这样为防止之间有混迭的截止频率在-Read课件.ppt

1、第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础第第8 8章章 M M通道滤波器组通道滤波器组8.18.1 M M通道滤波器组的基本关系通道滤波器组的基本关系8.2 8.2 M M通道滤波器的多相结构通道滤波器的多相结构8.3 8.3 混迭抵消和混迭抵消和PRPR条件的多相表示条件的多相表示 8.4 M8.4 M通道滤波器组的设计通道滤波器组的设计8.5 8.5 余弦调制滤波器组余弦调制滤波器组第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础8.18.1 M M通道滤波器组的基本关系通道滤波器组的基本关系u标准的M通道滤波器组:图8.1.1 M通道滤波器组()X z()X zHM-1(z)MMGM-1(z)X

2、M-1(z)VM-1(z)UM-1(z)H1(z)MMG1(z)X1(z)V1(z)U1(z)H0(z)MMG0(z)X0(z)V0(z)U0(z).第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础由第五章由第五章 第七章的讨论，我们得到图中各处第七章的讨论，我们得到图中各处信号之间的如下相互关系：信号之间的如下相互关系：8.1.1及及 8.1.3()()()kkXzX z Hz11011101()()1 ()()(8.1.2)MlMkkMlMllMMMkMlV zX WzMX WzH WzM101()()()()MllMkkMkMlUzVzX zWHzWM第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础滤波

3、器组的最后输出滤波器组的最后输出令令则则这样，最后的输出这样，最后的输出 是是 的加权和。的加权和。101100()()()1 ()()()(8.1.4)MkkkMMllMkMklkX zG z UzX zWHzWG zM101()()()(8.1.5)MllkMkkA zHzWGzM10()()()(8.1.6)MllMlX zA z X zW()X z()lMX zW第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础由于由于 8.1.7 在在 时是时是 的移位，因此，的移位，因此，是是 及及其移位的加权和。由上一章的讨论可知，在其移位的加权和。由上一章的讨论可知，在 时，时，是混迭分量，应想办法去除

4、。显然，若保证是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证 (8.1.8)则可以去除图则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真所示滤波器组中的混迭失真.再定义再定义 8.1.9 显然，显然，是在去除混迭失真后整个系统的转移是在去除混迭失真后整个系统的转移函数函数。（。（8.1.9）式的和式的和（7.2.4）式的式的 一样，一样，都称为都称为“失真函数失真函数”。(2/)()()jljl MMz eX zWX e0l()jX e()jX e()jX e0l(2/)()jl MX e()0 11lA zlM1001()()()()MkkkT zA zHz GzM()T z()T z第第9 9章章

5、小波变换基础小波变换基础由（由（8.1.5）式，）式，能否为零取决于能否为零取决于 的性质。将该式写成矩的性质。将该式写成矩阵形式，有阵形式，有 （8.1.10）令令 （8.1.11）并令（并令（8.1.108.1.10）式右边的矩阵为）式右边的矩阵为 ，则在去除，则在去除混迭失真的情况下，有混迭失真的情况下，有 （8.1.12）11()()MA zAz()()0 1kkHzGzkM，011000111111101111()()()()()()()()()()()()()()()MMMMMMMMHzH zHzA zG zHzWH zWHzWA zG zMHzWH zWHzWAzGz001()(

6、),0,0,()(),()TTMzMA zzG zGztg()zH()()()zzztHg第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础由（由（8.1.12）式，我们有）式，我们有 （8.1.13）为保证去除混迭失真为保证去除混迭失真,可选可选 这样，若这样，若 已知，即可求出综合滤波器组已知，即可求出综合滤波器组 。（8.1.13）式在实际应用中有一系列的问题，这是式在实际应用中有一系列的问题，这是因为：因为：(8.1.14)式中式中 是是 的伴随矩阵。的伴随矩阵。1()()()zzzgHt0()(),0,0,0,0TkzMA zc zt()zH()zgadj()()()det()zzzzHgtH

7、adj()zH()zH第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础a.若若 是是FIRFIR的，显然的，显然detdet 也是也是FIRFIR的，这的，这时时 将变成将变成IIRIIR的；的；b.b.若若选择选择 ，这时，这时 可保证是可保证是FIRFIR的，但由于的，但由于 ，因此，因此 的阶次将的阶次将远大于远大于 ;c.c.若若 有零点在单位圆上，有零点在单位圆上，的幅度将会产的幅度将会产生较大的失真。生较大的失真。()zH()zH()zg0det()()nzczzHt()zg()adj()zzgH()zg()zH()zH()zg第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础8.2 8.2 M M

8、通道滤波器的多相结构通道滤波器的多相结构仿照（仿照（7.6.97.6.9）和（）和（7.6.107.6.10）式，在多通道情）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为：况下的分析滤波器组可表为：(8.2.1)写成矩阵形写成矩阵形 (8.2.2)记记1,0()()MlMkk llHzz Ez00,00,10,1111,01,11,1(1)11,01,11,1()1()()()()()()()()()()()MMMMMMMMMMMMMMMMMHzEzEzEzH zzEzEzEzHzzEzEzEz 1(1)011()(),(),(),()1,(8.2.3)TMTMzHz H zHzzzzhe第第9 9

9、章章 小波变换基础小波变换基础并记并记（8.2.2）式右边的矩阵为，则式右边的矩阵为，则 (8.2.4)称为多相矩阵，而称为多相矩阵，而 是由上一节的是由上一节的AC矩矩阵的阵的 第一列构成的。同理，对综合滤波器第一列构成的。同理，对综合滤波器组组 按第二类多相结构展开，有按第二类多相结构展开，有 (8.2.5)写成矩阵形式：写成矩阵形式：()()()MzzzhEe()ME z()zh()zH()kG z1(1),0()()MMlMkl klGzzRz 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 记该式右边的多相矩阵为记该式右边的多相矩阵为 ，则（，则（8.2.68.2.6）式可写为如下更简洁的

10、形式式可写为如下更简洁的形式 (8.2.7)(1)(2)0110,00,10,11,01,11,11,01,11,1(),(),(),1 ()()()()()()()()()MMMMMMMMMMMMMMMMMMG z G zGzzzRzRzRzRzRzRzRzRzRz (8.2.6)()MzR(1)()()()TMMzzzzgeR第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础式中已在式中已在（8.1.11）式中定义，式中定义，。利。利用用（8.2.2）和和（8.2.6）式，图式，图8.1.18.1.1的的M M通道通道滤波器组可改为图滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。再利用恒的形式。再利用恒等

11、变换，又可改成图（等变换，又可改成图（b b）和（）和（c c）的形式。）的形式。在图（在图（c c）中）中 该图的得到过程与图该图的得到过程与图7.6.17.6.1和图和图7.6.27.6.2的导出过的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可集程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵中到矩阵 和和 的分析，或简单的的分析，或简单的 的的分析。若分析。若 为单位阵，我们可以想象，那么为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。该滤波器组一定可以实现准确重建。1()()Tzzee()()()zzzPRE()zE()zR()zP()zP第第9 9章章 小波变换基础小波变

12、换基础我们讨论一下，我们讨论一下，ACAC矩阵和多相矩阵的关系。矩阵和多相矩阵的关系。由由（8.2.3）式对式对 的定义及的定义及（8.1.10）式对式对 的定义，我们有的定义，我们有 (8.2.8)由由（8.2.2）式，式，又可表为又可表为 ()zh()zE1()(),(),()TMzzzWzWHhhh()TzH11()()(),()(),()()()(),(),()TMMMMMMzzzzzWzzWzzzWzWHEeEeEeEeee第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础u(a)uMuM1z1zu.u.u.1z1z1z1zu.u.u.uMuMuMuMu(b)uMuM1z1zu.u.u.1z1

13、z1z1zu.u.u.uMuMuMuMu(c)uMuM1z1zu.u.u.1z1z1z1zu.u.u.uMuMuMuM第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础记记 (8.2.9)(8.2.10)则则 (8.2.11a)或或 (8.2.11b)（8.2.118.2.11）式即是混迭分量矩阵）式即是混迭分量矩阵 和多相矩和多相矩阵阵 的关系。的关系。11(1)(1)11111MMMMWWWWW1(1)()1,MzdiagzzD*()()()TMzzzHEDW()()()HTMzzzHWDE()zH()MzE第第9 9章

14、章 小波变换基础小波变换基础8.3 8.3 混迭抵消和混迭抵消和PRPR条件的多相表示条件的多相表示定理定理8.1 8.1 一个一个M M通道最大抽取滤波器组混迭通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵抵消的充要条件是多相矩阵 为伪循环矩阵。为伪循环矩阵。所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵 将其主对角线以下的元素都乘以将其主对角线以下的元素都乘以 所得到的所得到的矩阵，即矩阵，即()()()zzzPRE0121101221031230()()()()()()()()()()()()()()()()MMMMMMP zP zP zPzPzP zP zP

15、zPzPzP zPzP zP zP zP z1z第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础该伪循环矩阵所对应的时域关系是：该伪循环矩阵所对应的时域关系是：现证明定理现证明定理8.18.1。由图由图8.2.18.2.1（c c），有），有0121110121121031111230()()()()()()()()()()()()()()()()MMMMMMP zP zP zPzz PzP zP zPzz Pzz PzP zPzz P zz P zz P zP z0121101221031230()()()()(1)()()()(1)(1)()()(1)(1)(1)()MMMMMMp np np n

16、pnpnp np npnpnpnp npnp np np np n第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 (8.3.1)(8.3.2)于是最后的输出于是最后的输出 该式是该式是M M通道滤波器组中输入、输出关系的多通道滤波器组中输入、输出关系的多相表示。交换求和顺序，有相表示。交换求和顺序，有11101()()()0,1,1MklkMMlkV zz WX z WlMM1,0()()()Mss lllUzPz V z1(1)011(1),00111(1),000()()()()1 ()()()(8.3.3)MMsMssMMMsMMs llslMMMMsMklks lslkX zzUzzPzV

17、zzPzzWX zWM 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 (8.3.4)因为因为 为混迭分量，为使为混迭分量，为使混迭抵消，我们应设法令其等于零。混迭抵消，我们应设法令其等于零。也就是说，使混迭抵消的充要条件是使也就是说，使混迭抵消的充要条件是使 时的时的 (8.3.5)记记 (8.3.6)111(1),0001()()()MMMkkllMsMs lklsX zX zWWz zPzM()1,2,1kX zWkM，0k 11(1),00()0MMkllMsMs llsWz zPz 1(1),0()()MlMsMs llsz zPzQ z 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础则则（8.

18、3.5）式可表为：式可表为：(8.3.7)(8.3.7)式中式中c c为不等于零的常数。为不等于零的常数。为便于观察矩阵中元素的规律，现对（为便于观察矩阵中元素的规律，现对（8.3.68.3.6）式作进一步的展开。假定式作进一步的展开。假定M M=4=4，有，有 (8.3.8a)(8.3.8a)(8.3.8b)(8.3.8b)(8.3.8c)(8.3.8c)(8.3.8d)(8.3.8d)010 0()0 1,1nMklllczkWQ zkM32100,01,02,03,0()Q zz Pz Pz PP432110,11,12,13,1()Q zz Pz Pz Pz P543220,21,22

19、,23,2()Q zz Pz Pz Pz P654330,31,32,33,3()Q zz Pz Pz Pz P第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 注意式中省去了注意式中省去了 的的 。同时，（。同时，（8.3.78.3.7）式可表为式可表为 由于由于 ，所以上式又变为：，所以上式又变为：(8.3.9)常数常数c c包含了常数包含了常数c c和和M M。由于。由于W W是是DFTDFT矩阵，矩阵，其第一行和第一列全为。因此，（其第一行和第一列全为。因此，（8.3.98.3.9）式意味着式意味着4,()s lPz4()z0011()()0()0nHMQ zczQ zQzWHMWWI0011

20、()()0()0nnQ zc zQ zQzW第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 (8.3.10)由（由（8.3.88.3.8）和（）和（8.3.108.3.10）式可知，矩阵中各）式可知，矩阵中各元素应有如下规律（以元素应有如下规律（以M M=4=4为例）为例）1.1.同为同为 的系数应该相等，即的系数应该相等，即 2.2.同为同为 的系数应该相等，即的系数应该相等，即 3.3.同为同为 的系数应相等，即的系数应相等，即 4.4.由于由于 ，因此，在（，因此，在（8.3.88.3.8）的前）的前两个式子中，必应有两个式子中，必应有0011()()()nMQ zQ zQzc z3z0,01

21、,12,23,3PPPP2z1,02,13,2PPP1z2,03,1PP01()()Q zQ z43,00,1Pz P第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础5.5.同理，由（同理，由（8.3.8b8.3.8b）和（）和（8.3.8c8.3.8c）式，应有）式，应有由（由（8.3.8c8.3.8c）和（）和（8.3.8d8.3.8d）式，应有）式，应有因此矩阵因此矩阵P P的各元素之间应有的各元素之间应有153,10,2z Pz P263,20,3z Pz P0,00,10,20,31,01,11,21,3,2,02,12,22,33,03,13,23,30,00,10,20,310,30,0

22、0,10,2110,20,30,00,11110,10,20,30,0 s lPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPz PPPPz Pz PPPz Pz Pz PPP第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 注意式中由注意式中由 改成改成 是因为矩阵是因为矩阵 实际上实际上是是 。由此我们可以看出，。由此我们可以看出，确实是一伪循确实是一伪循环矩阵。环矩阵。5z1zP4()zP4()zP()zP第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础定理定理8.28.2一个通道最大抽取滤波器组实现准一个通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是确重建的充要条件是 (8.3.11)(8.3.11)式中式中

23、 为整数，为整数，c c为不等于零的常为不等于零的常数。数。证明：证明：PRPR条件意味着混迭抵消条件成立。由条件意味着混迭抵消条件成立。由（8.3.48.3.4）式，在）式，在k k=0=0时，有时，有 (8.3.12)(8.3.12)由（由（8.3.68.3.6）式的定义，则）式的定义，则01()()()Mnzzzczz0IPREI00,n r01M11(1),001()()()MMlMsMs llsX zX zz zPzM 1011011()()()()()()()MlMlX zX zQ zX z Q zQ zQzMM第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础由（由（8.3.108.3.1

24、0）式，并定义）式，并定义 (8.3.13)(8.3.13)则则 (8.3.14)(8.3.14)我们希望我们希望 ，则，则 。由。由（8.3.8a8.3.8a）式，由于）式，由于因此，要求因此，要求 ，则等效要求，则等效要求 中只能中只能包含一项。不失一般性，设包含一项。不失一般性，设 中下标为中下标为 的元素不为零，该项是的元素不为零，该项是 。由于。由于 又是伪循环矩阵，也即从第一行开始，以下各又是伪循环矩阵，也即从第一行开始，以下各行元素都是第行元素循环移位的结果，因此，行元素都是第行元素循环移位的结果，因此，必然具有如下形式：必然具有如下形式：011()()()()MQ zQ zQz

25、Q z()()()X zX z Q z0()()X zcx nn0()nQ zcz(1)(2)100,01,02,01,0()()()()()()MMMMQ zQ zzPzzPzz PzPz0()nQ zcz0()Q z0()Q z(,0)(1),0()MzPz()zP()zP第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础即即 (8.3.15)(8.3.15)于是定理得证。于是定理得证。(1)r,0(1)r,0(1)r,0(1)1r,0(1)r,000()00000()00000()()()000()0MMMMMzpzzPzzPzzzz PzzPz P(1)10()0MMzzz IPI第第9 9章章

26、 小波变换基础小波变换基础8.4 M8.4 M通道滤波器组的设计通道滤波器组的设计定理定理8.18.1和定理和定理8.28.2指出，对指出，对M M通道最大抽取滤波通道最大抽取滤波器组，若去除混迭失真，则器组，若去除混迭失真，则 应为应为伪循环矩阵。若再做到准确重建，则伪循环矩阵。若再做到准确重建，则 的每的每一行（或列）只能有一个元素不为零，整个一行（或列）只能有一个元素不为零，整个 的如（的如（8.3.118.3.11）式所示。这样，实现）式所示。这样，实现PRPR的的M M通道通道滤波器组的滤波器组的 结构已确定，其余的任务即是结构已确定，其余的任务即是寻求寻求 来满足来满足 。直接求。

27、直接求出出 是比较困难的。由于是比较困难的。由于 ，因此，由给定形式后因此，由给定形式后 的来寻求的来寻求 相对比相对比较容易。又由于一旦求出较容易。又由于一旦求出 后为求后为求 需要需要求逆运算，而求逆往往会带来数值上的不稳定求逆运算，而求逆往往会带来数值上的不稳定或是使或是使 为为IIRIIR的。因此，为避免求逆运算，的。因此，为避免求逆运算，我们往往假定我们往往假定 是仿酉的。是仿酉的。()()()zzzPRE()zP()zP()zP(),(),0,1,1kkHz Gz kM()zP(),()kkHz Gz()()()zzzPRE()zP()zE()zE()zR()zR()zE第第9 9

28、章章 小波变换基础小波变换基础这样这样 (8.4.1)是一个极简单的计算。是一个极简单的计算。同时同时 (8.4.2)(8.4.2)保证了系统的保证了系统的PRPR性质。反之，若系统满足性质。反之，若系统满足PRPR，由（，由（8.4.28.4.2）和（和（8.4.18.4.1）式，）式，必定是仿酉的。现在的问题是如何必定是仿酉的。现在的问题是如何设计出设计出 使之满足（使之满足（8.4.28.4.2）式，一旦求出，由）式，一旦求出，由 (8.4.3a)(8.4.3a)(8.4.3b)(8.4.3b)即可求出即可求出 和和 。0()()nzczzRE00()()()()()nnzzzczzzc

29、zPREEEI()zE()zE1,0()()MlMkk llHzz Ez1(1),0()()MMlMkl klGzzRz()kHz(),0,1,1kGz kM第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 给定一个范数等于给定一个范数等于1 1的向量的向量 ，其维数为，其维数为 ，那么那么 是是 的矩阵，定义的矩阵，定义 (8.4.4)(8.4.4)则则 是仿酉矩阵，即是仿酉矩阵，即 (8.4.5)(8.4.5)每一个每一个 ，都是一个一阶的仿，都是一个一阶的仿酉系统，该系统可由图酉系统，该系统可由图8.4.18.4.1来实现。来实现。mV1M HmmV VMM1()HHmmmmmzzCIV VV

30、V()mzC()()mmzz CCI(),0,1,1mz mMC第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 图图8.4.1 8.4.1 一阶仿酉系统一阶仿酉系统 的实现的实现 可以证明，一个可以证明，一个J J阶的仿酉矩阵阶的仿酉矩阵 可由一阶可由一阶的简单仿酉矩阵的简单仿酉矩阵 的级联来构成，即的级联来构成，即 (8.4.6)(8.4.6)式中为常数酉矩阵，即式中为常数酉矩阵，即 ，那么，那么，可可由图由图8.4.28.4.2来实现来实现。HmVmV1z1()mzC()zE()mzC11()()()()JJzzzzECCCUHdU UI()zE第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 图图8.

31、4.2 8.4.2 的实现的实现 文献文献1515进一步证明了常数酉矩阵可进一步作进一步证明了常数酉矩阵可进一步作如下分解：如下分解：(8.4.7)(8.4.7)式中式中D是对角阵，其元素是对角阵，其元素 ，而矩阵可表为，而矩阵可表为 (8.4.8)(8.4.8)()zEu1()zC2()zCU()JzC121MdUU UUDijiiDe2HiiiUIuu第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础将将 按（按（8.4.58.4.5）式分解，）式分解，由（由（8.4.48.4.4）式）式的的 表示，而将表示，而将 可按（可按（8.4.68.4.6）式分解后，）式分解后，又由（又由（8.4.78.4

32、.7）式的）式的 表示。因此，决定的表示。因此，决定的 主主要是向量要是向量 和和 ，现在的工作是选定一目标函数，现在的工作是选定一目标函数，然后对然后对 和和 求最优，从而得到所需要的求最优，从而得到所需要的“好的好的”分析滤波器分析滤波器 。目标函数可选。目标函数可选 这这M M个滤波器阻带能量的和，个滤波器阻带能量的和，即即 (8.4.9)(8.4.9)令令 将对将对 和和 最小可得到最小可得到 ，再由，再由 即可得到综合滤波器组。即可得到综合滤波器组。()zE()mzCmVUiUiu()zEmViumViu()kHz(),0,1,1kHz kM120()MjkkHed 阻带mViu()

33、kHz(1)()()NkkGzczHz第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 (a)(b)图图8.4.3(a)8.4.3(a)矩阵的实现矩阵的实现 (b)(b)矩阵矩阵 的实现的实现 文献文献1515利用此方程设计了一个三通道的滤波利用此方程设计了一个三通道的滤波器组，其幅频响应如图器组，其幅频响应如图8.4.48.4.4所示，所示，的数值如表的数值如表8.4.18.4.1所示。所示。D1MUdIu2MU1Uiu2HiuiU012(),()()h n h nh n和第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 表表8.4.18.4.1三通道滤波器组各滤波器的系数三通道滤波器组各滤波器的系数 0

34、-0.0429753 -0.0927704 0.0429888 1 0.0000139 0.0000008 -0.0000139 2 0.1489104 0.0087654 -0.1489217 3 0.2971954 0.0000226 0.2972354 4 0.3537539 0.1864025 -0.3537496 5 0.2672266 -0.0000020 0.2672007 6 0.0870758 -0.3543303 -0.0870508 7 -0.0521155 -0.0000363 -0.052090 8 -0.0875973 0.3564594 0.0875786 9 -

35、0.0427096 -0.0000049 -0.042706710 0.0474530 -0.1931082 -0.047445211 0.0429618 0.0000230 0.042967712 0.0 0.0 0.013 -0.0232765 -0.0000026 -0.023274914 0.0000022 0.0 0.0000022n0()h n1()h n2()h n第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 图图8.4.4 8.4.4 三通道滤波器组的幅频响应三通道滤波器组的幅频响应00.10.20.30.40.5-60-50-40-30-20-100H0 H1 H2 dB第第9

36、9章章 小波变换基础小波变换基础8.5 8.5 余弦调制滤波器组余弦调制滤波器组u8.5.18.5.1余弦调制滤波器组的基本概念及伪余弦调制滤波器组的基本概念及伪QMFBQMFB 我们在6.2节介绍了DFT滤波器组。其思路是给定一个原型滤波器组，令 (8.5.1a)则 (8.5.1b)(8.5.1b)20()()jknMkh nh n e(2/)0()(),0,1,1jjk MkHeHekM第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 即即M M个分析滤波器组是由个分析滤波器组是由 作调制所得到的，作调制所得到的，调制因子是调制因子是 ，相应的频谱是，相应的频谱是 做均匀做均匀移位所得到的。移位距

37、离是移位所得到的。移位距离是 。这样，为防。这样，为防止止 之间有混迭，之间有混迭，的截止频率在的截止频率在 ，带宽为带宽为 。如图。如图6.1.26.1.2所示。所示。DFTDFT滤波器是一种复数调制滤波器组，即使滤波器是一种复数调制滤波器组，即使 是实的，是实的，也是复的，这样，对实也是复的，这样，对实信号信号 ，经分析滤波器组的分析后，经分析滤波器组的分析后，M M个子带个子带信号也都变成复信号。这是信号也都变成复信号。这是DFTDFT滤波器组的缺点。滤波器组的缺点。()h n2jknMe()jH e2M()jkHe()jH eM2M()h n(),11kh n kM()x n第第9 9

38、章章 小波变换基础小波变换基础为了克服为了克服DFTDFT滤波器组的这一缺点，人们又提出滤波器组的这一缺点，人们又提出了了“余弦调制余弦调制”滤波器组的概念。假定我们给定滤波器组的概念。假定我们给定两个原型滤波器两个原型滤波器 和和 ，令，令 (8.5.2a)(8.5.2a)(8.5.2b)(8.5.2b)则可得到则可得到M M个分析滤波器和个分析滤波器和M M个综合滤波器，但它个综合滤波器，但它们都是实系数的滤波器。式中们都是实系数的滤波器。式中 (8.5.3)(8.5.3)()h n()g n()2()cos(0.5)()2kkDh nh nknM()2()cos(0.5)()2 0,1,

39、1kkDgng nknMkM(1)4kk 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 D D是整个滤波器组输出相对输入的延迟是整个滤波器组输出相对输入的延迟.由于由于 ,是原型的是原型的 ,乘以余弦函数所得到的，乘以余弦函数所得到的，因此称它们为因此称它们为“余弦调制余弦调制”滤波器组。现就滤波器组。现就（8.5.28.5.2）及（）及（8.5.38.5.3）式的给出做一些说明。）式的给出做一些说明。对给定的原型低通滤波器对给定的原型低通滤波器 ，我们首先由它得，我们首先由它得到一个到一个2M2M大的大的DFTDFT分析滤波器组，即令分析滤波器组，即令 (8.5.4a)(8.5.4a)(8.5.

40、4b)(8.5.4b)()kh n()kgn()h n()g n()h n2()()knkMp nh n W2()()0,1,21kkMP zH zWkM第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础式中式中 。我们假定。我们假定 是实的，所以是实的，所以 是偶对称的，并假定是偶对称的，并假定 是低通的，其是低通的，其截止频率在截止频率在 处，带宽为处，带宽为 ，如图，如图8.5.1a8.5.1a所示。由于所示。由于 (8.5.4c)(8.5.4c)所以所以 如图如图8.5.1b所示。所示。由该图可以看出，由该图可以看出，和和 是相对是相对 为对称的。这样，如果我们把为对称的。这样，如果我们把 和和

41、 相结合形成一个滤波器，那么该滤波器相结合形成一个滤波器，那么该滤波器将具有实系数，且带宽度为将具有实系数，且带宽度为 。现在讨论如何。现在讨论如何实现这两个滤波器的结合。实现这两个滤波器的结合。2/22jMMWe()h n()jH e()jH e2MM(/)()()0,1,21jjkMkP eH ekM()jkP e()jkP e2(),1,22jMkPekM0()kP z2()MkPz2M第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 图图8.5.1 8.5.1 余弦调制滤波器组的频率响应余弦调制滤波器组的频率响应 (a)(a)原型低通原型低通 (b)2M(b)2M个分析滤波器组个分析滤波器组

42、令令 (8.5.5a)(8.5.5a)(8.5.5b)(8.5.5b)(0jeHM2M210P1P2P12MP0P12MPM2M22uu()jH e()()kkkUzC H zW*()()kkkV zC H zW第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 式子中式子中 为模为为模为1 1的范数。令的范数。令 (8.5.6)(8.5.6)式中式中 也是模为也是模为1 1的范数。由于的范数。由于 (8.5.7)(8.5.7)是阶次为是阶次为N-1N-1的的FIRFIR实系数低通滤波器，所以，由实系数低通滤波器，所以，由（8.5.68.5.6）式得到的）式得到的 (8.5.8)(8.5.8)kC*()

43、()(),0,1,1kkkkkHza Uza V zkMka10()()NnnH zh n z10()()0,1,1NnkknHzh n zkM第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 也是也是N-1N-1阶的阶的FIRFIR滤波器，由于滤波器，由于 的共的共轭特性，因此轭特性，因此 也是实系数。显然，也是实系数。显然，是低是低通的，通的，是高通的，其余则是带通的。是高通的，其余则是带通的。由前述各类滤波器的讨论可知，综合滤波器组一由前述各类滤波器的讨论可知，综合滤波器组一般应和分析滤波器组具有相同的幅频响应。因此，般应和分析滤波器组具有相同的幅频响应。因此，我们可选我们可选 (8.5.9)(

44、8.5.9)这样，由（这样，由（8.5.58.5.5）（）（8.5.98.5.9）式保留了三个常）式保留了三个常数待确定，即数待确定，即 。如同所有的滤波器组一。如同所有的滤波器组一样，需要研究如何实现混迭抵消及去除幅度失真样，需要研究如何实现混迭抵消及去除幅度失真和相位失真的问题。和相位失真的问题。(),kkkkUz V a c()kh n0()Hz1()MHz*()()(),0,1,1kkkkkG zb Uzb V zkM,kkkc ab和第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 由（由（8.1.98.1.9）式，在）式，在M M通道滤波器组中失真函数通道滤波器组中失真函数 总有如下的形式

45、：总有如下的形式：(8.5.10)(8.5.10)若选择若选择 (8.5.11a)(8.5.11a)或等效地选择或等效地选择 (8.5.11b)(8.5.11b)则则 (8.5.12a)(8.5.12a)或或 (8.5.12b)(8.5.12b)()T z101()()()MkkkT zHz GzM()(1)kkgnh Nn(1)1(1)()()()NNkkkGzzHzzHz(1)110()()()NMkkkzT zHz HzM12(1)0()()Mjj NjkkMT eeHe第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础这样，如果这样，如果 具有线性相位，从而去掉了相位具有线性相位，从而去掉了相位

46、失真。若失真。若 再是功率互补的，则可去掉幅度再是功率互补的，则可去掉幅度失真。文献失真。文献1515证明了如下关系：证明了如下关系：1.1.为去除混迭失真，应选择为去除混迭失真，应选择 ；2.2.选择选择 ，可保证，可保证 ，和和 有着同样的相频响应；有着同样的相频响应；3.3.选择选择 ，可使，可使 ，从而使，从而使 具有线性相位，从而去除相位失真；具有线性相位，从而去除相位失真；4.4.选择选择 及及 ，保证了第，保证了第1 1条的条的 条件，即去除混迭失真。对条件，即去除混迭失真。对 的此种制的此种制约，可选约，可选 ()T z()jkHe*11kkkka bab(0.5)(1)/22

47、kNkMcW()kUz()kVz()H z*kkba(1)()()NkkGzzHz()T z1(1)kkkaja*kkba,kka bka第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 (8.5.13)(8.5.13)这时，这时，可简化为可简化为 (8.5.14)(8.5.14)5.5.总之，按（总之，按（8.5.138.5.13）式选择）式选择 及使及使 如如（8.5.11b8.5.11b）式，我们可近似消除混迭失真，并）式，我们可近似消除混迭失真，并完全去除相位失真。在上述条件下，完全去除相位失真。在上述条件下，和和 最后简化为（最后简化为（8.5.28.5.2）式，且在该式中）式，且在该式中

48、即分析和综合滤波器组来自于同一个原型低通滤即分析和综合滤波器组来自于同一个原型低通滤波器波器 。式中。式中D=N-1D=N-1 ,(1)4kjkkkae()T z12201()()()MkkkT zUzVzMka()kG z()kh n()kgn()()g nh n()h n第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 6.6.余下的问题是幅度失真。幅度失真的原因来余下的问题是幅度失真。幅度失真的原因来自（自（8.5.12b8.5.12b）式的）式的 不是全通的。由于余弦不是全通的。由于余弦调制滤波器组的调制滤波器组的 和和 均来自原型滤波均来自原型滤波器器 ，因此，因此，的形态便直接和的形态便直

49、接和 有关，有关，也即余弦调制滤波器组的设计归结到也即余弦调制滤波器组的设计归结到 的设计。的设计。前已述及，前已述及，的截止频率为的截止频率为 ，带宽为，带宽为 。我们自然希望我们自然希望 在通带内尽量地平，在阻带在通带内尽量地平，在阻带内具有最大的衰减。因此，定义内具有最大的衰减。因此，定义 (8.5.15a)(8.5.15a)(8.5.15.b)(8.5.15.b)()jT e()kHz()kG z()H z()T z()H z()H z()kHz2MM()jH e/22(/)210()()1MjjMH eH ed 222()jMH ed第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 并令并令

50、 (8.1.15c)(8.1.15c)是通带和阻带性能之间的一个调节参数，是通带和阻带性能之间的一个调节参数，,通过使通过使 最小可得到最优的最小可得到最优的 。由。由此形成的此形成的 和和 即为伪即为伪QMFBQMFB。12(1)01()H z()kHz()kG z第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础u8.5.2 8.5.2 余弦调制滤波器组准确重建的条件余弦调制滤波器组准确重建的条件我们以多相结构和仿酉矩阵来讨论余弦调制滤我们以多相结构和仿酉矩阵来讨论余弦调制滤波器组实现波器组实现PRPR的条件。对（的条件。对（8.5.28.5.2）式给出的余）式给出的余弦调制的基本形式，我们假定弦调