一常数。为一常数。mxayx42ayxo图4（第六题）自由度是1 解：yxo图4（第六题）xq 根据转动参照系速度关系可以写出根据转动参照系速度关系可以写出rvv因而质点相对于静止坐标系的动能是因而质点相对于静止坐标系的动能是)41(21)(21222222222xaxxmxmyxmTaxmgmgyV42)41(2122222xaxxmLaxmg42-代入保守系的拉格朗日方程得024)41(22222axmgxmxaxmxaxm 3如图所示，有一质量为m的单

39、摆B，摆长为 ，摆悬挂在质量为M的滑块A 上，滑动可在一光滑直线轨道上运动。lAxyB2sxq 12qxxA0Ay AxyBsinlxxBcoslyB cos21)(21)(2121222222xmlmlxmMyxmxMTBBAcosmglVcos21)(21222xmlmlxmMVTLcosmgl+0sincos)()(2 mlmlxmMxLxLdtd0sincos)(2mglxmlmlLLdtd 代入拉格朗日方程0 xL所以x为循环坐标 cmlxmMxLpxcos)(水平方向上动量守恒l4.质量为m1的质点被限制在固定的光滑直线上滑动，另一质量为m2的质点，以一长度为 的无质量杆和m1相连，设杆仅在通过固定直线 的竖直平面内运动，且二质点仅受重力作用。oxm1m2lox2S 011yxxxq 1cossinsincos2222lylxxlylxx2221211(sin)(cos)22Tm xmxll2q选择ox轴所在平面为零时能参考点 sin2glmV 22122211()(2sin)sin22Lmmxm l lxm gl222222(12)2 cossin0cossin0mmxm lm lm lm glm xl0LxX为循环坐标clmxmmxLsin)(221X方向动量守恒