1、首页 上页 下页 返回 结束 化等问题也都要用到特征值的理论.工程技术中的一些问题，如振动问题、稳定性问题和弹性力学问题等，常归结为求矩阵的特征值和特征向量.在数学上，解微分方程组及方阵的对角首页 上页 下页 返回 结束 零列向量 x 使关系式定义定义5.7 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非1 111 11 Ax成立，那么，这样的数 称为矩阵A的特征值特征值，非零1 11,1 11 Ax，Ax=x（5-1）向量 x 称为A的对应于特征值 的特征向量特征向量.例如例如2122,21 x 首页 上页 下页 返回 结束 2是A的一个特征值，一个特征向量.显然，若则 A(kx)=(kx)（
2、k0），可见属于特征值 的特征向量是不唯一的特征向量是不唯一的.如何求矩阵A的特征值与特征向量？下面讨论这一问题.Ax=x，x 是A的对应于特征值2的 设 A=（0），是齐次线性方程组首页 上页 下页 返回 结束()AE 0AE1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa，()AE x0非零解，上式是以为未知数的一元n次方程，的特征方程特征方程.改写成的特征向量的特征向量非零非零解解为为A对应对应称为矩阵A首页 上页 下页 返回 结束()f，其左端是的n次多项式，AE1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa称为矩阵A的特征多项式特征多项式.记作它的根为它的根为A的特
3、征值的特征值即().fAE首页 上页 下页 返回 结束（1）求出A的特征方程 的全部根 ，i0AE（2）对于A的每一个特征值，i它们即是A的对应于 的一组线性无关的特征向量线性无关的特征向量，iA的对应于 的全部特征向量为i即是A的所有特征值；12,rp pp()iAE x0的一个基础解系程组 1122rrkkkppp12,rk kk（为不全为0的任意常数）.求出齐次线性方首页 上页 下页 返回 结束 例例5.5 求矩阵 的特征值和特征向量.3151A A的特征值为解解 A 的特征多项式为AE24,12 ，24.当 时，12 解方程组2.AEx0由2AEr510011.5p基础解系3151 5
4、151首页 上页 下页 返回 结束 对应于 的一特征向量可取为 12 当 时，24解方程组4.AEx0由11455AEr110011.5p21.1 p基础解系对应于 的一特征向量可取为 .24211 p首页 上页 下页 返回 结束 例例5.6 求矩阵 特征值和特征向量.110430102 A A的特征值为解解 A 的特征多项式为110430102 AE22)(1)（1232,1.当 时，12解方程组2.AEx0由首页 上页 下页 返回 结束 当 时，231解方程组.AEx0由3102410100 AEr100010000T1(0,0,1),p基础解系 k1 p1（k1 0）是对应于1=2 的全
5、部特征向量.210420101 AE101012000r首页 上页 下页 返回 结束 T2(1,2,1),p基础解系 k2 p2（k2 0）是对应于2=3=1 的全部特征向量.例例5.7 求矩阵 特征值和特征向量.211020413A解解211020413 AE2(1)(2)A的特征值为1231,2.首页 上页 下页 返回 结束 当 时，11 由T1(1,0,1),p基础解系对应于1=-1 的全部特征向量是 k1 p1（k1 0）.111030414AE101010000r232当 时，由.AEx0解方程2.AEx0解方程首页 上页 下页 返回 结束 23011,0,14 pp基础解系4110
6、00000r4112000411AE 对应于 的全部特征向量 2322233kkpp23,k k（不全为0）.例例5.8 设是方阵A的特征值，证明首页 上页 下页 返回 结束 2A p.证证 是方阵A的特征值（1）是 的特征值；22A（2）当A可逆时，是 的特征值.11A有p 0,使Ap=p.于是（1）()A Ap()Ap()Ap2p 是 的特征值；22A（2）当A可逆时，由 Ap=p1pA p因 p 0，知0,故11A pp11A的特征值.是不难证明不难证明：若是方阵A的特征值，则首页 上页 下页 返回 结束.（其中01()mmaaa（1）是 的特征值；kkA是的多项式）（2）是 的特征值；
7、kkA()（3）是 的特征值()A（4）是 的特征值；TA（5）当A可逆时，是 的特征值.AA首页 上页 下页 返回 结束.则 p1,p2,pm 线性无关.特征值，p1,p2,pm 依次是与之对应的特征向量，121122;nnnaaa则（1）12.n A（2）定理定理5.4 设 是方阵A的m个互不相等12,m，证明证明定理定理 5.3 设n 阶方阵 的特征值为()i jaA12,n证明证明首页 上页 下页 返回 结束.|A|A12A1.知A可逆，解解 因|A|例例5.9 设3阶矩阵A的特征值为1 1 2 求12(1)20，故把上式记作(A)，有()2132.从而 (A)的特征值为(1)1 (1)3 (2)3 由定理由定理5.3（2）是是A的特征值，则的特征值，则 ()是是 (A)的特征值的特征值 3A2E的特征值AA 3A2E2A13A2E所以A
