极坐标复习课堂课件.ppt

1、1极坐标复习21、极坐标系极坐标系，点的极坐标：狭义极坐标系：广义极坐标系：负极径的定义2、极坐标和直角坐标的互化互化的条件，互化公式；3、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程的概念，求曲线的极坐标方程的方法和步骤，基本曲线的极坐标方程，利用极坐标方程解题；4、极坐标系中的两点之间的距离公式；复习要点31.平面直角坐标系下的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一 点，在变换_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：?xx，0y y，0 4精析考题精析考题 例例1 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2y21变换为椭圆x29y24

2、1.5自主解答 将变换后的椭圆的方程x29y241改写为x29 y241，设伸缩变换为?xx?0?，yy?0?，代入上式得2x292y241，即?32x2?22y21.与x2y21比较系数，得?321，?221，6故?3，2，所以伸缩变换为?x3xy2y，即先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横 坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x29y21，再将该椭圆的 点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x29 y241.7本例条件变为本例条件变为“求圆求圆x2y21经过伸缩变换经过伸缩变换?x2 xy3 y后后 的图形的图形”解：由?x2 xy3 y?x12xy13y代入x2y21，

3、得x24y291.经过伸缩变换?x2 xy3 y后圆x2y21变为椭圆x24y291.8巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)1设平面上的伸缩变换的坐标表达式为?x12x，y3 y，求在这一 坐标变换下正弦曲线ysinx的方程 9所以，所求极坐标方程为y3sin2 x.解：?x12x，y3 y，?x2 x，y13y.代入ysinx得y3sin2 x.101、极坐标系极坐标系：在平面内任取一个定点 O，叫做极点，引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样建立的坐标系叫做极坐标系。?Ox)(?M点的极坐标：对于平面内任意一点 M，用表示线段OM的长度，叫做

4、点M的极径；用表示从ox旋转到OM的角度，叫做点M的极角，有序数对M(,)就叫做点M的极坐标.11狭义极坐标系：极径0，极角0，2）.在狭义极坐标系中，平面上的一点(除极点外)的极坐标系是唯一的.广义极坐标系：极径R，极角R.在广义极坐标系中，平面上的一点的极坐标系有无数个.当0.-?)结论：(1)点（?，?）关于极轴的对称点是（?，-?）.(2)关于直线的对称点是（?，-?）.(3)关于极点O的对称点是（?，+?）。2?对称性3?14 例例2 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y24 x；(2)x2y22 x10；(3)12cos.15自主解答自主解答(1)将xcos，ysin代入y

5、24x，得(sin)24 cos.化简，得sin24cos.(2)将xcos，ysin代入y2x22 x10，得(sin)2(cos)22 cos10，化简，得22 cos10.16(3)12cos，2 cos1.2 x2y2x1.化简，得化简，得3 x24 y22 x10.174(2011江苏省重点学校联考江苏省重点学校联考)在极坐标系下，已知圆 O：cossin和直线 l：sin(4)22.(1)求圆 O和直线 l 的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线 l 与圆 O公共点的一个极坐标 18解：解：(1)圆O：cossin，即2cossin.圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即(x1

6、2)2(y12)212.直线l：sin(4)22 即sincos1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由?x2y2xy0，xy10，得?x0，y1，故直线l与圆O公共点的一个 极坐标为?1，2.19冲关锦囊冲关锦囊1 将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(，)时，运用公式x2y2，tan yx(x0)即可在0,2)范围内，由tan yx(x0)求时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限如果允许 R，再根据终边相同的角的意义，表示为2 k(kZ)即可 2极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还 经常会用到同乘(或除以)等技巧.20一极坐标与直角坐标的互化(20

7、12河北衡水中学第三次模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22 2 cos(4)2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 21解析：(1)由由2，得，得24，所以圆所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为因为22 2 cos(4)2，所以所以22 2(cos cos4sin sin4)2，所以圆所以圆O2的直角坐标方程为x2y22 x2 y20.22(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1，化为极坐标方程为cos sin 1，即cos(4)22.235(2011广东深圳)在极坐标系中，设在极坐标系中，设P

8、是直线l：(cos sin)4上任一点，上任一点，Q是圆是圆C：24 cos3上任一点，则上任一点，则|PQ|的最小值是_24解析：解析：直线l：(cossin)4，即xy40；圆C：24 cos3，即x2y24 x30，(x2)2y21.因此|PQ|的最小值等于圆心(2,0)到直线l：xy40的距离减去圆半径，即等于|204|2121.答案：21 25小结小结1：处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两（1）化极坐标方程为直角坐标方程再处理；（2）根据、的几何意义进行旋转或伸缩的几何意义进行旋转或伸缩变换变换.263.求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤:1、根据题意画出草图；2、设点

9、是直线上任意一点；(,)M?3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,?5、检验并确认所得的方程即为所求。27?=?0(?0)?=?0(?R)o xo x?0?0基本曲线的极坐标方程基本曲线的极坐标方程直线的的极坐标方程正弦定理正弦定理o x?M(,)M(,)M(,)a=?sin(?-?)asin(?-?)sin(?-?)?=asin?28?xxxx?P(?，?)P(?，?)P(?，?)P(?，?)ooooaaaa?cos?=a?sin?=a?sin?=-a?cos?=-a直线的极坐标方程29?o xroxP(r，?=r圆的极坐标方程r2=?2+?02-2?0cos(?-?0)余

10、弦定理c(?0，?0)P(?，?)30?ooooxxxxc(a，0)c(a，?/2)?c(a，?)c(a，-?/2)?P(?，?)P(?，?)P(?，?)P(?，?)?=2acos?=2acos(?-?)=-2acos?=2acos(?-3?/2)=-2asin?=2asin?31?c(?0，?0)raP(?，?)P(?，?)余弦定理r2=?2+?02-2?0cos(?-?0)正弦定理=?sin(?-?)asin(?-?)?=asin?sin(?-?)ooxx3212设过原点设过原点O的直线与圆的直线与圆C：(x1)2y21的的一个交点为一个交点为P，点M为线段OP的中点(1)求圆C的极坐标方

11、程；的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线33解析：(1)圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos.(2)设点P的极坐标为(1，1)，点M的极坐标为(，)点M为线段OP的中点，12，1.将12，1代入圆的极坐标方程，得cos.点M轨迹的极坐标方程为cos，它表示圆心在点，半径为 的圆?12，0 12 34练.已知OAB是等腰直角三角形（OAB为逆时针顺序)，OAB=900，点B在曲线sin=5,求A点的轨迹的极坐标方程。分析：用代入法，设A(,),B(,),找出这两个极端坐标的关系，再代到B点所在的曲线极坐标方程，即得A点轨迹极坐标方程O xA(,)B(,)sin=53

12、54.(2012上海卷)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角6，若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f().36解析：设直线上的任一点为P(，)，因为PMx6，所以OPM6，OMP6，根据正弦定理得OPsin OMPOMsin OPM，即sin?6?2sin?6?，即2sin6sin?6?1sin?6?.37【2】已知椭圆x224y2161，直线l：x12y81，P是l上的点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求Q的轨迹方程 38解析：如图，取原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆方程：2482cos23si

13、n2.直线l的方程：242cos 3sin.39设P(1，)，R(2，)，Q(，)，则221，所以482cos23sin2242cos 3sin，显然不包括原点，两边同乘，化简得?x1?252?y1?2531.401.建立曲线的极坐标方程的方法步骤.（1）在曲线上任取一点P（,）.（2）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起、的方程.（3）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）.2.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义法、直接法、参数法等.小结2

14、：41设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(,)(0,02)表示点Q在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(,z)表示.xyzoP(,Z)Q把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系.有序数组(,Z)叫点 P的柱坐标，记作(,Z).其中0,0 2,-Z+42柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,Z)之间的变换公式为?zzyx?sincos43柱坐标与空间直角坐标的互化(2)直角坐标转化为柱坐标222tan(0)xyyxxzz?44思考：思考：点P的柱坐标为(,z)，(1)当为常数时，点P的轨迹

15、是_(2)(2)当当为常数时，点为常数时，点P的轨迹是_(3)当z为常数时，点点P的轨迹是_圆柱面半平面平面xyzoP(,z)(,)Q45xyzoPQr设设P是空间任意一点，是空间任意一点，连接OP，记，记|OP|=r，OP与与OZ轴正向所夹的角为夹的角为.在在oxy平面的射影为平面的射影为Q，设设P在在oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角时所转过的最小正角为为.这样点P 的位置就可以用有序数组组(r,)表示.(r,)46我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).有序数组(r,)叫做点P的球坐标，其中?20,0,0?rxyzoP(r,)Qr

16、空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种对应关系.47球坐标系xyzoQ(r,?,?)?Pr0r?02?0?P(r,?,?)48将球坐标转化为直角坐标：xyoQP(r,?,?)?rz0r?0?02?x2y2z2r2，xrsin cos ，yrsin sin ，zrcos 49思考：思考：点点P的球坐标为(r,?,?)，(1)当当r为常数时，点为常数时，点P的轨迹是_(2)(2)当当?为常数时，点P的轨迹是_(3)当当?为常数时，点点P的轨迹是的轨迹是_球面圆锥面或平面或射线半平面xyzoQP(r,?,?)?r501设点M的直角坐标为的直角坐标为(1，3，3)，则它的柱坐标是()A.?2，3，3

17、 B.?2，2 3，3 C.?2，4 3，3 D.?2，5 3，3 2设点M的直角坐标为的直角坐标为(1，1，2)，则它的球坐标为()A.?2，4，4 B.?2，4，54 C.?2，54，4 D.?2，34，4 CB513已知点已知点M的球坐标为的球坐标为，则它的直角坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是，它的柱坐标是_4设点设点M的柱坐标为的柱坐标为，则它的直角坐标为，则它的直角坐标为_ 3444?，276?，(2,2,2 )232 22 24?，(，1,7)3525在球坐标系中，方程r1表示_，方程表示空间的_6在柱坐标系中，长方体ABCDA1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10)，C1 ，则此长方体外接球的体积为_46102?，5球心在原点、半径为1的球面顶点在原点、轴截面顶角为的圆锥面6.21000 23?