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1、微分方程解法第八章第八章 微分方程与差分方程简介微分方程与差分方程简介8.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念8.2 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程8.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程8.4 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程8.6 微分方程应用实例微分方程应用实例退退 出出微分方程解法 第八章第八章 微分方程与差分方程简介微分方程与差分方程简介 我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数

2、的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。微分方程解法 8.1 8.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 一.引例 例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：）式两端积分，得对（及条件1)2(2)1(21xyxdxdy微分方程解法 例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前

3、放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为42/sm,问汽车是否会撞到小孩？)4(1132)3(222xyccxydxxy，则所求曲线方程：），可得）代入（将条件（即解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：微分方程解法)10(102)9(104,080710)8(2)7(45)6(10,0)5(42200212100022ttStvcSvctctSctdtdsvdtdsvSdtsdttttt从而得到得）式，代入（）式中，将条件代入（将条件在积分一次，得）式两端积分一次，得对（及条件在（9）式中令v=0,得到

4、从开始刹车到完全停住所需要微分方程解法的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：都是微分方程。导数，它们）式都含有未知函数的）式和（上述两例中，（。所以汽车不会撞到小孩（米）515.125.2105.222S二二.微分方程的基本概念微分方程的基本概念 凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differential equation）.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程（ordinary differential equation）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partial differential equation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微

5、分方程，例如微分方程解法)11()(22xfqydxdypdxyd)13(01)12(2nndxydxydxdy等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。微分方程解法如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程

6、的通解（general solution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。微分方程解法的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解所研究系统所处的初始的定解条件，即根据或形如10,100000ttxdtdSSy时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件（initial value condition）.初值条件的个数通常等于微分方程的阶

7、数，一阶微分方程的初值条件一般为件二阶微分方程的初值条;00yyxx都是给定的值。其中00000,.,00yyxyyyyxxxx微分方程解法 从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral curve).如cxy2是方程（1）的积分曲线族,而）点的一条积分曲线。，只是其中过（2112 xy微分方程解法 8.2 8.2 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程 一阶微分方程（一阶微分方程（differential equation of differential equation of

8、 first orderfirst order）而另一端只含的函数和端只含的形式，即可表示为一如果能化成,)2()()()1(),(dyydxxfdyygyxfy(differential equation of separated variables).的微分方程。的方程均为可分离变量形如0)()()()()()(2121xQxQdxyPxPygxfdxdy离变量的微分方程那么原方程就称为可分的函数和,dxx微分方程解法为任意常数。其中可得到微分方程的通解）式两端分别积分，便对（C2Cdxxfdyyg)()(例1 求微分方程的通解。yxy23解 首先分离变量，得313113132ln31xC

9、xCCxCeyCeeeyeyCxydxxdyy，则所求得通解为仍是任意常数，令其为因或即两端积分，得微分方程解法 以后为了方便起见，我们可把但要写成,lnlnyy记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2 求微分方程dyxydxyx)1()1(22的通解即在条件下的特解10 xy解 分离变量，得)1(1ln21)1ln(21)1ln(2111222222xCyCxydxxxdyyy即两端积分，得微分方程解法xyCyx从而所求特解为确定再利用初值条件,1,11 例3 种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数 的最大容量为b，则种群生长速度不仅与

10、t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子bNb 成正比，试确定种群生长规律。bkaNNbadtdNNbNbkdtdN其中或：解由题设条件可得方程)(微分方程解法 8.3 一阶线性微分方程 分方程的方程叫做一阶线性微形如)1()()(xQyxPy（linear differential equation of firstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数的一次式。y的解法。齐次微分方程我们先来讨论一阶线性方程。）成为线性非其次微分时，方程（当程；）称为线性其次微分方则方程（如果)2(0)(10)(1,0)(yxPyxQxQ微分方程解法二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2

11、）是非其次方程（1）当的特殊0)(xQ它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成X的待定函数C（x）,即令情形，可以设想,）的解。就是方程（）则（）（）中，若由此能确定出将它代入方程（14,1)4()()(xCexCydxxP微分方程解法)5()(14)()(CdxexQeydxxpdxxP通解：）的性非其次方程（）式，就得到了一阶线将其代入（上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（method of constant）.将（5）式改写成两项之和的形

12、式dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(微分方程解法上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的结论。微分方程解法)(1)()()(),(CexyCexCexCxxCyxCxCxCyxxx于是原方程的通解为解得原方程，经整理得代入并将的待定函数换成将或 方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得微分方程解法方程的方程称为伯努利微分形如伯努利微分方程三)6()1,0()()(

13、.nyxQyxPdxdyn(Bernoulli differential equation).分方程。性微代换，把它化为一阶线时，我们可以通过变量方程，当时，就是一阶线性微分或当1,010nnn微分方程解法 8.4 可降阶的高阶微分方程 二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程（differential equation of higher order）.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的求解方法。阶的微分方程两边积分一次，得一个方程的未知函数的一阶微分则原方程可化为关于新作为新的未知函数，要把对于此类微分方程，只型的

14、高阶微分方程一1)()(.)1()1()(ndxxfdyyxfynnn微分方程解法出其特解，要求个相互独立的任意常数有阶微分方程的通解中含是所求的通解。是三个任意常数，这就nnCCC321,例2 一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度.sin2ta 试求其位移s与时间t的关系式。解 由题意知0,0)()1(sin2000)(22tttndtdsvSxfytdtsd条件为运动，所以初值物体是由静止状态开始型的二阶微分方程。是属于则需要n个初值条件。微分方程解法23211)(00)(0CxCyyCCyp方程的通解是也包含在其中，所以原），解之中（，显然它包含在上述通任意常数，则若微分方程解法 8

15、.5 二阶常系数线性微分方程）（为常数形如1).()(qpxfqyypy 的微分方程称为二阶常系数线性微分方程（linear second order differential equation with constant coefficients），其中f(x)叫做自由项，当0)(xf 时，方程（1）叫做二阶线性齐次微分方程，当0)(xf时，方程（1）叫做二阶线性非齐次微分 方程。微分方程解法下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。一.通解的结构 定理1 如果 是二阶线性齐次方程)()(21xyxy与)2(0 qyypy）的解，所以方程（证由于是是任意常数。其中也是它的解的线性组合的两个解，那

16、么2.,.2121221121yyCCyCyCyy微分方程解法）的通解。程（独立的任意常数，是方中才确实含有两个时，）的通解。当（不是方程任意常数，此时实质上，它只含有一个）（时，常数当2/2)(/221121221122212221221121yCyCkyyyCyCCyyCkCyCkyCyCyCykyy 微分方程解法则是线性相关的。与是线性无关的，而与例如，）（否则称为线性无关）线性相关（与则称常数之比与如果两个函数xxxeeexceindependenlinearlydependencelinearlyyykyyxyxy3.,)(/)()(212121综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方

17、程的通解结构的定理。微分方程解法。由前面讨论我们次微分方程的通解结构下面讨论二阶线性非齐为任意常数。其中）的通解，是齐次方程（，那么的两个线性无关的特解）程（是二阶线性齐次微分方如果定理21221121.202.2CCyCyCyqyypyyy 知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和它的一个特解之和。实际上，二阶及更高阶的线性非齐次方程的通解的结构也由类似的结论。)3()(3*xfqyypyy 方程是二阶线性非齐次微分设定理微分方程解法）的通解。而它就是方程（意常数，从中也含有两个独立的任的任意常数，所以中含有两个独立通解由所对应的齐次方程的）的解。是方程（所以33*_22

18、11_*_yyyyCyCyyyy二.二阶常系数线性齐次微分方程 由定理2 可知，求二阶线性齐次微分方程的通解，可归结为求方程的两个线性无关的特解。二阶线性齐次方程的特点是yyy,各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，使它和它的导数yy,间只差一个常数因微分方程解法)5(002,2,)(2222 rxrxrxrxrxrxrxrxrxrxeqprrqepreereryreyeyeyreyrey）（即），得代入方程（，为此，将）。满足方程（，使找到待定常数看能否我们不妨设就具有上述特点。因此为常数）的特解，而指数函数方程（子，那么它就有可能是 我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征

19、方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就归结为求特征方程的根：微分方程解法特征方程 的根齐次方程 的通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根02qprr21rr21rrrir2,10 qyypyxrxreCeCy2121rxxeCCy)(21xexCxCy)sincos(21xxeCeCyrrrryyy421212,4,10430431 所求的通解为此是两个不相等实根，因解得特征根为为解所给方程的特征方程的通解。求微分方程例微分方程解法 三.二阶常系数线性非齐次微分方程 由定理3可知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，可归结为求它对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解。在解决了齐

20、次方程的通解问题之后，这里只需讨论求非齐次方程（3）的一个特解 的方法 我们只介绍当方程（3）中的 取两种常见形式时求 的方法，这种方法的特点是不用积分就可 求出来，把它叫做待定系数法。)(xf*y*y*y微分方程解法 8.6 微分方程应用实例微分方程应用实例 许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第十章。一。嫌疑犯问题 受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为 ，一小时

21、后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为C。6.32C。4.31微分方程解法室温在几小时内始终保持 ，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？C。1.21被排除在嫌疑犯之外。嫌疑犯之外，否则不能室，则他可被排除在。如果此时张某在办公时刻的间，也就是求要确定受害者死亡的时。是正常的，即假设受害者死亡时体温为，则：，并记晚设表示时刻尸体的温度解。dTCtTCTCtCT37)(374.31)

22、1(,6.32)0(208微分方程解法 人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即tkktetTkeTCCTCetTktkdtdT110.05.111.21)(.110.0103115ln,4.315.111.21)1(5.11.6.321.21)1(1.21)()1.21(于是所以又因为所以因为此微分方程的通解为。可分离变量的微分方程为常数，这是一个一阶其中微分方程解法 三.悬链线方程问题 将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。解 以绳索所在的平面为 平面，设绳索最低点为y轴上的P点，如图81所示。考察绳索上从点p到另一点Q(x,y)的一段弧 ，该段弧长为 ，绳索线密度为 ,则这段绳索所受重力为 。由于绳索是软的，xoyQPllgl力恰好平衡，所以绳索所受重力及两个张，则这段角，设其大小为轴正向成点所受张力与在，设其大小为点所受的张力是水平的这段绳索在向。这样，力总沿着绳索的切线方所以绳索上各点所受张TxQSPQP.