第7章-惯性矩与惯性积方案.ppt

1、1质心：质心：物体总质量集中于一点。物体总质量集中于一点。重心：重心：物体的重力的合力作用点物体的重力的合力作用点 。建筑力学建筑力学7.1 7.1 静矩和形心静矩和形心形心：形心：截面图形的几何中心。质心是针对实物体而言的，而截面图形的几何中心。质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。体，质心和形心重合。静矩：静矩：面积对某轴的一次矩。面积对某轴的一次矩。一般用一般用S来表示。来表示。AxydASAyxdASAxdAxACAydAyAC（10-1）（10-2）2AySCxAxSCy建筑力学建筑力

2、学 从上式可以看出来，从上式可以看出来，(1)静矩为代数值，静矩的单位是静矩为代数值，静矩的单位是m3、mm3。(2)平面图形的面积平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离的与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩。乘积称为平面图形对该轴的静矩。(3)(3)不同截面对同一坐标轴不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。(4)(4)若图若图形对某一轴的静距等于零，则该轴必然通过图形的形心；若形对某一轴的静距等于零，则该轴必然通过图形的形心；若某一轴通过图形的形心，则图形对该轴的静距必然等于零。某一轴通过图形的

3、形心，则图形对该轴的静距必然等于零。ydACxOyyCxxC3建筑力学建筑力学v 组合图形的静矩和形心组合图形的静矩和形心截面对某一轴的静距等于其组成部分对同一轴的静距之和。截面对某一轴的静距等于其组成部分对同一轴的静距之和。设截面图形由几个面积分别为设截面图形由几个面积分别为A1、A2、A3An，的简单图形，的简单图形组成，且各图形的形心坐标分别为组成，且各图形的形心坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)(xn，yn)，则图形对，则图形对x轴和轴和y轴的静矩为：轴的静矩为：niiinixixyASS11niiiniyiyxASS11截面图形的形心坐标为：截面图形的形心坐标为

4、：niiniiiCAxAx11niiniiiCAyAy114例例截面图形如图所示，试计算该截面图形形心位置和对截面图形如图所示，试计算该截面图形形心位置和对y轴的静矩。轴的静矩。解：将该截面看成由矩形解：将该截面看成由矩形和矩形组成，每个矩形和矩形组成，每个矩形的面积和形心坐标分别为：的面积和形心坐标分别为：矩形：矩形：A1=1250 mm2，y1=5mm，矩形：矩形：A2=700 mm2，y2=45mm，101012580C1C2yz单位：单位：mmz1=62.5mmz2=5mmmmAAAyAyyc36.19212211mmAAAzAzzc9.41212211截面对截面对y轴的静矩轴的静矩

5、为：为：34322111016.857005.621250mmmmzAzASz或或mmmmzAAAzSCCz9.4170012502215建筑力学建筑力学7.2 7.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积惯性矩：惯性矩：面积对某轴的二次矩。面积对某轴的二次矩。AxdAyI2AydAxI2惯性积：惯性积：面积与其到面积与其到x轴、轴、y轴距离的乘积称为该面积对坐轴距离的乘积称为该面积对坐标轴的惯性积。标轴的惯性积。AxyxydAI惯性半径惯性半径(工程中表示惯性矩的方法工程中表示惯性矩的方法)：AIixxAIiyy极惯性矩：极惯性矩：平面内任意面积平面内任意面积dA与其到坐标原点距离平方的乘积。与其到

6、坐标原点距离平方的乘积。APdAI2yxpIII6 当截面由当截面由n个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯性矩等于这些简单图形对于该轴的惯性矩之和。即性矩等于这些简单图形对于该轴的惯性矩之和。即:niyiynyyyyIIIIII1321 niziznzzzzIIIIII1321 niyziyznyzyzyzyzIIIIII1321建筑力学建筑力学v 组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积7建筑力学建筑力学例例求图示截面对求图示截面对x轴的惯性矩。轴的惯性矩。解：图示截面看成是矩形截面在左右各方，解：图示截面看成是矩形截面在左右各方，挖去两个

7、半圆构成，因此，图示截面对挖去两个半圆构成，因此，图示截面对x轴轴的惯性矩等于矩形对的惯性矩等于矩形对x轴的惯性矩减去两个轴的惯性矩减去两个半圆的惯性矩，即：半圆的惯性矩，即：x200mm200mmR80mm圆形矩形xxxIII4843431001.164160122002006412mmdbhIx8建筑力学建筑力学7.3 7.3 平移轴公式平移轴公式AbIIcyy2AaIIcxx2abAIIcyxxyc 上式说明，截面图形对任一轴的惯性矩，等于图形对其平行上式说明，截面图形对任一轴的惯性矩，等于图形对其平行的形心轴的惯性矩加上两轴间距离的平方与图形面积之积；而的形心轴的惯性矩加上两轴间距离的

8、平方与图形面积之积；而截面图形对于任意一对互相垂直轴的惯性积，等于图形对于与截面图形对于任意一对互相垂直轴的惯性积，等于图形对于与其平行的一对形心轴的惯性积加上图形形心坐标与其面积之积。其平行的一对形心轴的惯性积加上图形形心坐标与其面积之积。9试计算截面对水平形心轴试计算截面对水平形心轴yc的惯性矩。的惯性矩。例例101012580C1C2yz单位：单位：mmycC解：已算出该截面形心解：已算出该截面形心C的坐标为：的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面对轴截面对轴yc的惯性矩应等于矩形对轴的惯性矩应等于矩形对轴yc的惯的惯性矩加上矩形对性矩加上矩形对yc轴的惯性矩。即：轴的惯

9、性矩。即：21cccyyyIII矩形对矩形对yc轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：121311121hahbIcy46231016.2125109.415.6212125101mmIcy矩形对矩形对yc轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：222322122hahbIcy45231059.910709.4151210702mmIcy4610119.321mmIIIcccyyy所以可得：所以可得：10试计算截面对水平形心轴试计算截面对水平形心轴yc和垂直形心轴和垂直形心轴zc的惯性积。的惯性积。例例解：已算出该截面形心解：已算出该截面形心C的坐标为：的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面对水平形

10、心轴截面对水平形心轴yc和垂直形心轴和垂直形心轴zc的惯性积的惯性积应等于矩形对水平形心轴应等于矩形对水平形心轴yc和垂直形心轴和垂直形心轴zc的惯性积加上矩形对水平形心轴的惯性积加上矩形对水平形心轴yc和垂直和垂直形心轴形心轴zc的惯性积。即：的惯性积。即：21cccccczyzyzyIII101012580C1C2yz单位：单位：mmycCzc矩形对矩形对yc和和zc轴的惯性积为：轴的惯性积为：111111AbaIIcccczyzy 45107.3125109.415.6236.19501mmIcczy矩形对矩形对yc和和zc轴的惯性积为：轴的惯性积为：222222AbaIIcccczyz

11、y 451062.610709.41536.194502mmIcczy所以可得：所以可得：4610032.121mmIIIcccccczyzyzy11建筑力学建筑力学7.4 7.4 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩dAyzyzoz1y1y1z12sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2cos2sin211yzzyzyIIII上式为计算惯性矩及惯性积的转轴公式。上式为计算惯性矩及惯性积的转轴公式。若若Iy1z1=0，则坐标轴，则坐标轴y1和和z1轴称为截面的轴称为截面的主惯性轴主惯性轴；Iy1与与Iz1称为称为主惯性矩主惯性矩。当主惯性

12、轴。当主惯性轴y1和和z1通过形心时，则为通过形心时，则为形心主轴形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩称为截面对形心主轴的惯性矩称为形心主矩形心主矩。12建筑力学建筑力学主惯性矩主惯性矩Iyp与与Izp的计算公式为：的计算公式为：224212yzzyzyyIIIIIIp224212yzzyzyzIIIIIIp形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：(1)确定组合截面形心的位置；确定组合截面形心的位置；(2)计算通过截面形心的一对坐标轴计算通过截面形心的一对坐标轴yc与与zc的惯性矩的惯性矩Iyc、Izc和惯性积和惯性积Iyczc；(3)通过转轴公式确定形心主惯性

13、轴的方位角通过转轴公式确定形心主惯性轴的方位角，并计算，并计算形心主惯性矩形心主惯性矩Iyp和和Izp。zyyzpIIItg2213试确定截面形心主轴的位置以及计算截面的形心主矩。试确定截面形心主轴的位置以及计算截面的形心主矩。例例101012580C1C2yz单位：单位：mmycC解：已算出该截面形心解：已算出该截面形心C的坐标为：的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm并且已算出截面对于水平形心轴并且已算出截面对于水平形心轴yc和铅直和铅直形形心轴心轴zc的惯性矩和惯性积：的惯性矩和惯性积：44109311mm.Icy44104101mm.Icz44102103mm.Icczy9

14、81022.IIItgcccczyzyp0322.p46221054.34212mmIIIIIIccccccpzyzyzyy4522100.64212mmIIIIIIccccccpzyzyzyz可得：可得：人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。